Контрольная работа по "Экономико-матемаическое моделирование"

Задача.

     Исследуется связь между расходами дилеров  некоторой компании на рекламу продукции (X, тыс. ден. ед.) и их объемами продаж (Y, сотни тыс. ден. ед.) и зависимость  объема продаж Y от расходов на рекламу X. Сведения по 60 случайно отобранным дилерам сгруппированы в корреляционную таблицу (табл. 1).

Таблица 1

 

Требуется:

1.  Выяснить, существует ли корреляционная зависимость объема продаж Y от величины расходов на рекламу X. Для этого необходимо:

а)  построить поле корреляции; вычислить групповые средние — средние объемы продаж для указанных в корреляционной таблице интервалов расходов на рекламу; на том же графике построить линию групповых средних — линию, соединяющую точки  (x’; ) где  - центр соответствующего интервала значений расходов на рекламу x;

Данные  об объемах продаж сгруппируем  по пяти интервалам вложенных в рекламу средств и введем в рабочий лист Microsoft Excel,

отождествив каждый интервал с его серединой (рис. 1).

Рис 1. Числовые данные для  программы

«Однофакторный  дисперсионный анализ»

     Воспользуемся  программой « Однофакторный дисперсионный  анализ».

Для  этого  выберем  соответствующий  пункт  меню надстройки «Анализ данных». В появившемся окне ввода данных (рис. 2)  укажем входной интервал  A1:E33, в который мы ввели исходные данные (с заголовками столбцов — серединами интервалов X, поэтому отметим флажок «Метки в первой строке»). Зададим  уровень значимости «Альфа» (по  условию α  = 0,05).  Укажем,  что данные сгруппированы по столбцам, а результаты работы программы необходимо  вывести на  новый рабочий лист.  Результаты  работы программы представлены на рис. 3.

Групповые средние

средние объемы продаж для каждого интервала  вложенных средств ( — количество наблюдений (X; Y),  у которых x принадлежит интервалу X,  y принадлежит  интервалу Y)  рассчитаны  программой (средние).  Построим  на рис. 9 поле корреляции — прямоугольную сетку, в каждом прямоугольнике которой проставляется точек. Здесь же построим линию групповых средних, т. е. ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x’; ).

Рис. 2. Окно ввода данных программы  «Однофакторный дисперсионный анализ» 

 

Рис. 3. Результаты работы программы  «Однофакторный дисперсионный анализ»

б)  используя случайную модель однофакторного дисперсионного анализа, проверить гипотезу об отсутствии влияния интервала вложенных в рекламу средств на объем продаж;

Используя  случайную  модель  однофакторного дисперсионного  анализа:

где , проверим гипотезу об отсутствии влияния интервала вложенных в рекламу средств на объем продаж.

Расшифровка  дисперсионной  таблицы,  полученной  с  помощью  программы «Однофакторный дисперсионный анализ», представлена в табл.2.

Таблица 2

 

     Проверка  гипотезы  H₀ производится  на  основе  анализа  статистики , имеющей (в предположении справедливости H₀) распределение Фишера — Снедекора с ν – 1 = 4  и n – ν = 55  степенями свободы (здесь ν = 5 — число интервалов x). В данном случае наблюдаемое значение статистики F _4;55 оказалось равным 20, 22 [в результатах работы программы (рис. 3,  рис.2)  оно приводится  в  таблице « Дисперсионный анализ»  в столбце «F»], а критическая точка f_{0,05; 4; 55} = 2,54 (F критическое), откуда следует, что гипотеза H₀ об отсутствии влияния вложений в рекламу на объем продаж отвергается на 5%-ном уровне значимости.

     Гипотезу  H₀ можно проверить и так:  если  P-значение  оказывается не меньше принятого уровня значимости α (в данном случае α = 0,05), гипотезу H₀

 принимают,  а если P-значение оказывается меньше α, гипотезу H₀ отвергают. В данном случае P-значение равно P = P{F_{4; 55}> 2,54} = 2,73849E-10 [оно приводится в результатах работы программы (рис.3, рис.2)], значит, гипотезу H₀ следует отвергнуть на 5%-ном уровне значимости.

в)  при отклонении гипотезы оценить влияние величины вложенных в рекламу средств на объем продаж, используя корреляционное отношение    и коэффициент детерминации .

     Оценим  влияние величины расходов на рекламу  на объем продаж с помощью коэффициента детерминации  такова (60%) доля общей вариации (дисперсии, разброса,  различий)  объема продаж Y, обусловленная влиянием на него расходов на рекламу X. Корреляционное отношение 0,77 

2.  Исследовать правомерность предположения о линейности корреляционной связи между X и Y. Для этого:

     а)  вычислить оценку коэффициента корреляции и оценку коэффициента линейной детерминации ; предположив нормальность  распределения случайной величины (X, Y),  на 5%-ном уровне  значимости  проверить гипотезу    при альтернативной гипотезе  ;  при отклонении  H₀ дать содержательную интерпретацию    и ;

     Наблюдения,  сгруппированные  в  табл.1,  представим  в обычной форме: пару (0,15; 4,95) выпишем 1 раз, пару (0,15; 5,85) — 1 раз и т. д. Введем эти данные в рабочий лист Microsoft Excel (рис. 4). Воспользуемся программой «Корреляция». Для этого выберем соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных». В появившемся окне ввода данных (рис. 5)  укажем входной интервал A1:B61,  в который мы ввели исходные данные (с заголовками столбцов — названиями признаков, поэтому отметим флажок «Метки в первой строке»). Укажем, что данные сгруппированы по столбцам, а результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист. Результаты работы программы представлены на рис. 6.

     В результате работы этой программы рассчитана оценка 0,86 коэффициента корреляции . Проверим на 5%-ном уровне значимости гипотезу при альтернативной гипотезе .

     Наблюдаемое числовое значение статистики 

                                                   

равно

 

     При α= 0,05 значение критической точки . Поскольку |12,8| > , есть основания отвергнуть проверяемую  гипотезу Hо.  При этом  оценка  коэффициента линейной  детерминации = 0,74  означает, что 74% общей вариации  объема продаж  Y  обусловлены линейным  влиянием на него расходов на рекламу X (сравним это значение  с коэффициентом детерминации = 0,6 — долей вариации объема продаж, связанной с влиянием расходов на рекламу). Положительное  и   близкое к единице значение оценки коэффициента корреляции  означает,  что наблюдается прямая  и   достаточно тесная  корреляционная связь между X и Y.  

     Рис. 4. Числовые данные для программ «Корреляция» и «Регрессия»

 

Рис. 5. Окно ввода данных программы «Корреляция» 

 

Рис. 6. Результаты работы программы  «Корреляция» 

 

б) найти оценки параметров одели линейной регрессии и прямой линией   «выровнять» линию групповых средних ;

     Предположив, что корреляционная зависимость Y  от  x  линейна (функция регрессии Y на x линейна), оценим степень близости связи между Y и x к линейной функциональной. Модель  парного  линейного  регрессионного  анализа признака Y записывается следующим образом:

     

где все  случайные величины ε_i  (случайные эффекты влияния на результативный признак неконтролируемых факторов)  независимы и имеют одинаковое нормальное распределение  или, иначе, все наблюдения Y_i независимы  и имеют нормальное  распределение . Функция   называется линейной функцией регрессии.

     Рассчитаем  оценки параметров модели линейной регрессии. Для  этого  воспользуемся  программой «Регрессия»,  выбрав  соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» Microsoft Excel. 

     В окне ввода исходных данных программы «Регрессия» (рис. 7)  укажем входные интервалы результативного признака Y (B1:B61)  и факторного признака x (A1:A61). Установим флажок «Метки» (указав, что в первой строке  находятся названия переменных),  очистим флажок «Константа — ноль» (чтобы в уравнении присутствовал свободный член a₀),  уровень надежности (1 – α)  указывать не будем (по умолчанию он равен 95%). Укажем,  что результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист. Результаты работы программы «Регрессия» представлены на рис. 8.

     Модуль  коэффициента корреляции =0,86 выведен в результатах работы программы «Регрессия» (рис. 7) в таблице «Регрессионная статистика»  под  заголовком «Множественный R»;  коэффициент  линейной детерминации =0,74  выведен под заголовком «R-квадрат».  

     Оценки  параметров   содержатся в результатах работы  программы « Регрессия» (рис. 8)  в нижней  таблице  в столбце «Коэффициенты» под заголовками «Y-пересечение» и «X» соответственно.  Таким  образом,  оценка  линейной  функции  регрессии  такова: 0,72+2,92х.  График этой функции построен на рис. 9.