Контрольная работа по "Экономическому моделированию"

3x₁ + 4x₂ £ 240 (1)

х₁³0, х₂³0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Р = (138 – 3,3t)х₁ + (160 – 4,4 t)х₂ → max.

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V = tS = 3tx₁^* + 4tx₂*,

где х₁*, х₂* - оптимальное решение задачи (1). Модель (1) представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.

2.2 Определение оптимальной  программы выпуска продукции.  При фиксированной ставке оплаты  труда t = 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:

4x₁ + 2x₂ £152

3x₁ + 4x₂ £ 240

х₁³0, х₂³0, Р = 105 х₁ + 116х₂ → max.

 

Графическое решение задачи изображено на рис.2 Точкой максимума является точка В с координатами х₁* = 64, х₂*= 12. Максимальный размер прибыли: Р* = 105*64 + 116*12=8112  (руб.).

Размер необходимого кредита: V* = 3tx₁^* + 4x₂* = 3´10´64 + 4´10´12 =2400 руб.

Сумма уплаченных процентов: 0,1V*=0,1´ 2400 = 240руб. Потребность в трудовых ресурсах: S* = 3x₁^* +4 x₂^* = 3´64 + 4´12 = 240(чел.-час.).

 

 

Рис.2

 

2.3 Нахождение функции  спроса на трудовые ресурсы.  Потребность в трудовых ресурсах  S для обеспечения оптимального выпуска в объемах х₁*, х₂* определяются соотношением: S* = 3x₁^* + 4x₂^*.

Но оптимальный план выпуска  Х* = (x₁^* , x₂^*), зависит от почасовой ставки t оплаты труда. Следовательно, величина S также зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов S есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для  этого рассмотрим модель (1) и определим  оптимальные планы выпуска Х* = (x₁^* , x₂^*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть t достаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции Р = (138 – 3,3t)х₁ + (160–4,4 t)х₂= h.

При малых значениях t прямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением Р = 138х₁ + 160 х₂ = h.

Если "закрепить" линию  уровня в т.В и начать увеличивать значение параметра t, то точка пересечения линии уровня с осью Ох₂ начнет перемещаться вверх по оси Ох₂.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем: , t =20

Следовательно, точка В (64;12) остается точкой максимума пока tÎ[0;20).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[0;20):

Р* = (138-3,3*20)*64 +(160-4,4*20)*12 = 10752-2640 t (руб.),

Размер необходимого кредита:

V* = 3tx₁^* + 4x₂* = 3*10*64 +4*10*12 =2400t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 2400t = 240t руб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 3x₁^* + 4x₂^* = 3*64 +4*12 =240 (чел.-час.).

Если t=30, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(64;12) и C(76;0).

Если "закрепить" линию  уровня в т.С и начать увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к оси Ох₁.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна оси Ох₁. Из равенства угловых коэффициентов получаем: ; t > 60.

Если tÎ[20; 30] точкой максимума станет точка С(76;0).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[20;30]:

 

Р* = (138 – 3,3*30) ´76 + (160 – 4,4*30)´0 = 10488 - 2508(руб.),

 

Размер необходимого кредита:

V* = 3tx₁^* + 4x₂* = 3*10*76 +4*10=2280t руб.,

Сумма уплаченных процентов: 0,1V* =0,1*2280=228tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 3x₁^* + 4x₂^* = 3´76 +4´0 = 228(чел.-час.).

V*=tS*=30*2280=68400 (руб.)

 Итоги решения задачи  представим в таблице:

 

 

Рис.2.2 График спроса на трудовые ресурсы

 

Рис. 2.3 График максимальной прибыли

Рис.2.4.График потребности в кредите

 

Задача № 3

 

Максимизация объема выпускаемой  продукции в условиях ограниченных финансовых ресурсов. Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

Y=30*K^(0,3)*L^(0,2)

где Y — объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K = 400; б) L =100.
2. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y₁=2, Y₂ =4, Y₃=200.
3. Известны объем выпуска продукции Y=400 и наличные трудовые ресурсы L=100 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.
4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 2 (ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 4 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 200 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что ПФ задана на всем множестве K ≥ 0, L ≥ 0; найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.