Контрольная работа по "Экономическому моделированию"

 

Задача №1

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

 

1. Построим математическую  модель оптимизации выпуска продукции  и запишем ее в форме задачи  линейного программирования:

Обозначим:

x₁ – количество производимой продукции А

x₂ – количество производимой продукции Б

Тогда производственная программа  выпуска изделий А и Б будет определяться вектором X=(x₁;x₂)

Искомая программа должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям:

x₁+3x₂£363

4x₁+x₂£388

x₁+7x₂£394

Z=160x₁+553x₂®MAX

 

2. Используя графический  метод решения задачи линейного  программирования, найдем оптимальную  программу выпуска продукции:

I. x₁+3x₂=363

 

 

II. 4x₁+x₂=388

  

III. x₁+7x₂=394

 

Так как О.Д.Р. представляет собой некоторый замкнутый многоугольник, полученный путём пересечения полуплоскостей, отвечающих отдельным неравенствам задачи, определим по какую сторону от граничных прямых располагается искомая полуплоскость. Для этого в каждое из трёх неравенств – ограничений подставим пробную точку (0;0):

Þ

Т.к. точка (0;0) удовлетворяет  всем трём неравенствам, то искомые полуплоскости будут располагаться слева (ниже) граничных прямых (1) –(3).

Кроме основных ограничений  на ресурсы, в задаче имеются также  тривиальные неравенства Х₁³0; Х₂³0. Неравенству Х₁³0 отвечает полуплоскость, расположенная справа от оси Х₂, а граничная прямая, задаваемая уравнением Х₁=0 совпадает с осью Х₂. Граничная прямая Х₂=0 совпадает с осью Х₁, а множество точек удовлетворяющих неравенству Х₂³0 – это полуплоскость, лежащая выше оси ОХ. Изобразим О.Д.Р. графически:

 

Рис.1

 

Найдём теперь в этой области  точку максимума целевой функции  Z: grad Z=(160;553)= . Из начала координат, в направлении вектора откладываем вектор произвольной длины и перпендикулярно ему проведём через начало координат нулевую линию уровня.

Двигая эту линию в  направлении вектора  или параллельно самой себе, достигнем самой крайней точки О.Д.Р., это и будет точка максимума целевой функции Z:

Х^*=(Х₁^*;Х₂^*). В нашей задаче точка Х^* лежит на пересечении граничных прямых (I) и (II):

Х^*: Þ

 

Оптимальная производственная программа Х*=(86;44) состоит в выпуске 86 ед. продукции А и 44 ед. продукции Б.

Ожидаемая выручка от их реализации составит:

Z=160*86+553*44=38092 руб.

 

3. Запишем задачу, двойственную  к задаче оптимизации выпуска  продукции.

Исходная задача:

u₁Þ x₁+3x₂£363

u₂Þ 4x₁+x₂£388

u₃Þ x₁+7x₂£394

x₁³0; x₂³0

Z=160x₁+553x₂®MAX 

Двойственная задача:

x₁Þ u₁+4u₂+u₃³160

x₂Þ 3u₁+u₂+7u₃³553

u₁³0; u₂³0; u₃³0

W=363u₁+388u₂+394u₃®MIN

 

 

Здесь u₁, u₂, u₃ – двойственные оценки используемых ресурсов.

Используя условия «дополняющей нежесткости», найдём оптимальное решение двойственной задачи:

Условия «дополняющей нежесткости»:

1: Х_j×V_j=0;