Экономико-математические методы и прикладные модели

Подготовим  для вычислений: 
 

d=32,32/14,6=2,21

     По  таблице d-статистик Дарбина-Уотсона определим критические уровни: нижний и верхний .

     Сравним полученную фактическую величину d с критическими уровнями и сделаем вывод согласно схеме:

       

     Согласно  схеме проверки:  
 

     Следовательно, свойство независимости остатков для построенной модели выполняется.

2. Для проверки свойства случайности остаточной компоненты используем критерий поворотных точек (пиков), основой которого является определение количества поворотных точек для ряда остатков.

С помощью Мастера диаграмм построим график остатков .

     Поворотными считаются точки максимумов и  минимумов на этом графике (третья, четвертая, пятая, шестая, восьмая). Их количество p=5.

     

      По  формуле 

n=9 вычислим критическое значение

     Сравним значения р и  и сделаем вывод согласно схеме:

 

     p=5 > , следовательно свойство случайности для ряда остатков выполняется.

     4.1.3 Для проверки соответствия  ряда остатков  нормальному закону  распределения используем  R/S – критерий.

     В соответствии с этим критерием вычислим по формуле статистику .

     Подготовим  для вычислений:

      (максимальный уровень  ряда остатков (функция  МАКС));

      (минимальный уровень  ряда остатков (функция  МИН));

     S(e)= 1,44 (из итогов РЕГРЕССИИ).

     Получим .

     Критический интервал задан по условию (2,7 - 3,7). Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом и сделаем вывод согласно схеме:

     

     , значит, для построения модели  свойство нормального распределения  остаточной компоненты выполняется.

     Проведенная проверка показывает, что для линейной модели выполняются все свойства. Таким образом, данная трендовая  модель является адекватной реальному  ряду наблюдений, ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

     5.Оценить  точность моделей  на основе использования  средней относительной  ошибки аппроксимации.

     5.1 Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации линейной модели рассмотрим ряд остатков . Дополним таблицу «Вывод остатка» столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS.

 

     По  столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

     Для оценки точности модели используем схему:

     

      - следовательно, линейная модель имеет удовлетворенную точность.

     5.2 Используем столбец ошибок для модели Брауна с параметром сглаживания ; рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение

 

     Сравнение показывает, что 5%<10,63%<15%. Следовательно, точность модели удовлетворительная.

     Заметим, что средняя относительная погрешность  линейной модели несколько меньше, чем для модели Брауна, значит, линейная модель является более точной.

     6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70 %).

     Следующие 2 недели соответствуют периодам , при этом и .

     6.1 Согласно уравнению линейной модели получим точечные прогнозные оценки ,

     Таким образом, согласно линейной модели ожидаемый  спрос на следующие две недели будет около 28,17 млн. руб и 30,87 млн. руб соответственно.

     Для оценки точности прогнозирования рассчитаем границы прогнозных интервалов для  индивидуальных значений результирующего  признака (доверительная вероятность  р = 70 %).

     Подготовим:  

(функция  СТЬЮДРАСПОБР при  );

S(e)= 0,89;

(функция  СРЗНАЧ);  

(Функция КВАДРОТКЛ.)

Вычислим  в рамках прогнозного интервала  для индивидуальных значений, используя  формулу

. 

      При получим и определим границы доверительного интервала: ,

     При получим и определим границы доверительного интервала: , .

     Таким образом, линейная модель с надежностью 70% позволяет утверждать, что спрос на следующей неделе будет составлять от 26,94 млн. руб. до 29,4 млн. руб., а через неделю – от 29,57 млн. руб. до 32,17 млн. руб.

     6.2 Для расчета прогнозных  оценок спроса  с помощью модели  Брауна () используем основную формулу Брауна , приняв в ней t=n=9, k=1, k=2. 
 
 

     Таким образом, согласно модели Брауна ожидаемый  спрос в следующие две недели будет составлять около 27 млн. руб. 29,4 млн. руб соответственно.

     С доверительной вероятностью р = 70 % определим  размах и границы соответствующих  прогнозных интервалов.

(функция  СТЬЮДРАСПОБР при  );

S(e)= 2,67 (СТАНДОТКЛОН)

(функция  СРЗНАЧ);  

(функция  КВАДРОТКЛ.)

     При получим и определим границы доверительного интервала: , .

     При получим и определим границы доверительного интервала: , .

     Таким образом, модель Брауна с надежностью  70 % позволяет утверждать, что спрос  на следующей неделе будет составлять от 23,31 млн. руб. до 30,69 млн. руб., а через неделю – от 25,49 млн. руб. до 33,31 млн. руб. 

     7.Фактические  значения показателя, результаты моделирования  и прогнозирования представить графически.

     7.1. Для графического отображения результатов моделирования с помощью линейной модели используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные

     Затем с помощью опции «Добавить  линию тренда…» построим линию модели: тип – линейная, параметры –  показывать уравнение на диаграмме.

 

     Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

     Имя – прогноз, значения значения ;

     Имя – нижние границы; значения , значения ;

     Имя – верхние границы; значения ; значения .

     Полученная  диаграмма имеет вид:

     7.2 Для графического отображения результатов моделирования с помощью модели Брауна также построим точечную диаграмму исходных данных . В опции Исходные данные добавим ряд расчетных значений вместе с прогнозными оценками и . Затем добавим границы прогнозных интервалов. Полученная диаграмма имеет вид:

     «Результаты моделирования и прогнозирования (модель Брауна)»