Министерство  образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего  профессионального  образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

         Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

(вариант  №3) 
 
 
 
 
 
 

Студентка      ___________________

 

Специальность      Финансы и кредит 

№ личного  дела      ________________ 

Образование       Первое высшее 

Группа                    _____________________ 

Преподаватель ________________________

                                                                                    

                                                                                                                    
 
 
 

____________2010

 

Задача  №1 

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений  для газонов:  обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных  и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему? 

Решение:

На основании  приведенных данных составим таблицу: 

 

     Построим  экономико-математическую модель задачи:

Пусть Х₁ – куплено обычных наборов удобрений

Х₂ – куплено улучшенных наборов удобрений 

Построим функцию  цели:

F (x) – {стоимость}            min

           min

Ограничения:

По количеству удобрения разного типа

Азотные:

Фосфорные:   

Калийные:  

  Область ограничений будет лежать в I квадратной четверти.

• – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:

 

Прямую  l₁ построим по двум точкам:

 

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство:

   

  3 ложно

  Значит  искомая полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

• – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:

 

Прямую l₂ построим по двум точкам:

 

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство: 

 ложно

  Значит, искомая  полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

• – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:

 

Прямую l₃ построим по двум точкам:

 

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство: 

 ложно

  Значит, искомая  полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

Обозначим прямые на графике: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Областью  допустимых решений является многогранник АВСD.

   Построим  на графике линию уровня l₀. Она строится по целевым функциям и имеет вид: 
 

 

   Построим  вектор-градиент. Его координатами являются коэффициенты для переменных в функции цели: = (С₁;С₂) = (3;4)

   Начало  вектора находится в точке (0;0). Правильность построения проверим по свойствам вектора-градиента: всегда перпендикулярен линии уровня.

     Предельная точка при минимизации:  В (2;2)

   Min f(x) =

   Ответ:  Необходимо купить два обычных и два улучшенных набора, при этом затраты будут минимальным и составят 14 денежных единиц. 

   Если  решать задачу на максимум, то целевая  функция не ограничена, область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении  оптимизации целевой функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Задача  №2.

    Для изготовления четырех видов продукции  используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

    Требуется:

    1)  Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции;

    2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности;

    3) Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане;

    4) на основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменится выручка от реализации продукции  и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 
 

   Решение:

1. Построим математическую модель прямой задачи.

   Введем  управляющие переменные:

   Х₁ – количество сырья А

   Х₂ – количество сырья Б

   Х₃ – количество сырья В

   Х₄ – количество сырья Г 

   Построим  функцию цели:

   F (x) = {выручка} = 5x₁+7x₂+3x₃+6x₄ max

   Построим  систему ограничений. Так как  расход сырья не может превышать  запаса, которым располагает предприятие, получим систему неравенств: 
 
 

2. Решим задачу с помощью надстройки Поиск решения в среде MS Excel.

   На  листе Excel обозначим искомые переменные x₁ x₂ x₃ и зарезервируем ячейки для их значений и оставим их пустыми.

   Обозначим целевую функцию F, введем в отдельные ячейки её коэффициенты  c₁ c₂ c_3… а в свободную ячейку (целевая ячейка) -  формулу для вычисления значений этой функции

   Для каждого ограничения задачи заполним ячейки коэффициентов левых частей неравенств a_ij,      в свободные ячейки введем формулы для вычисления их значений , укажем знак неравенства и величину его правой части b_i 

     
 

   Вызовем программу Поиск решения и укажем данные для расчета.

   

   Получаем:

   

   В результате решения задачи найден оптимальный  план:

   , При этом  f(x)=460.

   Таким образом максимальная выручка составит 460 денежных единиц, и будет получена при выпуске 80 единиц изделия А, и 10 единиц изделия Г. Изделия Б и В производить нецелесообразно.

3. Для последующего экономического анализа и сформируем «отчет по устойчивости»: