Экономико-математические методы и прикладные модели

y₂ (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y₂ = 0;

y₃ (7400-7400) = 0;

y₄ (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y₄ = 0.

Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

, если  >0, то

В условиях нашей задачи: х₁=520 > 0 и х₃ = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х₁ (3 y₁ + 20 y₂ + 10 y₃ –             6) = 0;

х₂ (6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ - 10) = 0;

х₃ (4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ –  9) = 0.

Решая полученную систему уравнений, находим y₁ и y₃

3*у₁ + 20*у₂+10у₃-6=0

у₂ = 0

4*у₁ + 20*у₂ + 20 у₃ + 5*у₄-9=0

у₄ = 0,

Определяем, что  теневые цены ресурсов «Труд», «Сырье 1», «Сырье 2» и «Оборудования» соответственно равны у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0.

Проверим  выполнение первой теоремы двойственности:

G(Y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

F(X) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃ = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5).

Рис. 5. Отчет по устойчивости.  

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Поясним равенство нулю х₂. Если изделие вошло в оптимальный план (хj > 0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашем случае — это продукция первого и третьего видов.

Если  стоимость ресурсов, затраченных  на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашем случае в план выпуска не вошла продукция второго вида, потому что затраты по нему превышают цену на 1,25 единиц (11,25 – 10 = 1,25). Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора У:

3*1,5 + 20*0+10*0,15 6  6=6;

6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*0 10 11,25>10;

4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*0 9 9=9.

Разницу между правыми и левыми частями  ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость (с обратным знаком по сравнению с симплексной таблицей) (рис. 5). 

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• Определить, как изменится выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса  первого вида на 24 единицы;
• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

 
 

• Проанализировать  использование ресурсов в оптимальном  плане исходной задачи:

Ресурсы «Труд» и «Сырье 2» имеют отличные от нуля оценки равные 1,5 и 0,15 соответственно. Эти ресурсы полностью используются в опитмальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части ограничений равны левым:

  3 х₁ +   6 х₂ +   4 х₃ 2000

10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

3*520 + 6*0 + 4*110 = 2000 = 2000.\

10*520 + 15*0 + 20*110 = 7400 = 7400.

Ресурсы «Сырье 1» и «Оборудование» используются не полностью, поэтому имеют нулевые  двойственные оценки у₂ = 0, у₄ = 0

20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 15000

          3 х₂ +   5 х₃ 1500

20*520 + 15*0 + 20*100  = 12600 15000

  0*520 + 3*0 +5*110 = 550 1500

Общая стоимость используемых ресурсов при  выпуске 520 ед. I продукции и 110 ед. III продукции составит 4 110 ден. ед.

G(Y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110 

• Определить, как изменится выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса  первого вида на 24 единицы;

Из теоремы  об оценках известно, что колебание  величины b_i приводит к увеличению или уменьшению f ( ). Оно определяется:

f ( ) =

b_i = 24, у₁ = 1,5 

=24*1,5 = 36

F (x)*= 4110 + 36 = 4146 (ед.)

В результате проведенных решений видно, что если увеличить запасы ресурса I вида на 24 единицы, то выручка увеличиться на 36 ед., т.е. общая выручка составит 4146 ед.

При этом структура плана не изменилась –  изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.

y₁ = 1,5   3 х₁ +   6 х₂ +   4 х₃ 2000 + 24 = 2024

у₂=0 20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ ≤15000

y₃ = 0,15 10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

y₄ = 0   0 х₁ +   3 х₂ +   5 х₃ 1500

Решим систему уравнений и определим х₁ и х₃:

3 х₁ + 4 х₃ = 2024

10 х₁ + 20 х₃ = 7400,

х₁ = 544, х₃ = .

Новый план выпуска cоставит 544 ед. продукции I вида и 98 ед. продукции III вида = (544; 0; 98).

= 24 * 6 = 144, т.е. при увеличении запаса  ресурса I вида выручка увеличится на 144 ед. 

• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Для определения  целесообразности включения в план выпуск изделия IV вида с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации изделия:

8y₁ + 4y₂ + 20y₃ + 6y₄=11

подставим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0

8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

15=11. Т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.

Задача  3.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

 

     В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице: 

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

     Вычисления  провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение.

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

     Искажение результатов моделирование возникает из-за наличия аномальных наблюдений. Чтобы убедиться в их отсутствии используем Метод Ирвина. Для всех или только для подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляется величина: 

     

Результаты  расчетов по методу Ирвина: