Экономико-математическая модель для расчёта оптимального вложения денежных средств

В том случае, когда ставка сложных  процентов меняется во времени, формула  наращения имеет следующий вид 

    (6)

где i₁, i₂,..., i_k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.

Начисление годовых процентов  при дробном числе лет 

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

S = P (1+i)ⁿ      (7)

2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые

S =P (1+i)^a(1+bi)     (8)

где n = a+b, a - целое число лет, b - дробная часть года.

3) В ряде коммерческих банков  применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S = P (1+i)^a      (9)

1.11 Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка

 Пусть годовая ставка сложных  процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной.

Начисление процентов по номинальной  ставке производится по формуле:

S=P (1+j/m) ^N ,      ( 10 )

где N - число периодов начисления.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

По формуле сложных процентов

S=P (1+j/m) ^N/τ,     (11)

где N/τ - число (возможно дробное) периодов начисления процентов,

 τ - период начисления процентов,

По смешанной формуле

    (12)

где a - целое число периодов начисления (т.е. a = [N/τ] - целая часть от

деления всего срока ссуды N на период начисления τ),

b- оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/τ-a).

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m - разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+i_э) ⁿ = (1+j/m)^mn     , (13)

где i_э - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

    (14)

Обратная зависимость имеет  вид 

j=m[(1+i_э)^1/m -1].     (15)

1.12 Начисление процентов и инфляция

Следствием инфляции является падение  покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом J_n.

Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен J_p, т.е.

J_n=1/J_p.      (16)

Индекс цен показывает во сколько  раз выросли цены за указанный  промежуток времени.

Наращение по простым  процентам

Если наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен J_p, то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна

C=S/J_p.      (17)

Пусть ожидаемый средний годовой  темп инфляции (характеризующий прирост  цен за год) равен h. Тогда годовой индекс цен составит (1+h). Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит

     (18)

где в общем случае

     (19)

и, в частности, при неизменном темпе  роста цен h,

J_p= (1+h)ⁿ      (20)

Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна

      (21)

Один из способов компенсации обесценения  денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так  называемой инфляционной премии. Скорректированная  таким образом ставка называется брутто-ставкой. Брутто-ставка, которую  мы будем обозначать символом r, находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

     (22)

откуда

     (23)

 

Наращение по сложным  процентам 

Наращенная по сложным процентам  сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит

     (24)

где индекс цен определяется выражением (19) или (20), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции. В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i=h, обеспечивающей равенство C=P.

Применяются два способа компенсации  потерь от снижения покупательной способности  денег при начислении сложных  процентов.

а) Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой. Будем обозначать ее символом r. Считая, что годовой темп инфляции равен h, можем написать равенство соответствующих множителей наращения

      (25)

где i - реальная ставка.

Отсюда получаем формулу Фишера

r = i+h+ih.       (26)

То есть инфляционная премия равна h+ih.

б) Индексация первоначальной суммы P. В этом случае сумма P

корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса.

Тогда

S=PJ_p(1+i)ⁿ      . (27)

Нетрудно заметить, что и в случае а) и в случае б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (27). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два - корректировку ставки процента.

1.13 Измерение реальной ставки процента

На практике приходится решать и  обратную задачу - находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех  же соотношений между множителями  наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку i по заданной (или объявленной) брутто-ставке r.

При начислении простых процентов  годовая реальная ставка процентов  равна

     (28)

При начислении сложных процентов  реальная ставка процентов определяется следующим выражением

     (29)

 

2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

2.1 Сбор  исходных данных

Рассмотрим некоторые практические приложения рассмотренной нами теории. Покажем, как полученные выше формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов.

Сравним доходность по депозитам четырех  Новокузнецких банков с учетом влияния  инфляции. Выбор банков, представленных в Новокузнецке очень широк, поэтому хотелось бы подобрать наиболее надежные банки. Для этого можно воспользоваться следующим списком, где собраны банки России и указаны суммы депозитов физических лиц, размещенные в данных банках (первые 10 банков из списка).

Таблица 2

Рейтинг банков по итогам 2011 г., тыс. руб.
Депозиты физических лиц
1.	Сбербанк России	4 595 952 889
2.	ВТБ 24	663 806 229
3.	Газпромбанк	191 333 353
4.	Райффайзенбанк	130 253 593
5.	РоссельхозБанк	128 729 841
6.	Банк Москвы	124 245 117
7.	Уралсиб	106 519 483
8.	ПРОМСВЯЗЬБАНК	100 922 398
9.	МДМ Банк	98 320 553
10.	ТРАСТ	94 646 023

 

 

 Для примера возьмем вклад размером 500000 рублей сроком на 1 год и следующие виды депозитов:

Вклад «Победитель» Сбербанка России

Вклад «ВТБ 24 – Свобода выбора»  банка ВТБ 24

Вклад «Индивидуальный план» Газпромбанк

Вклад «Пополняемый» Райффайзенбанк

 

Таблица 3 - Вклад «Победитель» Сбербанка России

Условия вклада:

Сумма вклада в рублях	Процентная  ставка, в % годовых
	за исключением  участников, инвалидов Великой Отечественной  Войны, бывших несовершеннолетних узников  фашизма		для участников, инвалидов Великой Отечественной Войны, бывших несовершеннолетних узников фашизма
	срок  вклада
	1 год	2 года	1 год	2 года
от 10 000 до 1 000 000	7,25	7,75	7,75	8,25
от 1 000 000 до 10 000 000	7,75	8,25	8,25	8,75
от 10 000 000	8,25	8,75	8,75	9,25

 

 

Таблица 4 - Вклад «Свобода выбора» банка ВТБ 24

Условия вклада:

Годовая процентная ставка по вкладу с капитализацией /без капитализации
Минимальный взнос	1 - 3 мес.		3 - 6 мес.		6 мес. - 1 год 1 мес.		1 год  1 мес. - 1,5 года
от 15000	4,65	4,70	4,70	8,00	5,65	7,75	6,30	6,45
от 150001	4,90	4,95	4,95	8,00	5,90	7,75	6,55	6,70
от 350001	5,15	5,20	5,20	8,00	6,15	7,75	6,75	6,95
от 750001	5,35	5,40	5,40	8,00	6,35	7,75	6,95	7,15
от 1000001	5,40	5,45	5,45	8,00	6,40	7,75	7,00	7,20
от 3500001	5,60	5,65	5,65	8,00	6,60	7,75	7,20	7,40
от 5000001	5,65	5,70	5,70	8,00	6,65	7,75	7,25	7,45

 

Валюта	Рубли, Доллары  США, Евро
срок вклада, дн.	31-1830
Срок вклада, мес./лет	от мес до 5 лет
Минимальная сумма  в рублях	15000
Минимальная сумма  в долларах США, евро	1000
Максимальный  размер процентной ставки по вкладу (% годовых)
в рублях	до 8,15% в руб
Максимальный  размер процентной ставки по вкладу с  учётом капитализации процентов (% годовых)
в рублях	до 8,51% в руб

 

 

Таблица 5 - Вклад «Индивидуальный план» Газпромбанк

Условия вклада:

Сумма вклада в рублях	Процентная  ставка, в % годовых
	срок  вклада
	от 31 до 90 дней	от91 до 180 дней	от 181 до 270 дней	от 271 до 366 дней	от 367 до 549 дней	550 дней
3 000,00-299 999,99	4,4	5,3	5,75	6	6,25	6,5
300 000,00-999 999,99	4,75	5,5	6	6,75	6,75	7
1 000 000,00- 2 999 999,99	5	7,5	7,5	7	7	7,25
от 3 000 000,00	5,25	7,75	7,75	7,15	7,15	7,35

 

Таблица 6 - Вклад «Пополняемый» Райффайзенбанк

Условия вклада:

Срок вклада в днях	Сумма вклада
	15 000-499 999,99	500 000-999 999,99	1000 000-1 999 999,99	2 000 000-4 999 999,99	5 000 000-19 999 999,99	20 000 000 и более
31-90	3,3	3,5	3,7	3,9	4,1	4,3
91,18	4,1	4,3	4,5	4,7	4,9	5,1
181-365	4,5	4,7	4,9	5,1	5,3	5,5
366-729	5,5	5,7	5,9	6,1	6,3	6,5