Экономико – математические методы и прикладные модели

  Для удобства рассуждений, мы привели симплекс-таблицу, содержащую оптимальное решение  прямой задачи (табл.11).

  Найдем  оптимальный план, при увеличении сырья II вида на 120 единиц. Он приводит к увеличению общей стоимости на 180 ден. ед. ( ), что может быть достигнуто за счет увеличения выпуска изделий вида В на 120 ед. и сокращения выпуска изделий вида А на  . Использование сырья I вида увеличится единиц.

  Оптимальный план выпуска продукции, при изменении  только II-го ресурса, становится .

  При одновременном увеличении сырья  II и III-го видов соответственно на 120  и 160 ед., приведет к увеличению общей стоимости на 540 ден. ед., что достигается за счет увеличения выпуска продукции вида А на ед., а количество выпуска изделий вида В не меняется, но объем используемого сырья I-го вида уменьшится на .

  Оптимальный план выпуска продукции, при одновременном  изменении  ресурсов II и III-го видов, становится равным .

  Уменьшение  количества не дефицитного ресурса  I-го типа на 60 ед. не повлияет на оптимальный план выпуска продукции.

  Рассмотрим  возможность дальнейшего совершенствования  оптимального ассортимента выпускаемой  продукции:

  а)  добавляя в модель новый вид продукции;

  б) включая в план производства предприятия  не выгодную продукцию, с точки зрения максимального дохода.

  В случае а) введение в модель нового вида продукции эквивалентно добавлению новой переменной прямой задачи. И  эта новая переменная войдет в  оптимальный план, если издержки на производство этой продукции будут  равны нулю. Например: выясним, целесообразно ли выпускать продукцию пятого вида, на единицу которого расходуются ресурсы  , и , цена этой продукции .

  Сопоставим  дополнительные затраты на ресурсы  в расчете на единицу продукции  П₅ с ценой ее реализации:

.

То есть, приведенные издержки единицы этой продукции равны  , поэтому выпуск продукции вида П₅ невыгодно предприятию включать в план производства, а чтобы производство продукции было рентабельным ее цена должна составлять не менее 12 единиц.

  В случае б) включение в план производства невыгодной продукции, с точки зрения максимального дохода, возможный  объем ее продукции в рамках устойчивости оптимального плана определяется следующим  интервалом:

,

где – компонент оптимального плана; – коэффициенты столбцов свободных переменных в оптимальном плане.

  Например, в оптимальный план не вошла основная переменная . Определим максимально возможный объем выпуска продукции вида С по приведенной формуле:

,

.

  Таким образом, в план производства можно  ввести выпуск продукции С до 24 единиц.

  Введение  в план выпуска единицы продукции  вида С приведет к уменьшению максимальной прибыли на величину . Это происходит за счет уменьшения выпуска продукции В на 3 единицы, хотя производство продукции вида А увеличивается на .

  Выявим  изменение общей стоимости изготовления продукции, определяемой оптимальным  планом ее производства при включении  в план производства не выгодой продукции  вида С в объеме 20 единиц.

;        ;

                             ;

                             ;

                             .

  Проверим  прибыль от реализации, произведенной  продукции:

   .

 

   Задание 2. Решить графическим  методом типовую  задачу оптимизации 

   2.5. Продукция двух видов (краска  для внутренних (I) и наружных (Е)  работ) поступает в оптовую  продажу. Для производства красок  используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены ниже. 

 

   Изучение  рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски E и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, что бы доход от реализации продукции был максимален.

   Построить экономико – математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум и почему.  

   РЕШЕНИЕ:

   Пусть x₁ – суточный объем краски E;

         x₂ – суточный объем краски I.

   Целевая функция:

    

   Ограничения задачи имеют вид:

  – ограничение  по продукту А (1).

  - ограничение по  продукту В (2).

  - ограничение по  превышению спроса  краски I над краской E (3).

  – ограничение по спросу на краску I (4). 

    (5) 

   Ограничение 1 имеет вид: . Найдем пересечение граничной прямой с осями координат. Прямая  проходит через точки (0;3) и (6;0).

   Ограничение 2 имеет вид: . Найдем пересечение граничной прямой с осями координат. Прямая  проходит через точки (0;8) и (4;0).

   Ограничение 3 имеет вид: . Найдем пересечение граничной прямой с осями координат. Прямая    проходит через точки (0;1) и (-1;0).

   Ограничение 4 имеет вид: . Найдем пересечение граничной прямой с осями координат. Прямая   

    

    

   В результате построения данных прямых получим многоугольник, который  является областью допустимых решений  задачи (рисунок 1.1). Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем функциональным неравенствам.

   Для определения направления движения к оптимуму построим вектор градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции: 

   Для удобство можно строить вектор, пропорциональный вектору . В данном случае изобразим вектор (3; 2).

   Построим  линию уровня .

   Для нахождения оптимального решения  необходимо передвигать линию уровня до ее выхода из ОДР. Движении линии уровня осуществляется в направлении градиента. В крайней угловой точке достигается максимум целевой функции.

   Для нахождения координат этой точки  необходимо решить систему их двух уравнений прямых, дающих в пересечении  точку максимум:

    

   Получаем  .

   maxден. ед.

   Ответ: для получения максимального  дохода от реализации (12 650 ден. ед.) необходимо производить 3,33 тонну краски E и 1,33 тонны краски I. 
 

   Рисунок 1.1 Область допустимых решений задачи

 

   Задание 3. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа  одномерного временного ряда 

   В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитный ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведены ниже. 

 

   Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений;
2. Построить линейную модель Y(t) = a₀ + at, параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда);
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использования R/S – критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7);
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной шибки аппроксимации;
5. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующий две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%);
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

      Вычисления  провести с точностью до одного знака  после запятой.

      Основные  промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании  компьютера представить соответствующие  листинги с комментариями). 

   1. Выявление аномальных  наблюдений. 

Для диагностики  аномальных наблюдений воспользуемся  методом Ирвина.

Для всех наблюдения вычисляется величина , 

где , .

Полученные результаты представлены в таблице 3.1. 

Таблица 3.1 Расчет характеристического числа .