Имитационное моделирование

Федеральное агентство по образованию

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по предмету: Имитационное моделирование

Вариант № 3

Выполнила студентка

Гуманитарного факультета

Заочного отделения

Группа ИЭ-09С

Бражникова Надежда Михайловна

Проверил преподаватель:

Гоголева Татьяна Витальевна

Пермь 2012

Вариант № 3

Задание 1:

Определить площадь фигуры, заданной координатами вершин, методом Монте-Карло, проведя 20 испытаний. Оценить точность результата. Определить площадь фигуры аналитически и сравнить полученные результаты.

А(5;0), В(2;3), С(10;18), D(15;15), E(20;5), F9(10;0).

Нарисуем в двухмерных координатах заданный шестиугольник, вписав его в прямоугольник, чья площадь составляет (20-2)*(18-0)=324

Рис. 1. Иллюстрация к решению задачи

о площади фигуры методом Монте-Карло

Используем таблицу случайных чисел для генерации пар чисел R, G, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Число R будет имитировать координату X (2≤X≤20), следовательно, X=18*R. Число G, будет имитировать координату Y (0≤Y≤18), следовательно, Y=18*G. Сгенерируем по 20 чисел R и G и отобразим 20 точек (X;Y) на рисунке 1 и в таблице №1.

Таблица №1. Решение задачи методом Монте-Карло

где, N1 – количество попаданий точки (X;Y) в прямоугольник;

N2 – количество попаданий точки (X;Y) в шестиугольник;

Р – оценка вероятности попадания случайной точки в испытуемую область;

Sф – оценка площади S методом Монте-Карло.

Статистическая гипотеза заключается в том, что количество точек, попавших в контур фигуры, пропорционально площади фигуры: 8:16=S:324. То есть, по формуле метода Монте-Карло, получаем, что площадь S шестиугольника равна 324*8/16=162.

Поскольку в ответе все еще меняется значение второго разряда, то возможная неточность составляет пока больше 10%. Точность расчета может быть увеличена с ростом числа испытаний.

Для аналитического расчета площади фигуры можно использовать формулу нахождения площади шестиугольника с известными координатами вершин:

,

где .

Далее вершины нашего шестиугольника (точки А(5;0), В(2;3), С(10;18), D(15;15), E(20;5), F9(10;0)) подставим в вышеописанную формулу, получаем:

Площадь фигуры найденная аналитическим способом равна 187 ед., а площадь найденная методом Монте-Карло равна 162 ед. Результаты значительно отличаются (разница 15 ед.), это обусловлено тем, что недостаточно проведено испытаний методом Монте-Карло.

Задание 2:

Кафе быстрого питания может обслужить 15 человек в час. Определить вероятность того, что за 0,5 часа:

- будут обслужены 5 человек;

- не будет обслужено ни одного человека;

- обслужат хотя бы одного человека.

(Поток является простейшим Пуассоновским)

Интенсивность потока λ – это среднее число событий в единицу времени.

Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле λ=N/Tн, где N – число событий, произошедших за время наблюдения Тн.

λ=15/60=0,25чел/мин.

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

, следовательно .

Это означает, что с вероятностью 10,94% будет обслужено 5 человек за 0,5 часа.

Вероятность непоявления (то есть ни одного обслуженного клиента за 0,5 часа, m=0) события за время τ равна:

, подставим: .

Следовательно, вероятность, того, что не будет обслужено ни одного человека за о,5 часа равна 0,06%.

Вероятность появления хотя бы одного события (РХБ1С) вычисляется так: , следовательно, .

Это означает, что вероятность обслуживания хотя бы одного человека за 0,5 часа равна 99,95%.

Задание 3:

Салон в среднем посещают 4 клиента за час. Обслуживанием занимаются 2 мастера, первый в среднем обслуживает 1 клиента в час, а второй в среднем обслуживает 2 клиента в час. Фойе рассчитано на ожидание очереди 2 клиентами. Сгенерируйте поток случайных событий.

Проанализируйте временную диаграмму за время наблюдения 3 часа.

Определить:

1.      Вероятность обслуживания;

2.      Пропускную способность системы;

3.      Вероятность отказа;

4.      Вероятность занятости одного канала;

5.      Вероятность занятости двух каналов;

6.      Среднее количество занятых каналов;

7.      Вероятность простоя хотя бы одного канала;

8.      Вероятность простоя двух каналов одновременно;

9.      Вероятность простоя всей системы;

10. Вероятность того, что в очереди будет одна заявка;

11. Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки;

12. Среднее время ожидания заявки в очереди;

13. Среднее время обслуживание заявки;

14. Среднее время нахождения заявки в системе.

Ниже построим схему объекта моделирования (СМО):

где кл – это клиент.

Построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводиться столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашем примере их 7 (поток заявок, поток ожидания на первом месте в очереди, поток ожидания на втором месте в очереди, поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).

Для генерации времени прихода заявок используем формулу вычисления интервала между моментами прихода двух случайных событий:

.

В этой формуле величина потока λ должна быть задана (до этого она должна быть определена экспериментально на объекте как статистическое среднее), r – случайное равномерно распределенное число от 0 до 1 из ГСЧ или таблицы случайных чисел, в которой случайные числа нужно брать подряд (не выбирая специально).

Сгенерируем поток из 10 случайных событий с интенсивностью появления событий 4 кл/час. Для этого возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1, и вычислим их натуральные логарифмы.

Расчет расстояния между случайными числами на первой линейке.

Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t=-ln(rpp)/λ. Тогда, учитывая что λ=4, имеем расстояние между двумя случайными соседними событиями: 0,85, 0,26, 0,38, 0,16 часа. То есть события наступают: первое – в момент времени t=0, второе – в момент времени t=0,85, третье – в момент времени t=1,11, четвертое – в момент времени t=1,49, пятое – в момент времени t=1,65 и так далее. События – приход заявок отразим на первой линейке.

Берется первая заявка и, так как в этот момент каналы свободны, устанавливается на обслуживание в первый канал. Заявка 1 переносится на линейку «1 канал».

Время обслуживания в канале тоже случайное и вычисляется по аналогичной формуле: , где роль интенсивности играет величина потока обслуживания μ1 или μ2, в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку, где n – номер клиента.

Ниже представлена временная диаграмма работы СМО

Находим на диаграмме момент окончания обслуживания, откладывая сгенерированное время обслуживания от момента начала обслуживания, и опускаем заявку на линейку обслуженные.

Заявка прошла в СМО весь путь. Теперь можно, согласно принципу последовательной проводки заявок, также проимитировать путь второй заявки.

Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует установить заявку в очередь. На диаграмме это заявка с номером 3. Заметим, что по условиям задачи в очереди в отличие от каналов заявки находятся не случайное время, а ожидают, когда освободится какой-то из каналов. После освобождения канала заявка поднимается на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.

Если все места в очереди в момент, когда придет очередная заявка, будут заняты, то заявку следует отправить на линейку «Отказанные». На диаграмме это заявка с номером 5.

Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время наблюдения Tн.

Анализ временной диаграммы

Сначала нужно дождаться установившегося режима. Откидываем первые четыре заявки как нехарактерные, протекающие во время процесса установления работы системы. Измеряем время наблюдения, допустим, что в нашем примере оно составит Tн =3,11 часа. Подсчитываем из диаграммы количество обслуженных заявок Nобс., времена простоя и другие величины. В результате можем вычислить показатели, характеризующие качество работы СМО.

1.                  Вероятность обслуживания: Pобс.= Nобс./N = 6/8 = 0,75. Для расчета вероятности обслуживания заявки в системе достаточно разделить число заявок, которым удалось обслужиться за время Tн (см. линейку «Обслуженные») Nобс., на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время.

2.                  Пропускная способность системы: A=Nобс./Tн =6/3,11=1.92 [шт/час]. Для расчета пропускной способности системы достаточно разделить число обслуженных заявок Nобс. на время Tн, за которое произошло это обслуживание (см. линейку «Обслуженные»).

3.                  Вероятность отказа: Pотк.=Nотк./N=6/8 =0,75. Для расчета вероятности отказа заявке в обслуживании достаточно разделить число заявок Nотк., которым отказали за время Tн (см. линейку «Отказанные»), на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время, то есть поступили в систему. Pотк. + Pобс. в теории должно быть равно 1. На самом деле экспериментально получилось, что Pотк. + Pобс. = 0,75+0,75 =1,50. Эта неточность объясняется тем, что время наблюдения Tн мало и статистика накоплена недостаточная для получения точного ответа. Погрешность это показателя сейчас составляет 50%.