Численные методы решения систем линейных уравнений

    || Z_к||_B q^к|| Z₀||_B ,то из теоремы получается для числа итераций к следующая оценка: .

  Сравнивания эту оценку с оценкой числа  итераций для метода простой итерации получим, что чебышевский метод  более точный. 

  Метод Чебышева является методом для идеального вычислительного процесса с бесконечным  числом знаков. С точки зрения идеального вычислительного процесса значения итерационных параметров можно упорядочить как угодно. Любые две последовательности итерационных параметров с точки зрения идеального вычислительного процесса эквивалентны, ибо для них требуемая -точность достигается за одно и тоже число итераций.

  Этот  метод неудобен для вычисления на ЭВМ, так как на ЭВМ ведутся  вычисления с конечным числом знаков. И так же возникает теоретическая проблема – указать такой наилучший закон упорядочения значений , при котором для чебышевского метода было бы наименьшим влияние ошибок округления. 
 
 

 

  Методы решения систем линейных  уравнений в приложении MATLAB

Данную  систему уравнений решить, используя  функции приложения MATLAB.

Метод обратной матрицы: для системы из n уравнений с n неизвестными  , при условии что определитель матрицы  не равен нулю, единственное решение можно представить в виде  . Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы, необходимо выполнить следующие действия:

• сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы;
• решить систему, представив вектор неизвестных как произведение матрицы, обратной к матрице системы, и вектора свободных членов.

A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

b=[2; -1; -2];

x=inv(A)*b % Решение системы x=A^-1b

Результатом будет:

x =

0.5200

0.0800

1.6400

 

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо выполнить следующие действия:

• сформировать матрицу коэффициентов   и вектор свободных членов   заданной системы;
• сформировать расширенную матрицу системы, объединив   и  ;
• используя функцию rref, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду;
• найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, полученной в предыдущем пункте;
• выполнить вычисление  ; если в результате получился нулевой вектор, задача решена верно.

A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

b=[2; -1; -2];

C=rref([A b]); %Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

x=C(1:3,4:4)%Выделение  последнего столбца из матрицы

Результатом будет:

x =

0.5200

0.0800

1.6400 
 
 
 
 
 
 
 

 

Создадим  функцию в MATLAB, которая решает систему линейных уравнений методом Крамера:

function x = sUr( w,e )

% w- матрица  коэффициентов

% e- вектор  правой части уравнения

[m,n]=size(w);  % узнаем размерность матрицы

x=(1:n)';       % вектор решения

k=1;          % индекс в массиве х

d=det(w);      % считаем определитель исходной  матрицы

if d~= 0

a1=w;     

for j=1:n       % считаем определители и Х

    for i=1:n

        a1(i,j)=e(i);   % меняет столбец исходной  матрицы на вектор правой части

    end;

    d1=det(a1);    % считаем определитель

    x(k)=d1/d;    % считаем Х

    k=k+1;       % увеличиваем  индекс в массиве х

    a1=w;      % возвращаем исходную  матрицу

end;

end;

end 

Введём матрицу:

>> A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1] 

A = 

     1    -2     1

     2    -5    -1

    -7     0     1 

>> b=[2; -1; -2] 

b = 

     2

    -1

    -2

Вызываем  функцию: 

>> x=sUr(A,b)

Получаем  результат:

x =

    0.5200

    0.0800

    1.6400

Методы решения систем линейных уравнений в приложении MAPLE

Использование функций приложения MAPLE для решения систем линейных уравнений.

метод Крамера

> with(linalg):

> A:=matrix([[2,5,4],[1,3,2],[2,10,9]]);

Определители:

> Opr(A):=det(A);

> B:=matrix([[30,5,4],[150,3,2],[110,10,9]]);

> Opr(B):=det(B);

> C:=matrix([[2,30,4],[1,150,2],[2,110,9]]);

> Opr(C):=det(C);

> De:=matrix([[2,5,30],[1,3,150],[2,10,110]]);

> Opr(De):=det(De);

> x1:=Opr(B)/Opr(A);

> x2:=Opr(C)/Opr(A);

> x2:=Opr(De)/Opr(A);

 

матричный метод

Сначала убедимся, что определитель матрицы  из коэффициентов при неизвестных не равен нулю:

> A:=matrix([[3,2,-1],[2,-1,5],[1,7,-1]]);

> Opr(A):=det(A);

Теперь  вычислим обратную матрицу, с помощью  алгебраических дополнений. Для этого  сначала найдем союзную матрицу B:

> f:=(i,j)->(-1)^(i+j)*(det(minor(A,i,j)));

> C:=matrix(3,3,f);

транспонируем ее:

> CT:=transpose(C);

Находим обратную для А матрицу с помощью функций:

> ObrA:=inverse(CT);

> ObrA:=evalm(1/CT);

   

Задаём  столбец свободных членов:

> E:=matrix([[4],[23],[5]]);

Находим неизвестные:

> X:=evalm(ObrA&*E);

> X:=multiply(ObrA,E);

> X:=evalm(ObrA1&*E);

> X:=multiply(ObrA1,E);

 
 
 

 

Заключение

  В работе мы продемонстрировали различные методы решения систем линейных уравнений. Были выявлены их достоинства и недостатки. В процессе работы нами были выявлены наиболее простые и быстрые методы решения систем. Мы выяснили, что итерационные методы весьма удобны для использования современной вычислительной техникой.

  А так же, вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются округленными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна.

  При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность  метода.

  Можно заметить, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора приближения и быстроты итерационного процесса. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Список  используемой литературы

1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк Линейная алгебра, издание третье, дополненное.- Москва, Наука, 1984.-290с.
2. . А.Г. Цыпкин Справочник по математике, издание четвёртое.- Москва.: Наука, 1988.- 432с.  
3. Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание. : Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.-720 с. 
4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002 г. – 632 с.