Математическое моделирование

 

Филиал Российской академии народного хозяйства и  государственной службы при Президенте Российской Федерации 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  математическому  моделированию

  в теории управления  и исследованию  операций 

студента  1 курса магистратуры факультета ”Государственное и муниципальное управление” заочного отделения

Черногорова Сергея Анатольевича. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                        г. Н.Новгород  2011г. 
 

                           Содержание 
 

     1. Определение предмета и цели моделирования.

     2. Описание языка (аппарата) моделирования.

     3. Описание переменных, характеризующих  состояние системы и  

         существенные параметры внешней среды.

     4. Описание ограничений, то есть  множества возможных значений 

         переменных.

     5. Описание связей между переменными, то есть описание самой

         модели.

     6. Описание результатов исследования  модели. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                    
 

1. Предметом моделирования является взаимодействие двух конкурентов – владельцев двух   транспортных  компаний. Каждый из конкурентов выбирает свой, наиболее выгодный для него маршрут , стремясь максимизировать свою прибыль в условиях, зависящих от того, какие маршруты в ближайшее время откроет его главный конкурент. Цель моделирования – найти оптимальное распределение прибыли по маршрутам и ожидаемую прибыль. 

2.Аппарат моделирования – теория игр. Игра решается в смешанных стратегиях . Смешанный стратегии предполагают, что каждый игрок будет выбирать случайно из возможно допустимых чистых стратегий (но выбирать их с вероятностями), либо частично реализовывать чистые стратегии в заданных пропорциях. Нахождение этих вероятностей (или пропорций) и является решением игры. Таким образом, в общем виде, решением игры являются смешанные стратегии    и , где   и     - вероятности чистых стратегий в смешанной. 

Рассматриваемая ситуация решатся в смешенной  стратегии – игре 2х2, когда у каждого игрока имеется лишь по две стратегии. Платежная матрица такой игры: 

 

Если получается матрица большего размера, она упрощается до игры 2х2.

При этом используются следующие правила: 

а) Если все элементы какой-либо строки платежной матрицы не превышают соответствующих элементов любой другой строки, то строка с меньшими элементами соответствует стратегии, которая для игрока А заведомо не выгодна при любом ответе игрока В. Поэтому из платежной матицы строку с меньшими элементами можно вычеркнуть, тем самым выведя из рассмотрения соответствующую ей стратегию.   

б) С другой стороны, для игрока В невыгодна заранее, независимо от ответа А, стратегия, которой соответствует столбец платежной матрицы, у которого все элементы больше или равны соответствующим элементам любого другого столбца. Столбец с большими элементами также можно вывести из рассмотрения, вычеркнув из платежной матрицы. 

                  
 

3.Описание переменных, характеризующих состояние системы и существенные параметры внешней среды.:  

Директор транспортной компании А, оказывающей транспортные услуги по перевозке пассажиров в  областном центре, планирует открыть  один или несколько маршрутов. Для  этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит от того, какие маршруты в ближайшее время откроет главный конкурент - компания В. 

А1, А2, А3, A4 – маршруты транспортной компании A  

В1, В2, В3,B4,B5 - маршруты транспортной компании B 
 

Оценки прибыли  компании А (млн. руб.) при любом ответе компании В представлена платежной матрицей:

 
 

Находим оптимальное  распределение прибыли по маршрутам  и ожидаемую прибыль. Вычеркиваем из таблицы второй столбец, т.к. все его элементы больше или равны элементам третьего. Вычеркиваем четвертую строку, т.к. ее оставшиеся элементы меньше элементов третьей. Элементы первого столбца больше элементов третьего, вычеркиваем первый столбец. Вторую строку вычеркиваем в результате сравнения с первой. Четвертый столбец вычеркиваем после сравнения с третьим. В результате получаем матрицу: 
 

 
 
 
 

которая эквивалентна матрице: 

 
 

4.Описание ограничений, то есть множества возможных значений     переменных: 
 

        1)                     

       Где p1  и p3 – доля автомобилей транспортной компании используемых на наиболее прибыльных для компании А маршрутах.                            

      2)    - ожидаемая прибыль 
 

  

5. Описание связей  между переменными, то есть  описание самой   модели: 
 
 

                     

 
 
 

6.Описание результатов исследования модели. 
 

В итоге основываясь  на вычислениях 1/6 часть автопарка (17 машин) нужно направить на маршрут А1, а остальные 5/6 парка (83 машины) на маршрут А3. Маршруты А2 и А4 использовать не рационально. При этом прибыль, не зависимо от ответа компании В будет составлять 5,67 млн. руб.