Классификация систем массового обслуживания и их основные элементы

 (4)

      Подобные  же рассуждения для  приводят к уравнению

 (5)

      Для определения вероятностей получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Её решение представляет несомненные технические трудности.

4. Определение стационарного решения.

В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для . Существование таких решений устанавливается так называемыми эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введём для них обозначения . Заметим дополнительно, что при .

      Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4), (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

           (6)

при 1

        (7)

при

         (8)

      К этим уравнениям добавляется нормирующее  условие

           (9)

      Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введём обозначения: при 1

при

      Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принимает такой вид:

    при

Отсюда  заключаем, что при всех

т.е. при 1

          (10)

и при 

          (11)

Введём для удобства записи обозначение

.

      Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1

           (12)

При из (11) находим, что

и, следовательно, при 

          (13)

      Остаётся  найти  . Для этого в (9) подставляем выражения из (12) и (13). В результате

      так как бесконечная сумма, стоящая  в квадратных скобках, сходится только при условии, что

     (14)

то при  этом предположении находим равенство

        (15)

      Если  условие (14) не выполнено, т.е. если , то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения , расходится и, значит, должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех оказывается .

      Методы  теории цепей Маркова позволяют заключить, что при с течением времени очередь стремится к по вероятности.

      Поясним полученный результат на нескольких практических примерах, которые покажут, что обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам.

      Пусть врач успевает удовлетворительно осмотреть больного и заполнить его историю болезни в среднем за 15 минут. Планирующие органы из этого обычно делают вывод: за четырёхчасовый рабочий день врач должен принимать 16 человек. Однако больные приходят в случайные моменты времени. В результате при таком подсчете пропускной способности врача к нему неизбежно скапливается очередь, так как при проведенном подсчете принимается равным 1. Те же заключения относятся и к расчету числа коек в больницах, числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т. д. К сожалению, некоторые экономисты совершают такую же ошибку и при расчете погрузочных средств в карьерах, числе приемщиков на элеваторах, числе причалов в морских портах и пр.

      Во  всем дальнейшем мы предполагаем, что условие (14) выполнено.

5. Некоторые подготовительные результаты.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой . Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через вероятность того, что длительность ожидания превзойдёт t, и через вероятность неравенства, указанного в скобке при условии, что в момент поступления требования, для которого подсчитывается длительность ожидания, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

             (16)

      Прежде  чем преобразовать эту формулу  к виду, удобному для использования, приготовим некоторые необходимые для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для . Несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1

       =1- ,     (17)

а при  m=2

           (18)

      Вычислим  теперь вероятность того, что все  приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

 (19)

Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:

     (20)

при m=2

            (21)

      В формуле (19) может принимать любое значение от 0 до m (исключительно). Так что в формуле (20) < 1, а в (21) <2.

6. Определение функции распределения длительности ожидания.

      Если  в момент поступления требования в очереди уже находились k-m требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m+1 требований. Пусть означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего требования закончилось обслуживание ровно s требований. Ясно, что при имеет место равенство

      

      Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным  и не зависящим ни от того, сколько  требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность  за время t не завершить ни одного обслуживания (т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов) равна

      

      Если  все приборы заняты обслуживанием и ещё имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия — стационарность, отсутствие последействия и ординарность — выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

Итак,

и, следовательно,

Но вероятности известны:

поэтому

Очевидными  преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

=

            

             .

      Из  формул (18) и (19) следует, что  поэтому при m 0

          (22)

Само  собой разумеется, что при t 0

      Функция имеет в точке t=1 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

7. Средняя длительность ожидания.

      Формула (22) позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

      

Несложные вычисления приводят к формуле

           (23)

      Дисперсия величины равна

      

Формула (23) даёт среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает требований и среднем; общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна

         (24)

      Приведем  небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т=1 и т=2.

        При т=1 в силу (20)

      

При р=0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение а приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100.

      При m=2 в силу (24)

      При =0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение а приблизительно равно 00003; 0,333; 1,350; 17,537.

      Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный  факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Раздел  ІІІ. Пример использования СМО с ожиданием 

В городе имеется  транспортное агентство для обслуживания населения.       Число  заявок на обслуживание случайно и  представлено выборкой 1.

   Время  перевозок (включая время возвращения  в гараж), так же случайно и  представлено выборкой 2.

    Определить :

1. оптимальное число автомашин в агентстве, выполняющих операции в течение 10 часов в день; полагая, что обслуживание одной заявки приносит доход в 20 грн, а простой автомашины приносит убыток 3,25 грн. в час.
2. 5-6 операционных характеристик, наиболее существенных для анализа работы агентства.
3. Вероятность занятости каждой из автомашин в предложении, что все машины пронумерованы, а обслуживание очередной заявки осуществляет свободная машина с наименьшим номером.