Модель управления запасами

Отсюда получаем формулу оптимальной  партии поставки:

Теперь в рассматриваемом примере  можно рассчитать сразу два параметра:

шт; руб/год.

 

3. Точка заказа, ROP

При расчете  точки заказа следует учитывать, что в момента оформления заказа на складе должно находиться столько  запасов, чтобы покрыть весь спрос  до момента поставки очередной партии. В задаче известна длительность периода поставки: LT = 5 дн. Также легко определить среднедневной объем спроса, рассчитав его по формуле: d = D / 365 = 125000/365 = 342,5 шт/дн. Тогда точка заказа рассчитывается по формуле:

В рассматриваемом примере точка  заказа составляет величину: ROP = 342,5 ´ 5 = 1712,5 » 1713 шт. Таким образом, при снижении текущего уровня запасов до величины 1713 шт производится оформление заказа на поставку очередной партии товара.

4. Средний уровень запасов, AIL:

AIL = Q / 2

Объяснение этой формулы уже приводилось выше. В рассматриваемом примере средний уровень запасов в течение года составляет AIL = 6245 / 2 = 3122,5 шт.

5. Количество поставок в течение  года, N:

N = D / Q

Эта формула также рассматривалась  нами при формальном описании общих затрат. В нашем примере получаем, что N = 125000 / 6245 = 20. Таким образом, в течение года на склад будет поставлено 20 партий товаров для пополнения уровня запасов.

6. Период заказа, Т:

T = Q / D

Период заказа является обратной величиной  по отношению к количеству поставок партий товаров в течение года. В рассматриваемом примере получаем: T = 6245 / 125000 = 0,05 года. Разумеется, что в годах период поставки выражать неудобно, поэтому при расчетах лучше использовать другую формулу: T = 365 ´ (6245 / 125000) = 18,25 » 18 дн. Таким образом, ритм поставок в среднем составляет около 18 дней.

 

 

Модель точки заказа

От детерминированной базовой  модели перейдем к более сложным, стохастическим моделям. Первой в их ряду стоит модель точки заказа. Введем в рассмотрение новый стохастический фактор – случайные колебания спроса. При этом величина годового объема спроса становится случайной величиной с нормальным законом распределения. Параметрами этой случайной величины являются:

D – среднее значение годового объема спроса, шт/год;

S_D – среднеквадратическое отклонение (СКО) годового спроса, шт/год.

Случайные колебания рыночного  спроса создают для предприятия  риск непокрытия спроса вследствия нехватки товарных запасов на складе. Поскольку  запасы рассчитаны на покрытие только среднего объема спроса, то в случае, когда реальный спрос за период Т превысит свое среднее значение, часть спроса останется неудовлетворенной. При этом вероятность события, при котором у предприятия оказываются неудовлетворенные заказы, равна 50%, поскольку спрос с равной вероятностью отклоняется в большую и меньшую сторону от своего среднего значения.

Для того, чтобы избежать такой  нежелательной для предприятия  ситуации, или хотя бы уменьшить  вероятность ее наступления, т.е. снизить  риск непокрытия, на складе помимо уже созданного текущего запаса создается страховой запас. Текущий запас предназначается для покрытия среднего объема спроса за период Т, и поэтому он постоянно находится в процессе потребления и восполнения, обеспечивая тем самым непрерывность торгового процесса. Страховой же запас используется только в периоды случайного увеличения спроса, когда текущие запасы уже исчерпаны, а поставка очередной партии товаров на склад еще только ожидается.

В модели точки  заказа решается проблема расчета величины страхового запаса. Естественно, что никакой склад не может позволить себе иметь неограниченный страховой запас, и если это так, то всегда существует теоретическая вероятность превышения реального объема спроса не только текущего, но и страхового запаса. Однако, чем больше страховой запас, тем меньше вероятность такого события. Таким образом, регулируя величину страхового запаса, можно влиять на надежность обслуживания клиентов со стороны склада.

Модель точки  заказа: постановка и решение задачи

Рассмотрим пример.

Дано: D = 125000 – средний объем годового спроса, шт/год; S_D = 1480 – СКО годового спроса, шт/год; LT = 5 дн; C = 50 – стоимость единицы товара, руб/шт; S = 780 – затраты на доставку/производство партии товара (их постоянная часть, не зависящая от размера партии), руб; I = 10 – годовая норма прибыли (или ставка банковского процента),  %/год; k = 4,50 – удельные издержки непокрытия, руб/шт; Pr = 95% – вероятность покрытия спроса за период LT (данный параметр позволяет регулировать величину страхового запаса, а вместе с ним и надежность модели).

Требуется рассчитать параметры модели точки заказа: EOQ; ROP; AIL; T; N; TC; SL (Service Level) – уровень сервиса, %.

Решение

1. Оптимальная партия поставки, EOQ

Формулы расчета  перечисленных параметров базовой  модели лишь частично отличаются от аналогичных  параметров базовой модели. Так, например, формула расчета оптимальной  партии поставки остается в модели точки заказа без изменения:

шт.

2. Точка заказа, ROP

В начале было высказано  предположение, что годовой объем  спроса представляет собой случайную  величину N, распределенную по нормальному закону с параметрами (D, S_D). Тогда объем спроса за период поставки LT также является случайной величиной N_LT, распределенной по нормальному закону с параметрами (X_LT, S_LT), которые рассчитываются по формулам:

 ; .

Здесь X_LT – средний объем спроса за период поставки LT, шт; S_LT – среднеквадратическое отклонение объема спроса за период LT, шт.

Теперь рассмотрим стандартную случайную величину Z , которая имеет нормальное распределение с параметрами (m = 0; s = 1). Ниже приведены формулы функции плотности вероятностей и интегральной функции нормального распределения стандартной случайной величины Z:

;  .

График функции плотности вероятностей нормального распределения случайной величины Z представлен на следующем рисунке:

Рис. 3. Функция плотностей вероятностей нормального распределения величины Z

 

Площадь закрашенной  фигуры, изображенной на рисунке 3, равна  интегральной функции нормального  распределения стандартной величины Z, которая равная вероятности события, при котором величина Z не превосходит величину z₀: F(z₀) = P(Z < z₀). В данном конкретном случае эта вероятность равна величине P_r и составляет: F(z₀) = P_r = 0,95.

Вернемся теперь к случайной  величине N_LT. Напомним, что величина P_r – это вероятность покрытия спроса за период LT. Следовательно, необходимо подобрать такую величину ROP, чтобы выполнялось равенство: P(N_LT < ROP) = P_r, или, выражаясь словами, вероятность события, при котором объем спроса за период поставки LT не превышает величину ROP, составляла бы 95%. Далее заметим, что между случайными величинами Z и N_LT существует следующая зависимость: Z = (N_LT – X_LT) / S_LT, или: N_LT = X_LT + Z´S_LT. Тогда справедливо равенство, что , если при этом формула точки заказа имеет вид:

Данная формула состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – это  часть текущего запаса, предназначенная  для покрытия среднего объема спроса за период LT. Второе слагаемое – величина страхового запаса.

Произведем расчеты по этой формуле. Прежде всего, рассчитаем параметры распределения случайной величины N_LT:

 шт; шт.

Далее, определим величину z₀, если известно, что P_r = 0,95. Для этого воспользуемся таблицей А (см. приложение). В этой таблице заголовки строк и столбцов содержат в себе десятые и сотые доли величины z, а тело таблицы – множество значений интегральной функции F(z). Найдем в теле таблицы ячейку с наиболее близким значением к величине 0,95. В таблице таких значений две –0,9495 и 0,9505. Выберем ячейку со значением 0,9495. Данная ячейка находится на пересечении строки со значением 1,6 и столбца со значением 0,04. Отсюда определяем, что z₀ = 1,64. Другой способ определить величину z можно также в электронных таблицах Microsoft Excel, используя функцию: z₀ = НОРМСТОБР (Pr) = НОРМСТОБР (0,95) = 1,644853.

Теперь можно рассчитать точку  заказа:

шт.

Таким образом, оформление нового заказа производится при снижении запасов  до уровня 1997шт. При этом величина страхового запаса составляет 284 шт, который позволяет обеспечить гарантированное покрытие спроса за период поставки LT = 5 дн, то есть с момента оформления заказа до момента его выполнения, с вероятностью 95%.

Чуть ниже мы проанализируем, каким  образом с помощью параметра  P_r можно регулировать величину страхового запаса и какие это будет иметь последствия для надежности системы в целом.

3. Средний уровень  запасов, AIL:

AIL = Q / 2 + z₀ ´ S_LT

Данная формула состоит из двух слагаемых: средний уровень текущего запаса и страховой запас. Производим расчет: AIL = 6245 / 2 + 1,64 ´ 173,2 = 3122,5 + 284,0 = 3406,5 шт.

Следующие два показателя остаются без изменений.

4. Количество поставок  в течение года, N:	5. Период заказа, Т:
N = D / Q = 125000 / 6245 = 20	T = Q / D = 6245 / 125000 = 0,05 год, или T = 365  (6245 / 125000) = 18 дн.

´

6. Общие затраты, TC

В общих затратах, помимо стоимости  доставки и стоимости хранения текущего запаса, учитываются две новые  стоимостные составляющие: стоимость  хранения страхового запаса и издержки непокрытия:

Первые два слагаемых подробно рассматривались в базовой модели. Рассмотрим два последних слагаемых. Напомним, что стоимость хранения единицы продукции в течение года рассчитывается по формуле: h = IC, а величина страхового запаса – это z₀´S_LT. Тогда третье слагаемое – это годовые затраты на хранение страхового запаса.

В четвертом слагаемом появляется новое условное обозначение: E(z) – интегральная функция непокрытия случайной величины Z. Формула функции E(z):

Функция E(z) используется для оценки наиболее вероятного объема непокрытия, т.е. той части спроса, которую фирма не сможет удовлетворить из-за отсутствия товаров на складе. Так, за период LT наиболее вероятный объем непокрытия составит величиу E(z₀) ´ S_LT, шт. Коэффициент k – удельные издержки непокрытия, т.е. те потери, которые несет фирма при непокрытии одной единицы продукции, на которую предъявлен спрос на рынке. Тогда выражение k´E(z₀)´S_LT означает издержки непокрытия за период LT, которые умножаются на количество поставок в течение года, или количество периодов LT в течение года: N = D / Q.

Определить величину E(z₀) можно с помощью таблицы B (см. приложение). Ее структура повторяет структуру таблицы A. Определим величину E(z₀) при z₀ = 1,64. Разобьем величину z₀ на два слагаемых: z₀ = 1,6 + 0,04. Найдем строку и столбец с соответствующими значениями и на их пересечении отыщем ячейку, которая будет содержать искомое значение: E(z₀) = E(1,64) = 0,0211.

Теперь произведем расчет общих  затрат:

Итак, годовые затраты на управление запасами составляют 33 386 руб/год.

7. Уровень сервиса, SL

Уровень сервиса является показателем  надежности системы запасов и  представляет собой среднюю вероятность  удовлетворения конкретного заказа, поступающего на склад от потребителя. Формула расчета величины SL:

Здесь величина (D/Q)´E(z₀)´S_LT представляет собой оценку наиболее вероятного годового объема непокрытия.

Произведем расчет: SL = 1 – 0,0211 ´ 173,2 / 6245 = 0,9987, или 99,87%. Отметим, что это очень высокий показатель надежности системы и что он гораздо больше величины P_r = 0,95. Объясняется это тем, что величина P_r отражает вероятность покрытия спроса только за период LT, когда текущий уровень запасов оказывается ниже точки заказа ROP. Во всех остальных случаях, когда уровень запасов выше точки заказа, вероятность покрытия, естественно, составляет 100%. В среднем же за год вероятность покрытия равна 99,94%.

Теперь проанализируем, как меняются параметры модели точки заказа при  различных значениях величины P_r. Данные для анализа представлены в таблице 2:

Pr	z0SLT	TC	SL
50%	0	45 142	97,53%
75%	117	37 053	99,07%
90%	222	33 992	99,71%
95%	285	33 386	99,87%
99%	403	33 362	99,98%

´

 

Модель периода  заказа

Модель периода заказа, как и  предшествующая ей модель точки заказа, строится на основе базовой модели. Отличием моделей точки заказа и периода заказа заключается в одном важном, принципиальном различии в подходе к управлению запасами на складе, благодаря которому можно разграничить и сферы (или условия) применения обеих моделей. Обратимся к рисунку 2, где показана динамика изменения запасов на складе в базовой модели, в которой не учитывается фактор случайных колебаний спроса. Из рисунка следует, что двумя ключевыми параметрами модели являются размер партии поставки Q и период заказа T. В модели точки заказа делается предположение, что спрос – это случайная величина, распределенная по нормальному закону распределения. Это значит, что интенсивность спроса может отклоняться от своего среднего значения с равной вероятностью в большую или меньшую сторону. В модели точки заказа это ведет к тому, что период заказа Т также становится случайной, переменной величиной. В самом деле, если на складе текущий уровень запасов (обозначим его для удобства величиной q) равен своему максимальному значению (q = Q), то при высокой интенсивном спроса текущий уровень запаса быстрее снизится до точки заказа (q = ROP), а значит быстрее будет оформлен и выполнен новый заказ на поставку очередной партии товара. Таким образом, при высокой интенсивности спроса длительность периода заказа уменьшается (ТØ). И наоборот, при низкой интенсивности спроса текущий уровень запаса будет снижаться до уровня точки заказа медленнее, а значит оформление и выполнение нового заказа также затягивается во времени и длительность периода заказа увеличивается (ТÚ). В то же время, при переменной длительности периода заказа (Т ¹ const) второй параметр, размер партии поставки, остается строго фиксированной величиной (Q = const).