Метод Монте-Карло

 

      Инвестора интересует реализуемая доходность портфеля облигаций за 6 месяцев. По его мнению, реализуемая доходность портфеля будет определяться следующими двумя факторами: кривой доходностей  казначейских облигаций через 6 месяцев  и спредом между доходностями корпоративных и казначейских облигаций. Предположим, что инвестор располагает еще и следующей информацией: 

Доходности  казначейских облигаций, %			Вероятность	Разбиение промежутка [0, 1)	Величина  спреда между доходностями, б, п.*	Вероятность	Разбиение промежутка [0,1)
5 лет	15 лет	25 лет
4	6	7	0,20	[0; 0,20)	75	0,10	[0; 0,10)
5	8	9	0,15	[0,20; 0,35)	100	0,20	[0,10; 0,30)
6	7	7	0,10	[0,35; 0,45)	125	0,25	[0,30; 0,55)
7	8	8	0,10	[0,45; 0,55)	150	0,25	[0,55; 0,80)
9	9	9	0,20	[0,55; 0,75)	175	0,15	[0,80; 0,95)
10	8	8	0,25	[0,75; 1,00)	200	0,05	[0,95; 1,00)

 

      Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций можно использовать метод Монте-Карло. Первая итерация (случайные числа: 0,91 для кривой доходностей и 0,12 для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских облигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет составят соответственно 10, 8 и 8%, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения 15 и 25 лет — 9 и 9%.

      Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долл.) через 6 месяцев определяются следующим  образом:

      P₁ = 6/0,1 (1- 1/ (1+0,05)10)+100/(1+0,05)10 = 84,55653

      P₂ = 100 (купонная ставка совпадает с доходностью).

      P₃ = 10,5/0,09 (1 – 1/(1,045)50)+ 100/(1,045)50 = 114,82151

      Значит, реализуемая доходность портфеля облигаций составит:

      P₁·5·104+P₂·4·104+P₃· 6·104+15·104+18·104+315·103-15·106=0,1016

      Т.е. 10,16%

      Предположим, что было проведено 100 итераций. При  этом оказалось, что наименьшая реализуемая  доходность портфеля равна -3,905%, а наибольшая реализуемая доходность составляет 24,97%.

      Разделив  отрезок (-3,905%; 24,97%) на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходность из этой части.

      Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятностей реализуемой  доходности портфеля облигаций. После  чего можно получить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: среднее значение, стандартное отклонение и т. д.

 

      2 Метод Монте-Карло  в условиях управления  рыночными рисками. 

      Метод Монте-Карло, или метод стохастического  моделирования (Monte Carlo simulation), основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. В отличие от метода исторического моделирования, в методе Монте-Карло изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например математическим ожиданием μ и волатильностью σ. Имитируемое распределение может быть, в принципе, любым, а количество сценариев — весьма большим (до нескольких десятков тысяч). Выделяют:

• метод Монте-Карло для одного фактора риска;
• метод Монте-Карло для портфеля активов.

      Рассмотрим  Метод Монте-Карло для одного фактора риска. Моделирование траектории цен производится по различным моделям. Например, распространенная модель геометрического  броуновского движения дает в итоге  следующие выражения для моделирования  цен S на каждом шаге процесса, состоящего из очень большого количества шагов, охватывающих период Т:

      dSt = St (μdt + σdzt),  (3)

     где dzt — винеровский случайный процесс.

      Воспользовавшись  определением винеровского процесса, уравнение (3) можно записать в дискретной форме:

      σσ∆St= St-1 (μ∆t + σε√∆t) ,  (4)

      т. е.

      St+1 = St + St (μ∆t + σε1√∆t),  (5)

      St+1 = St+1 + St+1 (μ∆t + σε2√∆t),  (6)

      ST = St+n. (7)

      Если  траектория цен состоит из n равных шагов (например, n дней), то один шаг ∆t = 1/n, а случайная величина ε подчиняется стандартному нормальному распределению (μ = 0, σ = 1). Можно использовать и иные модели эволюции цен, например экспоненциальную.

      Траектория  цен — это последовательность псевдослучайным образом смоделированных цен, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором конечном шаге, например на тысячном или десятитысячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода.

      Каждая  траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге исходя из текущей цены. Затем производится полная переоценка портфеля по цене последнего шага и расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR производится по распределению изменений стоимости портфеля.

      Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло  состоит из двух шагов. Сначала можно  воспользоваться генератором случайных  чисел, равномерно распределенных на интервале  между 0 и 1 (рассмотрено выше). Затем, используя как аргументы полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых распределений.

      Однако  следует помнить, что генераторы случайных чисел работают на детерминированных  алгоритмах и воспроизводят так  называемые «псевдослучайные числа», поскольку с некоторого момента  последовательности этих псевдослучайных  чисел начинают повторяться, т. е. они  не являются независимыми. В простейших генераторах это происходит уже  через несколько тысяч генераций, а в более сложных— через миллиарды генераций. Если массив случайных чисел начинает повторяться слишком быстро, то метод Монте-Карло перестает моделировать случайные, независимые сценарии и оценка VaR начинает отражать ограниченность генератора, а не свойства портфеля. Оптимальное количество шагов в процессе зависит от объема выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др.

      Рассмотрим  пример: элементы расчета VaR методом Монте-Карло на современном российском рынке. Для расчета VaR можно использовать различные модификации метода Монте-Карло; в данном случае метод описывается следующим образом:

      По  ретроспективным данным рассчитываются оценки математического ожидания х и волатильности σ.

      С помощью датчика случайных чисел  генерируются нормально распределенные случайные числа ε с математическим ожиданием, равным х, и стандартным отклонением σ.

      Полученными на предыдущем шаге случайными числами  ε заполняется таблица размерностью 500 столбцов на 1000 строк (вообще говоря, размерность таблицы произвольная и зависит, например, от имеющихся  вычислительных мощностей, но, чтобы  метод обеспечивал приемлемую точность, она должна быть достаточно большой).

      Вычисляется траектория моделируемых цен вплоть до S1000 по формуле S_t=S_t-1e ε_t-1, где е — основание натурального логарифма, St— текущая цена (курс) актива.

      Производится  переоценка стоимости портфеля (состоящего в данном примере из одного актива) по формуле:

      ∆V= Q (S₁₀₀₀ – S₀),  (8)

      где Q — количество единиц актива.

      Шаги 4 и 5 выполняются 500 раз для заполнения таблицы 500 х 1000. Полученные 500 значений ∆V сортируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка). Эти ранжированные изменения можно пронумеровать от 1 до 500. В соответствии с желаемым уровнем доверия (1 - α) риск-менеджер может определить VaR как такой максимальный убыток, который не превышается в 500(1 - α) случаях, т. е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным 500(1 - α).

      Первые  шесть шагов повторяются для каждого расчета каждого дневного VaR.

      В качестве объекта исследования был  выбран индекс РТС. Генерация случайных  чисел производилась при помощи встроенного генератора МS Ехсеl.

      Метод Монте-Карло является наиболее технически сложным из всех описанных методов  расчета VaR. Кроме того, для выполнения расчетов в полном объеме необходимы значительные вычислительные мощности и временные ресурсы. Современные компьютеры пока еще не позволяют обрабатывать информацию в режиме реального времени, как этого требуют трейдеры, если риск-менеджеры хотят устанавливать VaR-лимиты на величину открытых позиций с помощью метода Монте-Карло.

      Существует  вариант метода Монте-Карло, согласно которому можно не задавать какое-либо конкретное распределение для моделирования  цен, а использовать непосредственно  исторические данные. Подобно методу исторического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последовательность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку  выборка производится с возвращением (bootstrap), т. е. возмущение из исторических данных выбирается случайным образом, и каждый раз в выборе участвуют все данные. Такое построение выборки исторических данных позволяет учесть эффект «толстых хвостов» и скачки цен, не строя предположений о виде распределения. Это несомненные достоинства метода, который, в отличие от метода исторического моделирования, позволяет рассмотреть не какую-либо одну траекторию цен (сценарий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок. Недостатками данной методики являются низкая точность при малых объемах выборки и использование предположения о независимости доходностей во времени.

      Теперь  рассмотрим метод Монте-Карло для  портфеля активов. Чтобы проводить  моделирование по Монте-Карло для  многофакторного процесса, можно  точно так же моделировать каждый из к рассматриваемых факторов исходя из сгенерированных случайных чисел:

      dS_t,j = μ_t,j· S_t,j dt + σ_t,j· S_t,j Sdz_t,j, j = 1,2, …, k,  (9)

      или для дискретного времени:

      ∆S_t,j = S_t-1,j· (μ_j∆t + σ_jε_j√∆t), j = 1,2, …, k.  (10)

      С целью учета корреляции между  факторами необходимо, чтобы случайные  величины ε_i и ε_j точно так же коррелировали между собой. Для этого используется разложение Холецкого, суть которого состоит в разложении корреляционной матрицы на две (множители Холецкого) и использовании их для вычисления коррелированных случайных чисел.

      Корреляционная  матрица является симметричной и  может быть представлена произведением  треугольной матрицы низшего  порядка с нулями в верхнем  правом углу на такую же транспонированную  матрицу. Например, для случая двух факторов имеем:

      Отсюда

      Коррелированные случайные числа ε₁ и ε₂ получаются путем перемножения множителя Холецкого и вектора независимых случайных чисел η:

      При расчетах необходимо правильно выбрать  количество множителей,

чтобы получилась положительно определенная матрица.

      Достоинства метода Монте-Карло:

• высокая точность расчетов;
• высокая точность применительно к инструментам с нелинейными ценовыми характеристиками;
• возможность моделирования любых исторических и гипотетических распределений, учет эффекта «толстых хвостов» и скачков цен (вегариска).

      Недостатки  метода Монте-Карло:

• высокая сложность моделей и соответственно высокий риск неадекватности моделей;
• высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов.

Заключение 

      В данной работе был рассмотрен метод Монте-Карло. Этот метод имитации применим для решения почти всех задач при условии, что альтернативы могут быть выражены количественно. Построение модели начинается с определения функциональных зависимостей в реальной системе, которые, впоследствии, позволяют получить количественное решение, используя теорию вероятности и таблицы случайных чисел.