Мышление и математическая логика

«Мышление и математическая логика»

Математика является наукой, в которой все утверждения  доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов  человеческого мышления. Изучение законов  человеческого мышления является предметом  логики.

Как самостоятельная наука  логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г.г до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой.

Формальная логика просуществовала  без серьёзных изменений более  двадцати столетий. Естественно, что  развитие математики выявило недостаточность  Аристотелевой логики и потребовало  дальнейшего её развития.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком  Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

“Мы употребляем знаки  не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для  того, чтобы облегчить сам процесс  нашего мышления” (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному  Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в  которой буквами обозначены высказывания, и это привело к АЛГЕБРЕ  ВЫСКАЗЫВАНИЙ. Введение символических  обозначений в логику имело для  этой науки такое же решающее  значение, как и введение буквенных  обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

Применение математики к  логике позволило представить логические теории в новой удобной форме  и применить вычислительный аппарат  к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований.

К концу XIX столетия актуальное значение для математики приобрели вопросы обоснования её основных понятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики. В этом отношении показательны работы немецкого математика Г. Фреге (1848 - 1925) и итальянского математика Д. Пеано (1858 - 1932), которые применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.

Особенности математического  мышления объясняются особенностями  математических абстракций и многообразием  их взаимосвязей. Они отражаются в  логической систематизации математики, в доказательстве математических теорем.

В связи с этим современную  математическую логику определяют как  раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и  вопросов оснований математики.

Одной из основных причин развития математической логики является широкое  распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп  и т.д.

В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношения между  ними. Эти понятия и отношения  называются основными. Далее без  доказательства  принимаются основные положения рассматриваемой теории – аксиомы. Всё дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято  Евклидом в построении геометрии.

Изложение этой теории в  “Началах” не безупречно. Евклид здесь  пытается дать определение исходных понятий (точки, прямой, плоскости). В  доказательстве теорем используются нигде  явно не сформулированные положения, которые  считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая  логическая строгость, хотя истинность всех положений теории не вызывает сомнений.

Отметим, что такой подход к аксиоматическому построению теории оставался единственным до XIX века. Большую роль в изменении такого подхода сыграли работы Н. И. Лобачевского (1792-1856).

Лобачевский впервые в  явном виде высказал убеждения в  невозможности доказательства пятого постулата Евклида и подкрепил  это убеждение созданием новой  геометрии. Позже немецкий математик  Ф. Клейн (1849-1925)  доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем фактически была доказана и невозможность доказательства пятого постулата Евклида.

Так возникли и были решены в работах Н. И. Лобачевского и  Ф. Клейна впервые в истории математики проблемы невозможности доказательства и непротиворечивости в аксиоматической  теории.

Непротиворечивость  аксиоматической  теории является одним из основных требований, предъявляемых к системе  аксиом данной теории. Она означает, что из данной системы аксиом нельзя логическим путём вывести два  противоречивых друг другу утверждения.

Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий можно осуществить  различными методами. Одним из них  является МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ или  ИНТЕРПРЕТАЦИЙ. Здесь в качестве основных понятий и отношений  выбираются элементы некоторого множества  и отношения между ними, а затем  проверяется, будут ли выполняться  для выбранных понятий и отношений  аксиомы данной теории, то есть строится модель для данной теории.

Так, аналитическая геометрия  является арифметической интерпретацией геометрии Евклида. Ясно, что метод  моделирования сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к проблеме непротиворечивости другой теории.

Большинство интерпретаций  для математических теорий (и, в частности, для арифметики) строится на базе теории множеств.

Однако в конце XIX века в теории множеств были обнаружены противоречия (парадоксы теории множеств). Ярким примером такого парадокса является парадокс Б. Рассела.

Разобьем все мыслимые множества на два класса. Назовём  множество “нормальным”, если оно  не содержит себя в качестве своего элемента и “ненормальным” в противном случае. Например, множество всех книг – “нормальное” множество, а множество всех мыслимых вещей - “ненормальное” множество. Пусть L – множество всех “нормальных” множеств. К какому классу относится множество L?

Если L – “нормальное” множество, то L Î L, т.е. содержится в классе “нормальных” множеств, но тогда оно содержит себя в качестве своего элемента, и поэтому “ненормально”.

Если L – “ненормальное” множество, то L Ï L, т.е. не содержится среди “нормальных” множеств, но тогда L не содержит себя в качестве своего элемента, и потому оно “нормально”. Таким образом, понятие “нормального” множества приводит к противоречию.

Попытки устранить противоречия в теории множеств привели ЦЕРМЕЛО к необходимости построить аксиоматическую теорию множеств. Последующие видоизменения и усовершенствования этой теории привели к созданию современной теории множеств. Однако средства этой аксиоматической теории не позволяют доказать её непротиворечивость.

Другие методы обоснования  математики были развиты  Д. ГИЛБЕРТОМ (1862-1943) и его школой. Они основываются на построении математических теорий как синтаксических теорий, в которых  все аксиомы записываются формулами  в некотором алфавите и точно  указываются правила вывода одних  формул из других, т.е. в теорию как  составная часть входит математическая логика.

Таким образом, математическая теория, непротиворечивость которой  требовалось доказать, стала предметом  другой математической теории, которую  Гилберт назвал МЕТАМАТЕМАТИКОЙ, или  ТЕОРИЕЙ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ.

В связи с этим возникает  задача построения синтаксической, т.е. формализованной аксиоматической  теории самой математической логики. Выбирая по-разному системы аксиом и правила вывода одних формул из других, получают различные синтаксические логические теории. Каждую из них называют ЛОГИЧЕСКИМ ИСЧИСЛЕНИЕМ.