Логика

1.2

Отрицание — логическая операция, с помощью которой из данного  высказывания получается новое высказывание; при этом если исходное высказывание истинно, его О. не является истинным, а если оно ложно, его О. не является ложным. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и помещаемого перед ним знака О. (в логике ~ или 1), читаемого как «не» или «неверно, что»; О. высказывания A является сложное высказывание ~А. В логике классической если высказывание А истинно, его О. ~А ложно, а если A ложно, его О. ~А истинно. Напр., т. к. высказывание «10 — четное число» истинно, его О. «Неверно, что 10 — четное число» ложно.

Закон исключения третьего - логический закон, согласно которому истинно или само высказывание, или его отрицание. Закон устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями: одно из таких высказываний истинно. Напр.: «Аристотель умер в 322 г. до н. э. или он не умер в этом году». «Завтра будет морское сражение или завтра не будет морского сражения» и т. п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как описывается в рассматриваемом высказывании, или так, как говорит его отрицание; третьего варианта нет («третьего не дано»). Символически 3. и. т. представляется формулой (р — некоторое высказывание; v — дизъюнкция, «или»; ~ - отрицание, «неверно, что»): pv~p, р или не-р. 3. и. т. был известен еще до Аристотеля. Однако он первым сформулировал этот закон, подчеркнув его важность для понимания мышления: «Не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать». От Аристотеля идет традиция давать 3. и. т. разные интерпретации. 1. З.и.т. истолковывается как принцип логики, говорящий о высказываниях и их истинности: или высказывание, или его отрицание должно быть истинным. 2. Закон понимается как утверждение об устройстве самого мира: всякий объект или реально существует, или не существует. 3. Закон звучит как принцип методологии научного познания: исследование каждого объекта должно вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно каждого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет.

2.2

Высказывание - грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом. В логике употребляется несколько понятий В., существенно различающихся между собой. Прежде всего это понятие В. дескриптивного, или описательного, основной задачей которого является описание действительности. Такое В. является истинным или ложным; иногда допускается, что оно способно принимать некоторые «неопределенные» значения истинности, промежуточные между полной истиной и полной ложью. Логика долгое время тяготела к употреблению термина «В.» лишь применительно к описательным В. Так, логика классическая трактует В. как повествовательное предложение, рассматриваемое вместе с его содержанием в аспекте истинностного значения. Курс современной логики обычно начинается определением В. как предложения, являющегося истинным или ложным. Поскольку оценки, нормы, временные утверждения, меняющие свое значение истинности с течением времени, бессмысленные утверждения и т. п. не имеют истинностного значения, данное определение можно понимать как приложимое только к описательным В. Очевидно, однако, что законы классической логики справедливы не только для описательных В. Следующим важным типом В. является оценочное В., устанавливающее абсолютную или сравнительную ценность какого-то объекта. К оценочным В. относятся собственно оценки, включающие понятия «хорошо», «плохо», «лучше», «хуже» и т. п., а также аналитические В., утверждения о целях, стандарты, конвенции, идеалы и т. п. Частным случаем оценочного В. является нормативное В. Промежуточную группу между описательными и оценочными В. образуют «смешанные», описательно-оценочные В. Они не только описывают и фиксируют сложившуюся языковую практику, но и оценивают ее, предписывают конкретное языковое поведение. Двойственные, описательно-оценочные В. в одних ситуациях играют роль описаний и могут, как таковые, характеризоваться как истинные или ложные, в других — выполняют функцию оценок, лишенных истинностного значения. В качестве еще одной несамостоятельной группы могут быть выделены неопределенные В. типа: «Этот дом голубой», «Здесь растет дерево», «Завтра будет солнечное затмение» и т. п. Такие В. сами по себе не являются ни истинными, ни ложными, они приобретают истинностное значение только в локализованной ситуации, в частности при указании пространственно-временных координат. Многие В., относимые обычно к описательным, являются на самом деле неопределенными. Скажем, В. «Лондон больше Рима» истинно, но истинно именно теперь: было время, когда Рим был больше Лондона, и, возможно, в будущем эта ситуация повторится. Временными В., меняющими свое истинностное значение с течением времени, занимается логика времени. Были попытки построить осо'бую логику пространства, описывающую логические связи пространственно неопределенных В. Существенно, что неопределенными могут быть как описательные, так и оценочные В. Еще одну группу В., изучаемых современной логикой, составляют В., относимые обычно к бессмысленным. Напр.: «Простые числа зеленые». Это правильно построенное предложение. Такими же являются, очевидно, предложения «Истинно, что простые числа зеленые» и «Должно быть так, что простые числа зеленые» («Простые числа должны быть зелеными»). Первое предложение кажется описанием, но не является ни истинным, ни ложным, поскольку цвета не имеют отношения к числам. Второе предложение выражает, как может показаться, оценку, но о нем нельзя сказать, по аналогии с обычными оценочными высказываниями, что даваемая им оценка эффективна или целесообразна. Сходным образом обстоит дело с В. «Нынешний король Франции является лысым», «Пегас имеет крылья» и т. п., говорящими о свойствах несуществующих объектов. К бессмысленным иногда относятся также В. с туманным смыслом, подобные «Существовать - значит быть воспринимаемым». Нельзя сказать, что бессмысленные В. не являются В., хотя они не относятся ни к описательным, ни к оценочным В. и стоят не только «вне истины и лжи», но и «вне целесообразного и нецелесообразного». Бессмысленные В. могут быть тем не менее составными частями наших рассуждений. Исследованием таких В. занимается так называемая «логика бессмысленности» (см.: Бессмысленное). Она устанавливает, в частности, такие законы: отрицание бессмысленного В. есть бессмысленное В.; следствия бессмысленного В. также являются бессмысленными и т. п. Проблема отнесения бессмысленных В. к В. усложняется, однако, тем, что само бессмысленное неоднородно. Оно простирается от относительной бессмыленности, связанной со смешением семантических категорий, до полной бессмысленности, обусловленной нарушением правил синтаксиса. Если выражение «И -желтое число» еще можно причислить к В., то вряд ли это правомерно в случае выражений типа: «Я ходит», «Если идет дождь, то голова», «Хлестаков — человек является человеком» и т. п. Перечень разных видов В., изучаемых логикой, показывает, что область понятия В. является гетерогенной и не имеет четких границ. Описательные В. - только один из многих видов В., не сводимых друг к другу.

3.2

Экзистенциальное Высказывание   
(от лат. existentia - существование) — высказывание о существовании к.-л. предметов и явлений, напр.: «Жизнь на Марсе существует», «Существуют ядовитые грибы» и т. п. Для выражения таких высказываний в формальном языке используется квантор существования «$х» (читается: «Существует х такой, что...»). Высказывание «Существуют ядовитые грибы» в формальном языке будет выглядеть так: «Существует х такой, что х есть ядовитый гриб». Отрицание Э. в. эквивалентно общему высказыванию: «Неверно, что существуют ядовитые грибы» эквивалентно «Все грибы неядовиты», и обратно, отрицание общего высказывания эквивалентно Э. в.: «Неверно, что все деревья теряют листву зимой» эквивалентно «Существует дерево, которое не теряет листвы зимой». Э.в. является следствием истинного единичного высказывания: из высказывания «Солнце — звезда» следует «Существуют звезды».

4.2

Переменная   
- а) П. величина, которая может принимать в процессе своего изменения различные значения; б) неопределенное имя предмета из некоторой области значений этой П., вместо которого могут подставляться имена предметов этой области. П. величина характеризуется тем, что относит к значениям одной (независимой) П. величины значения другой П. величины, зависящей от первой (см.: Функция). С такими П. величинами мы встречаемся в формулах математики (напр., у=х2), физики (f = т

Рассмотрим две  задачи.

Задача 1. Завод ежедневно перерабатывает 5 т молока. Сколько тонн молока перерабатывает завод за p дней?

Задача 2. Ширина прямоугольника равна 5 см, а длина p см. Какова площадь этого прямоугольника?

Решение каждой из этих задач приводит к одному и  тому же выражению 5p, значение которого зависит от значений p. Если p = 1, то 5p = 5; если p = 2, то 5p = 10 и т.д. С изменением значений p изменяется и значение выражения 5p.

Букву p в этом выражении называют переменной, а само выражение 5p – выражением с переменной.

Мы  рассмотрели случай, когда выражение  содержало одну переменную. Выражение  может содержать две, три и более переменных. Например, выражение x – 5y содержит две переменные: x и y. Его значение зависит как от значений переменной x, так и от значений переменной y. Если x = 8 и y = 1, то x – 5y = 3, если x = 0 и , то x - 5y = – 1 и т.д.

Таблицей  с двумя входами является таблица  квадратов натуральных чисел.

Выражения с переменными  применяются для записи чисел  определённого вида. Приведём примеры.

Любое чётное натуральное  число можно представить выражением вида 2n, где . Действительно, если мы будем вместо n последовательно подставлять числа 1, 2, 3 и т.д., то получим последовательность чётных чисел: 2, 4, 6 … .

Всякое натуральное  число, дающее при делении на 3 в остатке 2, можно записать так: 3n + 2, где n – целое неотрицательное число.

Всякое двузначное число можно записать в виде 10a + b, где a – цифра десятков, а b – цифра единиц. В этом случае значениями переменных a и b являются однозначные натуральные число, причём . Двузначное число, состоящее из a десятков и b единиц записывают так: (черта сверху говорит о том, что данное выражение не является произведением переменных a и b).

3/3

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Для обозначения угла имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Построение угла, равного данному

 
 
Отложить от данной полупрямой в  данную полуплоскость угол, равный данному углу.  
 
 
 
Решение.  
 
 
 
Проведем окружность с произвольным радиусом и центров в вершине A данного угла. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами угла. И проведем отрезок BC.  
 
 
 
Проведем окружность радиусом AB с центром в точке О – начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения окружности с лучом обозначим B1.  
 
 
 
Теперь опишем окружность с центром B1 и радиусом BC. Пусть точка С1 пересечение построенных окружностей в указанной полуплоскости.  
 
 
 
Проведем луч из точки O, через точку С1. Угол C1OB1 и будет искомый.  
 
Доказательство.  
 
 
 
Треугольники ABC и OB1C1 равны как треугольники с соответствующими сторонами. И следовательно углы CAB и C1OB1 равны.

Угол  – это геометрическая фигура  ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ). 

Угол обозначается символом   и тремя буквами, обозначающими концы лучей и вершину угла: AOB ( причём, буква вершины – средняя ). Углы измеряются величиной поворота луча ОА вокруг вершины O до тех пор, пока  луч OA не переходит в положение OB. Широко применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. О радианном измерении углов см. ниже в пункте «Длина дуги», а также в главе «Тригонометрия». 

 

Градусная система  измерения углов. Здесь единицей измерения является градус ( его обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360  полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360º. Один градус делится на  60 минут ( обозначение ‘ ); одна минута – соответственно на 60 секунд  ( обозначение “ ). Угол в 90° ( рис.2 ) называется прямым; угол, меньший, чем  90° ( рис.3 ), называется острым; угол, больший, чем 90° ( рис.4 ), называется тупым. 

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.  

 

Знаки углов. Угол считается положительным, если вращение выполняется против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Например, если луч OA смещается к лучу OB так, как показано на рис.2, то AOB = + 90 º ; но на рис.5  AOB = – 90 º .

            

 

Смежные углы ( рис.6 ) – это углы AOB и COB, имеющие общую вершину O и общую сторону OB; две другие стороны OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°. 

 

Вертикальные  углы ( рис.7 ) – это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого:   AOB и  COD ( а также AOC и DOB )  - вертикальные углы.

3/3

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам ( рис.8 ). Биссектрисы вертикальных углов ( OM и ON, рис.9) являются продолжениями одна другой. Биссектрисы смежных углов ( OM и ON, рис.10 ) взаимно перпендикулярны.

Свойство  биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Построение биссектрисы  угла

 
 
 
 
 
 
Построить биссектрису данного угла.  
 
Решение  
 
 
 
Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса r. Пусть B и С – точки ее пересечения со сторонами угла.  
 
 
 
Из точек В и С проведем окружности тем же радиусом r. Пусть точка D – точка их пересечения отличная от A.  
 
 
 
Проведем луч AD.  
 
 
 
Проведем отрезки BD и CD. Δ ABD = Δ ACD, по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ BAD = ∠ CAD и следовательно AD – биссектриса угла BAC.

4/3

Отрезок прямой — это множество (часть прямой), состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок прямой, соединяющий две точки и (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом — . Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок ». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как .

Деление отрезка  пополам

 
 
 
 
 
 
Разделить отрезок пополам.  
 
 
 
Пусть AB данный отрезок. Описываем окружность радиусом AB с центром в точках A и B. Пусть эти окружности пересекаются в точках С1 и С2.  
 
 
 
Точки С1 и С2 лежат в разных полуплоскостях от прямой AB. Проведем через точки С1 и С2 прямую. Пусть она пересекает прямую AB в некоторой точке О. Точка О – средина отрезка AB.  
 
 
 
Доказательство. Δ C1AC2 = Δ C1BC2 по третьему признаку равенства треугольников (AC1 = BC1, AC2 = BC2, по построению и С1С2 - общая). Поэтому ∠ AC1C2 = ∠ BC1C2. Отсюда следует Δ AC1O = Δ BC1O по второму признаку равенства треугольников (∠ AC1C2 = ∠ BC1C2, AC1 = BC1 по построению, OC1 – общая). Следовательно AO = OB и O – середина отрезка AB.

5/3

Построение перпендикулярной прямой

 
 
Через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.  
 
 
 
Возможно два варианта:  
1. точка O лежит на прямой a;  
2. точка О не лежит на прямой a.  
 
Решение.  
 
 
 
Первый вариант.  
Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O. Окружность пересекает прямую в точках A и B.  
 
 
 
Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей.  
 
 
 
Искомая прямая проходит через точки С и О.  
Доказательство.  
Проведем отрезки AC и CB. Δ ACO = Δ BCO по третьему признаку равенства треугольников (AO = OB, AC = CB, по построению, CO – общая). ∠ COA = ∠ COB = 90 °. Прямая CO ⊥ AB.  
 
Второй вариант.  
 
 
 
Из точки O проводим окружность некоторым радиусом r, таким чтобы окружность пересекала прямую a. Пусть A и B – точки пересечения окружности с прямой a.  
 
 
 
Проведем окружности тем же радиусом r с центрами в точках A и B. Пусть точка O1 – точка пресечения этих окружностей, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O.  
 
 
 
Проведем через точки O и O1 прямую. Это и будет искомая прямая. Доказательство. Пусть прямые OO1 и AB пересекаются в точке С. Δ AOB = Δ BO1A по третьему признаку равенства треугольников (AO = OB = AO1 = O1B, по построению, AB – общая). Отсюда следует, что ∠ OAС = ∠ O1AC. Δ OAC = Δ O1AC по первому признаку равенства треугольников (AO = AO1, по построению, ∠ OAС = ∠ O1AC, AС – общая). Следовательно ∠ OСA = ∠ O1CA, а так как эти углы смежные, то они прямые. Поэтому OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a.

6.3

Серединным перпендикуляром  к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка  и перпендикулярная к нему 
Из википедии: 
Серединный перпендикуляр (медиатриса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и делящая его на две равные части. Любая точка этой прямой равноудалена от концов данного отрезка.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.  
 
Свойство центра описанной окружности:

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров  к сторонам треугольника, проведенных  через середину этих сторон.