Центральной
фигурой этого «алгебро-логического»
этапа в истории Л. был Буль.
Он разработал свою алгебру Л. (термин
«алгебра логики» был введён после Буля
Ч. Пирсом) как обычную для того времени
алгебру, а не как дедуктивную систему
в позднейшем смысле. Не удивительно, что
Буль стремился сохранить в своей алгебре
Л. все арифметические операции, в том
числе вычитание и деление, которые оказалось
трудно истолковать логически. Алгебра
логики Буля (интерпретировавшаяся прежде
всего как логика классов, т. е. объёмов
понятий) была значительно упрощена и
усовершенствована Джевонсом, отказавшимся
в Л. от операций вычитания и деления. У
Джевонса мы уже встречаем ту алгебраическую
систему, которая впоследствии получила
название «булевой алгебры» (у самого
Буля, использовавшего в своей алгебре
операцию, соответствующую исключающему
логическому союзу «или», т. е. строгую
дизъюнкцию, а не распространённую в современной
Л. «обычную», слабую, дизъюнкцию, «булевой
алгебры» непосредственно не было). Строгие
методы решения логических уравнений
были предложены Шрёдером (1877) и Порецким
(1884). Многотомные «Лекции по алгебре логики»
(1890—1905) Шрёдера (вместе с работами Порецкого
вплоть до 1907) явились высшей точкой развития
алгебры Л. 19 в.
История
алгебры Л. началась с попыток
перенести в Л. все операции
и законы арифметики, но постепенно
логики начинали сомневаться не только
в правомерности, но и в целесообразности
такого переноса. Они выработали специфические
именно для Л. операции и законы. Наряду
с алгебраическими в Л. издавна применялись
геометрические (точнее, графические)
методы. Приёмами представления модусов
силлогизмов с помощью геометрических
фигур владели античные комментаторы
Аристотеля. Использование с этой целью
кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру,
было известно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейбницу,
владевшему и отличными от эйлеровых методами.
Способы геометрической интерпретации
предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта
и Б. Больцано. Но особенного расцвета
эти методы достигли в трудах Дж. Венна,
разработавшего графический аппарат диаграмм
(см. Логические диаграммы.), фактически
полностью эквивалентный Л. классов и
носящий уже не только иллюстративный,
но и эвристический характер.
К концу
19 в. в дедуктивной Л. произошёл
глубокий переворот, связанный
с работами Дж. Пеано, Пирса
и Г. Фреге, которые преодолели
узость чисто алгебраического подхода
прежних авторов, осознали значение математической
Л. для математиков и начали применять
её к вопросам оснований арифметики и
теории множеств. Достижения этого периода,
в особенности связанные с аксиоматическим
построением Л., в наиболее чёткой форме
можно проследить в исследованиях Фреге.
Начиная со своей работы «Исчисление понятий»
(1879), он развил совершенно строгое аксиоматическое
построение исчисления высказываний и
предикатов. Его формализованная Л. содержала
все основные элементы современных логических
исчислений: пропозициональные переменные
(переменные для высказываний), предметные
переменные, кванторы (для которых он ввёл
специальные символы) и предикаты; он подчёркивал
различие между логическими законами
и правилами логического вывода, между
переменной и константой, различал (не
вводя, правда, особых терминов) язык и
метаязык (см. Метатеория, Метаязык). Его
исследования (так же как аналогичные
работы Пирса) в области логической структуры
естественного языка и семантики логических
исчислений положили начало проблемам
логической семантики. Большой заслугой
Фреге явилась разработка системы формализованной
арифметики, основанной на развитой им
логике предикатов. Эти работы Фреге и
выявившиеся в связи с ними трудности
послужили исходным пунктом развития
современной теории математического доказательства.
Фреге употреблял
оригинальную символику, которая,
в отличие от обычно применяемой
одномерной, была двумерной (она
не привилась). Современная система
обозначений в Л. восходит к
символике, предложенной Дж. Пеано.
С некоторыми изменениями она была воспринята
Б. Расселом, создавшим совместно с А. Н.
Уайтхедом трёхтомный труд «Принципы
математики» — труд, систематизировавший
и развивший далее дедуктивно-аксиоматическое
построение Л. в целях логического обоснования
математического анализа (см. Логицизм).
С этого
сочинения и начавших появляться
с 1904 работ Д. Гильберта по
математической Л. естественно
датировать начало современного
этапа логических исследований.
М. М. Новосёлов,
3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков.