Дослідження дефектів підшипникових вузлів гідротурбіни

 

     Рисунок 2.7 – Вихідна характеристика сигналу в часовому просторі 

 

Третій сигнал являє собою результат зміщення нульової лінії (всі кванти нульові, крім одного дискретного сигналу).

 

   

 

2.3. Основні вимоги до апаратури

 

 

     Нехай дана реалізація х(t) стаціонарного випадкового процесу, представлена у вигляді запису зміни напруги. Оцінку спектральної щільності сигналу можна знайти з формули:

 
                                               .                                      (2.1)

 
Тут – частина процесу х(t) на виході вузькосмугового фільтра з смугою пропускання Гц і центральною частотою f  Гц. Оцінку спектральної щільності отримують шляхом виконання наступних операцій:

     1) фільтрації сигналу по частоті вузькосмуговим фільтром з смугою    пропускання  Гц;

     2) зведення в квадрат миттєвих значень відфільтрованого сигналу; 
     3) осереднення зведених в квадрат миттєвих значень сигналу в межах інтервалу часу Т;

     4) поділу цього середнього значення квадрата на ширину смуги пропускання . 
     По мірі зміни центральної частоти вузькосмугового фільтра отримують графік спектральної щільності в залежності від частоти (енергетичний спектр). 
     Описані операції виконуються за допомогою аналогового аналізатора спектральної щільності (аналізатора СЩ). У більшості аналізаторів СЩ фільтрація здійснюється шляхом пропускання вхідного сигналу через вузькосмуговий фільтр з фіксованою центральною частотою, що володіє високою вибираючою здатністю, і гетеродином перетворення частоти. Визначення середнього значення квадрата повністю еквівалентно вимірюванню за допомогою квадратичного вольтметра.  Поділ на ширину смуги можна здійснити шляхом відповідного калібрування шкали. Функціональна блок–схема аналізатора СЩ  наведена на рис. 2.12.

     Аналізатор СЩ може мати набір суміжних за частотою вузькосмугових фільтрів, які в сукупності охоплюють весь досліджуваний діапазон частот. При цьому для вимірювання енергетичного спектру немає необхідності в розгортці за частотою. Такі аналізатори СЩ з набором фільтрів широко застосовуються на практиці. 

Рисунок 2.8 – Функціональна блок–схема аналізатора спектральної щільності 
     

Слід підкреслити, що аналізатор СЩ являє собою не що інше, як звичайний гармонійний аналізатор з квадратичним вольтметром. У звичайному гармонійному аналізаторі, як правило, використовується простий вольтметр змінного струму, за допомогою якого вимірюється середнє абсолютне значення відфільтрованого сигналу. 

   

2.4. Роздільна здатність вимірювань і час усереднення

 

 

     Статистична помилка, що характеризує оцінку спектральної щільності, включає в себе помилки зсуву і дисперсію оцінки. Обидві ці складові виражають через параметри схеми аналізу, що  піддаються регулюванню: помилка зміщення залежить від роздільної здатності аналізу (при помилка ), випадкова помилка залежить від добутку (при  помилка ). Перш за все слід вибрати відповідне значення . Цей вибір дуже, важливий, тому що помилки зсуву при оцінюванні спектральної щільності можуть бути дуже великі. Як правило, аналізатори СЩ, що випускаються промисловістю, дозволяють змінювати смугу пропускання в широких межах.     

При фіксованій ширині смуги пропускання випадкова помилка, що характеризує оцінку аналізованої спектральної щільності, залежить тільки від часу осереднення  T.  В аналізаторах СЩ осереднення може здійснюватися або шляхом інтегрування в межах заданого інтервалу  (істинне осереднення), або шляхом безперервного згладжування низькочастотним RC–фільтром (RC–усереднення). У багатьох аналізаторах СЩ , що випускаються промисловістю, є обидві усереднюючі схеми, що дозволяє обирати час усереднення в широкому діапазоні. 

 
     2.5. Середнє значення квадрата

 

 
     Нехай є окрема реалізація ергодичного стаціонарного випадкового процесу .  Середнє значення квадрату процесу можна знайти шляхом осереднення  в межах кінцевого інтервалу часу Т  наступним чином:

 

                                                 .                                                   (2.2)

     Істинне середнє значення квадрата

 
                                                                                                       (2.3)

 
не залежить від часу  t  оскільки процес стаціонарний. Математичне очікування оцінки становить

 
                               .                                   (2.4)

 
     Отже, незалежно від довжини реалізації Т  є незміщена оцінка величини . 
     Середнє значення квадрата помилки цієї оцінки рівне дисперсії

 
     .            (2.5)

 

 
     2.6. Оцінки середніх значень квадратів нестаціонарних випадкових процесів

 

 
     Оцінки середніх значень квадратів нестаціонарних випадкових процесів можна знайти осередненням по ансамблю. Крім того, для деяких класів нестаціонарних процесів оцінка змінного в часі середнього значення квадрата може бути отримана за окремою реалізацією шляхом фільтрації низьких частот. Відповідна модель нестаціонарного процесу в цьому випадку має вид

 

                                               ;                                             (2.6)

 

де – детермінована функція і – випадковий процес з постійними в часі нульовим середнім значенням і одиничною дисперсією. Отже, середнє значення квадрата. процесу в момент t

 
                                              (2.7)

 

Як і у випадку оцінок середнього значення, при повільній зміні функції в порівнянні зі змінами низькочастотних складових процесу функція може бути виділена, шляхом низькочастотної фільтрації окремої реалізації . Фізично ця операція проводиться за допомогою одного з методів, причому замість фігурує функція . Зрозуміло, в загальному випадку отримані таким чином оцінки середнього значення квадрата будуть зміщені. Наприклад, при осередненні по коротких інтервалах часу

 
    .         (2.8) 

 

    2.7. Точність вимірювань

 

 

     Будь–які вимірювання напруги супроводжуються помилками, пов'язаними з роздільною здатністю апаратури і методом калібрування. Ці інструментальні помилки залежать як від якості виготовлення приладу, так і від умов його експлуатації. Однак вимір випадкових процесів пов'язано також з додатковими, статистичними помилками. Ця статистична помилка в загальному випадку включає в себе помилку зміщуння, що визначає систематичну частину загальної помилки, і

дисперсію, яка визначає випадкову її частину.    

Дисперсії оцінки в обох випадках залежать від спектральних характеристик сигналу і довжини реалізації.      

В окремому випадку обмеженого за частотою гаусівського білого шуму з смугою частот Гц статистична помилка визначення середнього значення записується у вигляді нормованої середньоквадратичної помилки:

 
                                                                                   (2.9)

 

 

     У тому випадку, коли , нормовану середньоквадратичну помилку, у визначенні середнього значення квадрата, знаходять за формулою:

 
                                                                                     (2.10)

 
Можна показати, що якщо з квадратичного вольтметра отримують середньоквадратичне значення, а не середні значення квадрата, то відповідний вираз для нормованої середньоквадратичної помилки при має вигляд

 
                                     ,                                        (2.11)

 
що становить половину помилки при вимірюванні середніх значень квадрата. Символом Т  в цих формулах для визначення похибок позначається еквівалентний час істинного осереднення при вимірах.

 

     3. Характеристики смугового і режекторного фільтрів

 

 

     3.1. Смуговий фільтр

 

     Шляхом послідовного з’єднання  фільтрів верхніх і нижніх  частот одержують смуговий фільтр. Його вихідна напруга дорівнює нулю на високих і низьких частотах. Одна із суміжних схем представлена на рис. 3.1.

 

Рисунок 3.1 – Пасивний смуговий RC – фільтр

   

  Щоб отримати амплітудно–частотну характеристику смугового фільтра, у передатній функції фільтра нижніх частот  необхідно провести наступну заміну змінних:

 

                                                                                              (2.9)

 

     У результаті такого перетворення  амплітудна характеристика фільтра нижніх частот у діапазоні переходить у праву частину смуги пропускання смугового фільтра ( ). Ліва частина смуги пропускання є дзеркальним відображенням у логарифмічному масштабі правої частини відносно середньої частоти смугового фільтра . При цьому . Рисунок 3.2 ілюструє таке перетворення.

 

Рисунок 3.2 – Ілюстрація перетворення нижніх частот у смугу частот

 

     Нормована ширина смуги пропускання фільтра може обиратися довільно. З рис. 3.2 видно, що смуговий фільтр на частотах і має такий же коефіцієнт передачі, що і фільтр нижніх частот при . Якщо параметри фільтра нижніх частот нормовані відносно частоти зрізу, на якій його коефіцієнт передачі зменшується на 3 дБ, то значення також буде нормованою шириною пропускання. Враховуючи, що і , отримаємо вираз (2.12) для обчислення нормованих частот зрізу смугового фільтра, на яких його коефіцієнт передачі зменшується на 3 дБ:

 

                                               (2.12)

 

 

     3.2. Характеристики смугових фільтрів

 

 
     З визначення (2.1) видно, що для досить точного вимірювання спектральної щільності необхідно знати смугу  пропускання фільтра в аналізаторі  СЩ. Крім того, ширина цієї смуги визначає нормовану стандартну помилку вимірювання. Ширина смуги, що входить в зазначені формули, являє собою ідеалізовану величину, а саме є ширина смуги пропускання вузькосмугового фільтра, частотна характеристика якого за припущенням має прямокутну форму.  Вузькосмугові фільтри в аналізаторах СЩ не мають такої досконалої характеристики.      

Смугу пропускання  вузькосмугового фільтра можна  охарактеризувати різними способами. Нижче докладно викладаються три таких способи опису смуги, які представляють інтерес з точки зору завдання про вимірювання спектральної щільності. Існують три визначення смуги пропускання: смуга пропускання за рівнем половинної енергії ,  шумова смуга пропускання і еквівалентна статистична смуга пропускання . Якщо є деякий лінійний фільтр з частотною характеристикою , то ці три визначення можна записати у вигляді формул у такий спосіб:

 
                 ,                                   (2.13а)

 
                            ,                                                    (2.13б)

 
                                                                              (2.13в)

 
   – модуль частотної характеристики (амплітудна частотна характеристика) при певному значенні частоти f,  – максимальне значення амплітудної частотної характеристики. 
     Смуга пропускання за рівнем половинної енергії , що визначається рівністю (2.13,а),  являє собою інтервал між верхнім і нижнім значеннями частоти, при яких частотна характеристика на 3 дБ нижче максимального її значення. Таке визначення смуги пропускання дуже зручно тому, що цю характеристику легко виміряти, але з фізичної точки зору воно мало застосовується до аналізу випадкових сигналів. 
      Шумова смуга пропускання , що визначається формулою (2.13,б), являє собою смугу пропускання гіпотетичного прямокутного фільтра, який пропускає сигнал з тим же середнім значенням квадрата, що й дійсний фільтр, у випадку, коли на вхід подається білий шум. Іншими словами, величина є міра смуги пропускання, яка для фільтрів, що не володіють ідеальною, тобто прямокутною, частотною характеристикою, задовольняє співвідношенню . Тому має, очевидно, зручну міру для оцінки смуги пропускання при використанні фільтра для вимірювання нормованого середнього значення квадрата сигналу у вузькій смузі частот, що і потрібно при аналоговому методі вимірювання спектральної щільності. 
     Еквівалентна статистична смуга частот ,  що визначається формулою (2.13,в), є смуга пропускання гіпотетичного прямокутного фільтра, який пропускає сигнал з тим же середнім значенням квадрата статистичної похибки, що і дійсний фільтр, коли на його вхід подається білий шум. Іншими словами, величина описує смугу пропускання фільтра, яка з технічної точки зору відповідає випадку визначення нормованого значення дисперсії оцінки.