Фильтрация газа

   Введение. 

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси. Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболического типа впоследствии было названо уравнением Лейбензона.

При выводе указанного уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный. Принимается также, что фильтрация газа в пласте происходит по изотермическому закону, т. е. температура газа и пласта остается неизменной по времени. Впоследствии один из учеников Л. С. Лейбензона-Б. Б. Лапук в работах, посвященных теоретическим основам разработки месторождений природных газов, показал, что неустановившуюся фильтрацию газа можно приближенно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды, поверхность контакта газа с которой огромна. Однако при рассмотрении фильтрации газа в призабойной зоне неизотермичность процесса фильтрации сказывается существенно вследствие локализации основного перепада давления вблизи стенки скважины. Кстати, на этом эффекте основано использование глубинных термограмм действующих скважин для уточнения профиля притока газа по толщине пласта (глубинная дебитометрия). При рассмотрении процесса фильтрации в пласте в целом этими локальными эффектами допустимо пренебрегать.

 

                                                                                                                

1. Теоретическая часть.

Основная формула теории упругого режима (уравнение Л. С. Лейбензона). 

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением (2.56), которое справедливо для любого сжимаемого флюида 

                                                                     (1)

где m – пористость

η – коэффициент вязкости

к – коэффициент проницаемости

р – давление

ρ – плотность

t – время, по условию так же известно что:  m=const, к=const, η=const. 

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле: 

                                                                                  (2)    

Преобразуем правую часть уравнения (1). Считая пористость m постоянной и учитывая, что для совершенного газа 

                                                                                               (3)   

получим:

                                                                                       (4)

 

В результате преобразований получим уравнение относительно только одной неизвестной  функции–давления:     

                                                                                           (5)     

 Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа  называется уравнением Л. С. Лейбензона и представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение в виде произведения ρт, в котором плотность газа меняется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение (5) записано в безындексной форме, справедливой для любой системы координат. В декартовой системе координат уравнение имеет вид: 

                                                                 (6)           

  Уравнение (5) можно записать по-другому, умножив правую и левую части на давление р и учитывая: 

                                                             (7,8) 

или в декартовой системе координат (8).

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р², но коэффициент в правой части kр/(η т₀) - переменный, в него входит искомая функция р(х, у, z, t).

Можно показать, что неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния: 

                                                                                    (9)

и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления η = η (р) и недеформируемости пористой среды (т₀ = const, k = const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа: 
 

       (10) 

Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация - сведение его к линейному уравнению Фурье. Рассмотрим теоретическую часть данного решения.

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (5) и (8) линейным, то оно упростится, для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (5) или (8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложилзаменить переменное давление   Р в коэффициент перед оператором  Лапласа в уравнении (8) на постоянное давление P_k , равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (8) уравнение

                                                                        ⁽¹¹⁾

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² (Х- коэффициент пьезопроводности). Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент א в уравнении (11) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение 

                                                                         (12)

  где p_max и p_min - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (11) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р_х. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_am. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r, t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (11) запишется следующим образом:

                                                                                      (13) 

  Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа в полярных координатах относительно квадрата давления для плоскорадиального движения.

  Уравнение (13) надо проинтегрировать при начальном условии

  р² =    при   t = 0,   0 < r < ∞                                                         (14)

  и при граничном условии в удаленных точках

  р² =    при   r = ∞,   t > 0.                                                         (15)

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

                                                                        (16) 

  Использовав равенства Q_m = ρ_ат Q_am,  и сократив на р_атм

  получим:

                                    

  Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса: 

                                                                                (17)

  Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (13) должно быть проинтегрировано при условиях (15,16,17).

Приведем здесь еще раз эти соотношения для упругой жидкости и сравним их с соотношениями  для газа:

       упругая жидкость 
 

  совершенный газ 

Решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима:

                                                                       (18)

 Аналогия между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (6.20) давление на р², א - на , - на , получим решение поставленной задачи для газа:

                                                               (19) 

или 

                                                                 (20) 
 
 

Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Для малых значений аргумента r²/(4א t) можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической: 

                                                                           (21) 

или                                                                   (22) 

Решения (19)-(22) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения Лейбензона. 

                          

                        

Рис. 1. Кривые распределения давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давления в фиксированных точках пласта (б) 

Формулы (22) и (23) определяют при фиксированных значениях времени t распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации - они очень крутые вблизи скважины (рис.1,а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r = r_с) после начала работы скважины (рис.1,6) 
 

Интерференция скважин в условиях упругого режима.