Методы оптимизации инвестиционного портфеля

       Покупая акции обеих компаний, инвестор участвует  в долгосрочном росте, который испытывают акции как класс активов, уменьшая при этом риски краткосрочных колебаний. Теория и практика показывают, что на больших промежутках времени риски инвестирования в одну компанию по сравнению с потенциальной доходностью неоправданно велики. Их снижение и есть главная задача диверсификации.

       В нашем примере попытка угадывать  погоду в среднем удается в  половине случаев и в среднем наш доход будет близок к нулю. С учетом расходов, например комиссионные биржевого брокера, мы наверняка проиграем.

       Инвестируя  в обе компании, инвестор снижает  риск, характерный только для одной  акции. При этом остается системный риск - риск глобального краха рынка ценных бумаг. Его можно тоже уменьшить, если инвестировать в активы на рынках других стран или в биржевые товары.

       Преимущества  диверсификации наглядно демонстрирует Рис. 3. Это самый популярный в науке об инвестировании график соотношения «Доходность – Волатильность». 

         

Рис.3. Снижение рисков диверсифицированного портфеля 

      Ожидаемый доход портфеля, который поровну  распределен между акциями двух компаний, равен среднему значению доходов входящих в него акций, тогда как волатильность портфеля значительно меньше средней волатильности двух акций и значительно меньше волатильности составляющих портфеля. Это означает, что если объединить в одном портфеле разные активы, то соотношение риска и дохода улучшится.

       Точный  вид кривой на Рис. 3 зависит от параметра, который называется коэффициент корреляции. Его значение может изменяться от -1 до +1 в зависимости от того, насколько согласованно ведут себя цены на рассматриваемые активы. Природу корреляции легко понять из нескольких примеров:

       - Если две ценных бумаги имеют коэффициент корреляции +1, то их ценовые колебания полностью повторяют друг друга. Это полная положительная корреляция.

       - Если две ценных бумаги имеют  коэффициент корреляции -1, то их  цены изменяются в противоположном направлении. Это полная негативная корреляция.

       - Если две ценных бумаги имеют  коэффициент корреляции 0, то их  цены изменяются

       совершенно  независимо друг от друга.

       - Если две ценных бумаги имеют  коэффициент корреляции +0.6, то их  ценовые колебания в 60% случаев совпадают, а в 40% случаев они не зависят друг от друга. Если две ценных бумаги имеют коэффициент корреляции -0.5, то в половине случаев они имеют полную негативную корреляцию, а в другой половине они независимы.

       Здравый смысл подсказывает, что если колебания  цен двух акций происходят в противоположном направлении, то эти колебания гасят друг друга. Суммарная волатильность, портфеля уменьшается т.е. инвестиционный риск снижается. Именно это происходит в нашем примере с акциями производителей зонтиков и солнцезащитного крема.

       Процесс взаимного гашения колебаний цен акций показан на рис. 4. Можно легко видеть, что кривая суммарной доходности гораздо более гладкая, чем кривые доходности отдельно взятых ценных бумаг. 

         

Рис.4. Снижение волатильности портфеля при использовании активов с отрицательной корреляцией. 
 
 

4.2. Определение ожидаемой доходности и дисперсия портфелей.

       В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил новый метод  построения границы эффективных  портфелей, позволяющий существенно  сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа ( Sharpe single - index model ).

       В основе модели Шарпа лежит метод  линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + р Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i -ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а норму отдачи rm - рыночной нормой отдачи.

       Пусть норма отдачи rm принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1 , rm 2 , ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i -ой ценной бумаги имела значения ri 1 , ri 2 , ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:  

       rit = аi + βi rmt +εit                          (1)  

       где:   rit - доходность i -ой ценной бумаги в момент времени t ;

       аi - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i -ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;

       βi - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

       rmt - доходность рыночного портфеля  в момент t ;

 Особое значение необходимо уделить параметру βi, поскольку он определяет чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

       В общем случае, если β > 1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при βi < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности ri от средней арифметической (ожидаемой) величины E( r ) j , чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом β > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с β < 1 - менее рискованными.

       Как показывают исследования, для большинства  ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться  ценные бумаги и с отрицательной величиной Р . 

       Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле: 

       

       (2)

                        
 

       где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для ri из формулы (1):  

                  (3) 
 

       Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (3)можно представить в виде:

                      (4)  
 

       где :                                     (4a)  
 

        .  

       Выражение    (4a) представляет собой сумму взвешенных величин “беты” βi каждой ценной бумаги (где весом служат Wi ) и называется портфельной бетой (βn ). С учетом выражений (3) и (4) формулу (2) можно записать так:  

                                    (5)  

       а поскольку E ( εi ) = 0, то окончательно имеем:  

                                                  (6)  

 Итак, ожидаемую доходность портфеля E( rn ) можно представить состоящей  из двух частей:  

       а)     суммы взвешенных параметров а i каждой ценной бумаги -

       W 1a1 + W 2 a 2 + .... + Wnan , что отражает вклад в E( rn ) самих ценных

       бумаг, и

       б)      компоненты    ,   то    есть    произведения

 портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля. 
 

Дисперсия портфеля. Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде: 
 

                 

При этом только необходимо иметь в виду, что  
 

W_{n +1} = ∑Wiβi то  есть (W_n+1)²=(W1β1 + W₂β₂ + .... + W_nβ_n )², а σ² εn+1 = σ² m 
 

 Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:

а)    средневзвешенных дисперсий ошибок   ∑Wiσ²εt, где весами служат Wi , что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск)

б)        β ²_n σ²_m - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя σ²_m,   где   весом   служит   квадрат   портфельной   беты,   что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск).

       Итак, отметим основные этапы, которые  необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей  в модели Шарпа:

       1)  Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности r_i , t каждой ценной бумаги.

       2)  По рыночному индексу (например, AK &M) вычислить рыночные доходности r_mt для того же промежутка времени.

       3)   Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги E ( r_i ) и рыночной доходности E ( rm ) и вычислить параметр а_i.  

       a_i = E(r_i) -β_iE(r_m)

5)  Вычислить  дисперсии σ²_ε , і ошибок регрессионной модели

6)  Подставить эти значения в соответствующие уравнения

После такой подстановки выяснится, что  неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно  найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

       Внимание, которое уделяется портфельным  инвестициям, вполне соответствует  радикальным изменениям, произошедшим во второй половине двадцатого столетия в экономике промышленно развитых стран. На месте отдельных изолированных региональных финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. К традиционному набору «основных» финансовых инструментов (иностранная валюта, государственные облигации, акции и облигации корпораций) добавился постоянно расширяющийся список новых «производных» инструментов, таких как депозитарные расписки, фьючерсы, опционы, варианты, индексы, свопы. Эти инструменты позволяют реализовать более сложные и тонкие стратегии управления доходностью и риском финансовых сделок, отвечающие индивидуальным потребностям инвесторов, требованиям управляющих активами, спекулянтов и игроков на финансовом рынке.

       Основной  целью формирования инвестиционного  портфеля является обеспечение реализации разработанной инвестиционной политики путем подбора наиболее эффективных и надежных инвестиционных вложений. В качестве специфических целей выступают: максимизация роста капитала, максимизация роста дохода, минимизация инвестиционных рисков, обеспечение требуемой ликвидности инвестиционного портфеля. В связи с альтернативностью специфических целей при формировании инвестиционного портфеля определяются приоритеты или предусматривается его сбалансированность.

       Сильные стороны классической теории Марковица - это:

• принцип полного инвестирования - портфель всегда должен состоять из акций, и в нем отсутствуют деньги;
• отказ от игры на колебаниях - ребалансировка портфеля производится для поддержания оптимального соотношения акций (управляющий не пытается угадать, когда купить, а когда продать и выйти в деньги);
• отказ от использования плеча и открытия коротких позиций.

       Модель  Блека аналогична модели Марковица, но в отличие от последней в  ней отсутствует условие неотрицательности  на доли активов портфеля. Это означает, что инвестор может совершать короткие продажи, т.е. продавать активы, предоставленные ему в виде займа. В этом случае инвестор рассчитывает на снижение курса ценной бумаги и планирует вернуть заем теми же ценными бумагами, но приобретенными по более низкому курсу.

                 В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + р Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п.