Резерв произошедших, но не заявленных убытков

     Rt = (1 – P1t) U0t,

     где t время прошедшее с начала действия договора в годах.

     при этом размер нашего IBNR составит Rt = (1 – P1t) U0 и часть этого резерва равная Rt = (1 – P1 t) U0(1 – t) будет входить в незаработанные премии.

     Цепной (Chain Ladder) метод расчета произошедших, но незаявленных убытков.

     Данный  метод можно назвать полной противоположностью методу BF, ибо в цепном методе оценка резерва дается на основании уже осуществленных выплат. Итак, в первую мы делаем весьма разумное предположение, что выплаченная доля общего объема требований совпадает с ожидаемой т.е. с Pk ; тогда оценка общего объема выплат будет такой:

     Uk ... CL = Ck / Pk

     И тогда можно оценить резерв, как  невыплаченный остаток от Uk ... CL:

     Rk ... CL = Uk ... CL – Ck = Qk Uk ... CL

     Данный  метод предполагает, что мы полностью доверяем данным об осуществленных выплатах, как показателе определяющем выплаты будущие, и совершенно не доверяем нашему первоначальному прогнозу касательно общего размера выплат. Поэтому, даже если в наши предположения о значении U0 закралась ошибка, оценка величины резерва будет несмещенной. Однако, при использовании этого метода мы совершенно не в состоянии оценить начальный резерв, и нам будет сложно составить мнение о реальном общем объеме выплат до тех пор, пока нам не будет предъявлено значительное число требований. Но зато к концу срока списания резерва мы будем иметь достаточно информации, чтобы судить о реальном общем объеме выплат.

     Метод Гуннара Бенктандера был предложен 1976 году, и впоследствии неоднократно переоткрывался. Основной идеей этого метода было произвести синтез методов Борнхуеттера-Фергюсона и цепного, являющихся противоположностями в отношении использования информации о текущих требованиях и предварительных прогнозов. Поэтому Бенктандер предложил заменить при определении резерва U0 на:

     Uc = cUk ... CL + (1 - c)U0;

     Здесь с - фактор отражающий степень нашего доверия текущим данным о требованиях при оценке общего размера требований. Таким образом, мы принимаем в расчет, при определении общего размера требований, а, следовательно, и IBNR, не только первоначальную оценку объема требований, как в методе Борнхуеттера-Фергюсона, но и текущую оценку общего объема трабований, даваемую на основе имеющихся данных об уже поступивших требованиях, как в цепном методе.

     При таком подходе возникает вопрос о том, как определить значение фактора  с так, чтобы получить наилучшую  оценку резерва. Постольку поскольку фактор с должен изменятся с течением времени и возрастать по мере развития Резерва (по мере того, как заявляются убытки), Г. Бенктандер предложил принять c = Pk и оценивать IBNR как:

     Rk ... GB = Rk ... BF UPk / U 0

     Заметим, что последнее равенство может  быть переписано таким образом (см. расчет резерва по методу Борнхуеттера -Фергюсона) :

     Rk ... GB = Qk UPk,

     и поскольку:

     UPk = Pk Uk ... CL + Qk U0 = Ck + Rk ... BF = Uk ... BF

     можно записать:

     Rk ... GB = Qk Uk ... BF.

     А это означает, что Резерв рассчитанный по методу Г. Бенктандера совпадает c Резервом который получится при двукратном применении процедуры описанной в методе Борнхуеттера-Фергюсона, что и позволяет называть данный метод "Iterated BF" (повторенный BF).

     При этом апостериорная оценка общих  выплат отличается от использованной априорно:

     Uk ... GB = Ck + Rk ... GB = (1 - z) Uk ... CL + z U0 = Uz; где z = Qk ^2

     Оптимальный фактор доверительности. Теперь, приняв, что при расчете IBNR мы используем линейную комбинацию IBNR, расчитанного по Методу Борнхуеттера-Фергюсона, и IBNR рассчитанного цепным методом:

     Rk .. c = cRk .. CL + (1 - c)Rk .. BF>;

     мы  можем подобрать оптимальное  значение коэффициента с; но для этого  нам потребуется задать критерий оптимальности. В качестве такового критерия разумно взять минимизацию  ожидаемого квадрата отклонения рассчитываемого резерва от реального. В этом случае, поскольку Rk .. c есть линейная функция с, то

       E (Rk .. c - Rk )² 

     будет квадратичной функцией с.

     Если  мы теперь предположим, что U0 есть величина независимая от Ck; Rk; U (последнее  есть общий объем выплат по рассматриваемым договорам); такая, что EU0 = EU; и имеющая известную дисперсию равную DU0; тогда оптимальный фактор доверительности будет задаваться формулой:

 

     Заметим, что если нам точно известна средняя величина выплат, то DU0 = 0 , и, следовательно, формула для расчета c* упростится:

 

     Отметим, что из последней формулы вытекает, что при отрицательной корреляции между осуществленными выплатами  и предстоящими выплатами коэффициент c* может быть отрицательным, что по определению невозможно согласно методу Гуннара Бенктандера.

     Однако, для того, чтобы можно было использовать данный метод необходимо иметь модели описывающие DCk и Cov(Ck , Rk) . То есть мы не сможем рассчитать IBNR используя только те данные, которыми обходились ранее.

     IBNR при Пуассоновском распределении  числа убытков. Представим суммарный объем требований как сумму отдельных требований. При условии, что размер требований - одинаково распределенная величина для всех требований, развитие резерва убытков определяется числом убытков, произошедших, оплаченных и не оплаченных.

     Поскольку здесь нам не важны выплаченные  суммы и величины убытков мы будем использовать иные обозначения:

     n_u - общее число требований;

     n_p - число предъявленных (оплаченных) требований.

     n_q - число не предъявленных требований.

     Мы  хотим рассчитать величину резерва, а для этого нам нужно знать  ожидаемое количество не предъявленных требований, равное n_u- n_p. А для этого нам нужно рассчитать вероятность каждого возможного значения общего числа требований при условии, что предъявлено N_p требований.  

 

     Вспомнив о том, что безусловное распределение n_u является Пуассоновским с параметром, а при фиксированном n_u равном N распределение n_p является биномиальным с параметрами N; p, мы можем записать искомую вероятность так:

 

     Можем вычислить условное ожидание числа не заявленных требований, используя сосчитанную вероятность:

 

     Таким образом, ожидаемое количество не предъявленных требований не зависит от количества предъявленных. Точно так же не зависит от количества предъявленных требований и резерв убытков. А поскольку = q E Y = q U₀ , то оптимальный способ расчета резерва - БФ. 
 

 

      ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     Страховые резервы – обобщающее понятие страховой практики, обозначающее конкретную величину обязательств страховщика по всем заключенным со страхователями договорам страхования, не исполненных на данный (отчетный) период времени

     Резерв  произошедших, но незаявленных убытков  обеспечивает погашение убытков, возникших в отчетном или предшествующих ему периодах, но еще не заявленных застрахованным лицом страховщику в порядке, установленном законом или договором страхования по состоянию на отчетную дату.

     РПНУ  формируется в размере:

     - 10% от суммы базовой страховой  премии, поступившей в отчетном  периоде, если отчетным периодом считается год;

     - 10% от суммы базовой страховой  премии, поступившей в отчётном  периоде и в трех периодах, предшествующих отчётному, если отчетным периодом считается квартал.

 

      СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Гражданский кодекс Российской Федерации. - М.: 2010.
2. Закон РФ «Об организации страхового дела в Российской Федерации» от 27.11.92 № 4015-1 // Российская газета. - 12.01.1993. - N 6.
3. Баскаков М.И. Страховое дело. - Ростов-на-Дону, 2009. - 576 с.
4. Рейтман Л.И. Страховое дело. – М., 2010. - 524 с.
5. Шахов В.В. Страхование: Учебник для вузов. - М.: 2009. – 345 с.