Техникалық жүйелер

Но к анализу многокритериальных задач можно подойти и с  других позиций: попытаться сократить множество исходных вариантов, т. е. исключить из неформального анализа те варианты решений, которые заведомо будут плохи. Рассмотрим один из подобных путей, предложенный итальянским экономистом В. Парето в 1904 г.

Предположим, что мы сделали  некоторый выбор. Обозначим его  через х* и предположим, что существует некоторый другой выбор такой, что для всех критериев имеют место неравенства

     (8)

причем хотя бы одно из неравенств – строгое.

Очевидно, что выбор  предпочтительнее . Поэтому все векторы , удовлетворяющие (8), следует сразу исключить из рассмотрения.

Множество всех таких  значений называют множеством Парето, а вектор называют неулучшаемым вектором результатов (вектором Парето), если из для любого следует

Предположим, что цели субъекта определяются двумя однозначными функциями:                  I

Тогда  каждому допустимому  значению переменной отвечает одна точка на плоскости   (рис.1) и равенства

определяют  параметрическое задание  некоторой  кривой в этой плоскости. Но к множеству Парето можно отнести далеко не всю кривую. Так, участок , очевидно, не принадлежит множеству Парето, поскольку вместе с ростом происходит и рост . Таким образом, на этом участке изменению переменной х отвечает одновременное увеличение обеих целевых функций, и, следовательно, такие варианты решений должны быть сразу исключены из дальнейшего рассмотрения.                                                                                        Рис.1

В теории принятия   решений   существует термин «принцип Парето»,   заключающийся    в   том, что выбирать в качестве   решения следует только тот вектор х, который принадлежит множеству Парето. Принцип Парето не выделяет единственного решения, он только сужает множество альтернатив. Окончательный выбор остается за лицом, принимающим решение. Но исследователь, математик, построив множество Парето, конечно, облегчает процедуру выбора решения.

Принцип Парето играет очень  важную роль в автоматизации проектирования. Предположим, например, что речь идет о проектировании водохозянственного комплекса. В результате создания этого комплекса появится возможность обеспечить подои несколько крупных промышленных и сельскохозяйственных объектов и тем самым повысить их эффективность.

е)   О   численных   методах   построения   множества Парето. Приближенное построение множества Парето относится к числу очень важных и трудных задач численного 'анализа. С расширением круга проблем, которые изучает системный анализ {например, с появлением задач автоматизация проектирования), значение методов эффективного анализа множества Парето непрерывно растет.

Начнем с рассмотрения простейшего случая двух критериев. Пусть речь идет о задаче

        (9)

 

Каждой точке , соотношения

           (10)

ставят в соответствие некоторую точку  в плоскости критериев (рис. 2).

Рис.2

 

Соотношения (10) определяют отображение множества на .

Множество носит Название множества достижимости или множества предельных возможностей. Изучение структуры этого множества может оказаться весьма полезным при исследовании различных задач проектирования и планирования. Заметим, что множество Парето представляет собой лишь часть границы множества достижимости. На рис. 2 множеством Парето будет дуга АСВ. Приближенное построение множества Парето сводится к последовательному решению ряда задач математического программирования. Опишем одну из возможных схем расчета. Фиксируем некоторые желательные значения критериев и :

Значения  и следует выбрать так, чтобы они принадлежали множеству достижимости.

Решаем теперь две  оптимизационные задачи.

Решив эти задачи, мы определим точки а и

  (рис.3), проведя через них прямую 1 мы получим простейшую аппроксимацию множества Парето.

Рис.3

 

Аппроксимацию множества  Парето мы можем осуществить следующим образом (рис.4).

 

 

 

Рис.4

Решаем задачу

    (11)

где   и удовлетворяют условию . Задача (11) определит некоторый вектор х_а, который в плоскости  определит точку с координатами

В заключение этого  сделаем  одно замечание о точности описанного способа аппроксимации множества Парето.

Если    множество    Парето выпукло, то, увеличивая количество точек которые определяются одним из описанных выше способов, мы  можем  построить многогранник, это множество с любой степенью точности.

 

Контрольные вопросы:

1. Назовите этапы в которые всегда присутствуют в исследовании операций
2. Назовите основные способы преодоления неопределённостей целей
3. Понятие линейной свёртки исследование операций
4. Использование контрольных показателей в исследовании операций
5. Простейший способ преодоления неопределённости целей