Техникалық жүйелер

Дәріс 1  Техникалық жүйелер

       

                                Жоспар:

1. Бастапқы ескертулер.

2. Мақсаттардың анықталмағандығы.

 

1. Бастапқы ескертулер

 

Операцияларды зерттеу жүйелiк анализдің негiзгi бастауларының бiрі болып табылады. Тiптi көбiрек деп те айтуға болады. Бүгiнгі күні жүйелік талдаудың негізгі тұжырымдамалары, қағидалары болып операцияларды зерттеу теориясының идеяларын дамыту және оның әдiстерi жүйелiк анализдің негізгі тарауларының бірі болып табылады.

 

 

Сам термин «исследование операций» родился в послевоенные годы, когда стало очевидно, что задачи широкого класса, возникшие в самых различных сферах человеческой деятельности, имеют, несмотря, на их качественное различие, одно общее - они сводятся к выбору способа действия, варианта плана, параметров конструкции, т. е. к принятию решений, и этого общего достаточно для построения единой теории и единой системы методов. В этих условиях и возник термин «операция» - термин очень общий. Он означает любое целенаправленное действие. Говоря об операции, мы всегда ассоциируем с ней некоторого субъекта (оперирующую сторону), который формулирует цель операции и в интересах которого последняя проводится. Цель операции - обычно некоторый внешний (экзогенный) элемент - считается заданной.

    Задачи, которые составили отправную позицию для становления исследования операций как самостоятельной дисциплины, принадлежали самым различным направлениям человеческой деятельности. Так, например, Д. А. Венцель и В. С. Пугачев развивали так называемую «теорию эффективности технических систем», в рамках которой возникли многие методы и принципы выбора конструктивных параметров технических систем, наилучшим образом отвечающих достижению целей, ради которых создавались эти технические системы.

Возникли подобные задачи и в экономике.  В конце тридцатых годов была решена знаменитая задача об оптимальном раскрое, была сформулирована транспортная задача и т. д.

Еще в 1927 г. Ф. Рамсёем  была сформулирована задача об оптимальном  распределении инвестиций.

А. Я. Хинчин и Б. В. Гнеденко в середине тридцатых годов начали изучать класс вероятностных задач, получивших впоследствии название задач теории массового обслуживания.

Появление ЭВМ было одним  из важных факторов, стимулирующих  объединение разнообразных задач, связанных с проблемами принятия решений, в единую научную дисциплину, которая получала название «исследование операций».

     Новую научную  дисциплину нельзя было считать  дисциплиной чисто математической, хотя она широко использовала математические методы и породила целый ряд направлений прикладной математики. Главным же содержанием дисциплины были сложные проблемы принятия решений, при изучении которых неформальные методы, представления здравого смысла и способы описания - математическая формализация задач играли не меньшую роль, чем формальный, математический аппарат.

Итак, исследование операций оказалось дисциплиной синтетической, в которой можно выделить три главных направления. Эти три направления соответствуют следующим трем этапам, которые всегда присутствуют в исследовании.

а)   Построение,   модели,   т.   е.     формализация изучаемого   процесса   или   явления. Оно сводится к описанию процесса на языке математики. На этом этапе речь идет о построении модели процесса, а не операции. С помощью одной и той же модели могут изучаться разные операции.

б)    Описание    операции - постановка   задачи.  Задача исследователя операции - провести   необходимый   анализ   неопределенностей, ограничений и сформулировать в конечном счете   (совместно с субъектом,   в   интересах которого  проводится  операция)   некоторую оптимизационную задачу

(1)

Здесь х - элемент некоторого нормированного пространства Е, определяемого природой модели, G Е - множество, которое может иметь сколь угодно сложную природу, определяемую структурой модели и особенностями исследуемой операции. Таким образом, представление цели в форме (1) - не единственный способ формализации. Но оно удобно, поскольку методы оптимизации достаточно развиты, а язык оптимизации обладает, как мы увидим, достаточно большой степенью общности.

в) Решение возникающей оптимизационной задачи.

В исследовании операций возникли определенная терминология и принципы анализа. Поскольку под операцией мы будем понимать любое целенаправленное действие, то в качестве «модели операции» мы должны себе представлять некоторую совокупность, состоящую из субъекта (оперирующей стороны), формулирующего цель операции, запаса активных средств (ресурсов) для проведения операции, набора стратегий, т. е. способов использования этих ресурсов, и критерия - способа сравнения различных стратегий, преследующих достижение цели операции.

Говоря об ограничениях, имеет смысл  разделять их на две группы - физические и критериальные. Вторые определяются требованиями к конструкции пли проекту. Например, проектируя пассажирский лайнер, мы хотим, кроме достижения максимальной экономичности, чтобы его крейсерская скорость была, например, не меньше 800 км/ч; распределяя землю под посевы зерновых, нам нужно добиться урожая максимальной стоимости, но при заданной структуре конечного продукта. Эти ограничения не очень жесткие. Они находятся в распоряжении субъекта и в принципе могут быть нарушены или изменены. Отступление от них не противоречит физике процесса, физическим законам. Иное дело - ограничения физические, которые являются следствиями законов сохранения. Например, обозначим через , норму полива- количество воды, которое мы должны направить на орошение единицы земельной площади Тогда

                                                                                                   (1)

где Q – общее количество воды, которое накоплено в водохранилище.

Кроме того, суммарная площадь земли, которую мы можем использовать под посевы, также должна быть фиксирована, т.е. величины должны удовлетворять ещё одному ограничению:

                                                                                                    (2)

где Х – суммарная  земельная площадь.

Условия (1) и (2) ни при  каких обстоятельствах не могут  быть нарушены.

Важным понятием является исследователь операции. Он является частью оперирующей стороны, но не отождествляется (как правило) с ней. Он обладает иной информированностью об обстановке операции. Все исследование операции должно проводиться с позиции "исследователя операции, исходя из его информированности, но с учетом возможного обновления информации, которую предоставляет ему оперирующая сторона.

 

2. Неопределённость целей

Задачи, не содержащие неопределенностей, являются скорее исключением, чем правилом, - адекватное реальности описание проблемы практически всегда содержит различного типа неопределенности, отражающие то естественное положение, в котором находится исследователь: любое его знание относительно и неточно. В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей: неопределенность целей, неопределенность наших знаний об окружающей обстановке (неопределенность природы) и неопределенность действий реального противника или партнера. Рассмотрим последовательно эти три типа неопределенностей и попробуем понять, что необходимо исследователю для анализа соответствующих задач средствами математики.

В самом начале отмечалось, что в исследовании операций цель, целевая функция носит экзогенный характер. В результате исследования операции выбирается, способ достижения цели - стратегия.

 Для того чтобы  свести задачу исследования операции к стандартной задаче оптимизации, необходимо сформулировать еще дополнительные гипотезы, не вытекающие из постановки задачи. Одной из таких дополнительных гипотез в предыдущем параграфе было введение целевой функции

                                                

Итак, неопределенность целей необходимо требует привлечения дополнительных гипотез, если мы хотим однозначно сформулировать цель операции.

Отметим, что исследование операций понемногу начало превращаться в некоторую синтетическую дисциплину, опирающуюся не только на обширный математический аппарат, но и на целый ряд методов преодоления неопределенностей.

Остановимся на некоторых наиболее употребительных способах преодоления  неопределенности целей и обсудим  тот случай, когда перед исследователем операции стоит задача выбора способа действия (вектора х), обеспечивающего максимальное значение функциям

                                 

одновременно.

а) Линейная свертка. Вместо п частных критериев f_i предлагается рассматривать один критерий вида

                                                       (2)                     

где с_i - некоторые положительные числа, тем или иным способом нормированные.

Такой способ свертки  вводит, по существу, отношение эквивалентности различных критериев (целевых функций), так как величины показывают, насколько изменяется целевая функция при изменении критерия на единицу: .

Такое ранжирование, разумеется, представляет собой далеко не универсальный способ преодоления неопределенности целей.

б)   Использование  контрольных  показателей. Очень часто в задачах планирования и проектирования задается некоторая  система  нормативов:      Это значит, например, что параметры будущей конструкции должны быть таковы    чтобы   максимизировать   функции       при   условиях

В таких случаях целевую  функцию удобно представить в  виде

(3)

и искать вектор х, который обеспечивает максимальное значение F{x).

Смысл здесь достаточно прост. При данном значении вектора  величина дает нам значение наихудшего из показателей . Значит, условие означает выбор такой системы конструктивных параметров , которая максимизирует отношение -го реально достигнутого значения критерия к его контрольному значению.

Критерий в форме (2) обладает следующим важным достоинством. Предположим, что ограничения, наложенные на выбор компонент вектора х, являются линейными:

(4)

так же как и функции   .   Тогда очевидно, что задача выбора с использованием критерия (2) сведется к задаче линейного программирования: определить максимум линейной формы

при линейных ограничениях (4).

Критерий   (3)   при этих условиях обладает тем же свойством. Это легко показать, используя новую переменную

Тогда очевидно, что к  ограничениям добавятся еще и  такие:

   (5)

и мы придем к следующей  задаче линейного программирования: определить максимум по скаляра V, удовлетворяющего ограничениям (4) и (5).

в) Простейший способ преодоления неопределенности целей. Предположим опять, что мы ввели некоторую систему контрольных показателей , относительно которых критерии fi(x) должны удовлетворять ограничениям

(6)

Предположим, что, кроме  того, среди критериев  мы выделили некоторый основной, например . Тогда мы снова пришли к однокритериальной задаче

при условиях (6).

г) Введение метрики  в пространстве целевых функций. Рассмотрим еще одну широко используемую гипотезу. Предположим, что мы решили систему однокритериальных задач

и нашли в й задаче вектор , доставляющий максимальное значение критерию :

         (7)

 Совокупность скалярных  величин  определяет в пространстве критериев некоторую точку, которую назовем точкой «абсолютного максимума». Если векторы различны, то не существует такого выбора, который позволил бы достичь этой точки: точка ( ) является недостижимой в пространстве критериев.

В качестве нового скалярного критерия мы можем принять функцию. Ее минимизация дает определенную полезную исследователю информацию: показывает наши предельные возможности достижения «абсолютного максимума».

Введение подобных критериев  также соответствует определенным гипотезам, принятие которых остается на совести исследователя. И эти критерии ничем не лучше рассмотренных выше, хотя   они   и   отражают   определенные   свойств для   задачи исследования операций; несут информацию, полезную оперирующей стороне.

д) Компромиссы  Парето. Сталкиваясь с многокритериальными задачами, естественно попытаться найти способы сведения их к обычным задачам с одним критерием, поскольку для однокритериальных задач, да еще с достаточно гладкой целевой функцией, существуют хорошо разработанные методы решения. Эти способы, разумеется, должны носить неформальный характер, ибо они не могут быть получены как результат решения какой-либо математической задачи. Мы уже рассмотрели несколько подобных способов, основанных на операции свертывания критериев. Смысл тех способов свертывания критериев, которые были изложены, достаточно очевиден: одну задачу мы заменили другой, причем в правомочности подобной замены и состояло содержание новых гипотез.