Сравнение эффективности функционирования сложных систем

,

где X_i,X_j – точки в признаковом пространстве размерности p.

Существуют  и  другие  способы  определения  расстояния  в  признаковом пространстве, например, хеммингово расстояние, которое используется как мера  различия  объектов,  задаваемых  дихотомическими  признаками. Выбор метрики-расстояния определяется структурой признакового пространства и целью классификации.

При использовании процедур кластерного анализа расчленение  объектов совокупности на качественно  однородные группы производится одновременно по большому числу признаков, но при  соблюдении условия, что ни один признак не выделяется по своей значимости так, что группировка на его основе является главной.

Другой важной величиной  в кластерном анализе является расстояние между целыми группами объектов. Используются такие подходы:

–  расстояние,  измеряемое  по  принципу "ближайшего  соседа", есть расстояние между ближайшими объектами  кластеров S_l и S_m:

,(1.1)

–  расстояние, измеряемое по принципу "дальнего  соседа", есть расстояние между самыми дальними объектами кластеров S_l и S_m:

 

 

– расстояние, измеряемое по "центрам тяжести" кластеров, определяется таким образом:

 

где, , (m) – средние арифметические векторных наблюдений, входящих в кластеры S_l и S_m.

Выбор той или иной меры расстояния между кластерами влияет, главным образом, на вид выделяемых алгоритмами кластерного анализа геометрических группировок объектов в пространстве признаков. Так, алгоритмы, основанные на  расстоянии "ближайшего  соседа",  хорошо работают в случае группировок, имеющих сложную, в частности, цепочечную структуру. Расстояние "дальнего соседа" применяется, когда искомые группировки образуют в пространстве признаков шаровидные облака. И промежуточное место занимают алгоритмы, использующие расстояния "центров тяжести" и средней связи, которые лучше всего работают в случае группировок эллипсоидной формы.

Классификационные процедуры  иерархического типа основаны на последовательном объединении кластеров (агломеративные процедуры) и на последовательном разбиении (дивизимные  процедуры).  Наибольшее  распространение получили агломеративные процедуры. Эти алгоритмы отличаются друг от друга лишь  способом  вычисления  расстояния  между  классами. Агломеративный алгоритм выполняется таким образом. На первом шаге все объекты считаются  отдельными  кластерами.  Затем  на  каждом  последующем шаге  два  ближайших кластера объединяются в один. Каждое объединение уменьшает число кластеров на один так, что в результате все объекты объединяются в один кластер. Момент остановки этого процесса может задаваться указанием либо требуемого числа кластеров, либо максимального расстояния, при котором допустимо объединение. Наиболее подходящее разбиение выбирает чаще  всего  сам  исследователь,  которому  предоставляется  дендрограмма, отображающая результаты группирования объектов на всех шагах алгоритма. Для большого числа объектов разбиения такая визуализация классификации является  единственным  способом  получить  представление  об общей  конфигурации объектов.

Иерархические  процедуры  позволяют  проследить  процесс  выделения группировок  и  иллюстрируют  соподчиненность  кластеров,  образующихся  на разных шагах какого-либо агломеративного или дивизимного алгоритма.

Выполнение кластерного  анализа позволяет сгруппировать объекты в отдельные  группы, а затем дать экспертную оценку этим группам.

 

2. Метод анализа среды функционирования

Методология Анализа Среды  Функционирования (АСФ) получила широкое  распространение в мире в качестве инструмента для анализа сложных  экономических и социальных систем. Начало данному подходу было положено в работах А. Чарнеса, В. Купера, Е. Роуда, Р. Бэнкера. На английском языке название данного подхода звучит как Data Envelopment Analysis (DEA). В настоящее время число публикаций по данной тематике в международных изданиях составляет несколько тысяч единиц.

В теории и практике человечества давно используются простые коэффициенты эффективности вида k=Y/X, где X – параметр затрат или ресурсов (входной параметр), Y – результат деятельности (выходной параметр). Таких показателей деятельности можно назвать десятки, если не сотни. К ним можно отнести, например, коэффициенты рентабельности в производстве и экономике, показатели ликвидности, коэффициенты надежности, различные варианты широко известного в физике и инженерном деле коэффициента полезного действия и многие другие.

Методология АСФ возникла как обобщение таких простых  показателей деятельности на случай сложных многомерных систем, т.е. когда деятельность сложного объекта  описывается набором входных  параметров (x1,...,xm) и набором выходных параметров (y1,...,yr). Для корректности и содержательности такой постановки, а также для устранения субъективных факторов в моделях, рассматривается множество подобных сложных объектов. Тогда математически такой подход сведется к решению большого числа оптимизационных задач. Мера эффективности в методологии АСФ имеет наглядный экономический смысл. Она показывает на сколько процентов объекту следует сократить свои ресурсы и/или увеличить свой выпуск, чтобы объект стал эффективным, поскольку имеются другие объекты, реальные или гипотетические, функционирующие оптимально.

Подход методологии АСФ  к анализу деятельности сложных  систем оказался плодотворным и конструктивным. В настоящее время методология  АСФ охватывает гораздо более  широкий спектр понятий и возможностей, чем просто вычисление и анализ эффективности  сложных объектов. Методология АСФ  имеет глубокую связь с теоретической  экономикой, системным анализом, многокритериальной оптимизацией. Она позволяет строить  многомерное экономическое пространство, находить оптимальные пути развития в нем, вычислять важнейшие количественные и качественные характеристики поведения  объектов, моделировать различные ситуации. При реализации данной методологии  используются современные достижения в области математического программирования, теории и методов решения задач  оптимизации большой размерности, а также компьютерного моделирования.

1.2.1 Модели метода  анализа среды функционирования

Рассмотрим суть метода DEA. Пусть имеются данные для K входных параметров и M выходных параметров для каждого из N объектов (под термином "объект" могут подразумеваться регионы, отрасли хозяйства,  предприятия, учебные заведения и т.д.). Для i-го объекта они представлены вектор-столбцами xi и yi соответственно. Тогда матрица X размерности K×N представляет матрицу входных параметров для всех N объектов, а матрица Y размерности M×N представляет матрицу выходных параметров для всех N объектов. Можно прийти к задаче математического программирования и, используя теорию двойственности, сформулировать ее в такой форме:

 

 

 

 

где, θ – скаляр, а λ  является вектором констант размерности  Nx1. Значение θ,полученное  при  решении  задачи,  и  будет  мерой  эффективности  i-го  объекта. При этом  эффективность не может превышать единицы. Важно помнить,  что аналогичная задача решается N раз, т.е. для каждого объекта. Те объекты, для которых значение показателя эффективности оказалось равным единице, находятся  на  границе  эффективности. В  результате может быть  сформирована кусочно-линейная  граница  эффективности.  Точки,  соответствующие  тем  объектам,  у  которых  показатель  эффективности  оказался  меньше  единицы,  можно спроецировать  на  границу  эффективности  таким  образом,  что  каждая  из  этих точек будет  равна линейной  комбинации  (Xλ, Yλ). Часть элементов вектора λ имеют ненулевые значения. Эти элементы  соответствуют  тем  объектам,  которые  являются  эталонными  для  оцениваемого  объекта.  Линейная  комбинация эталонных объектов и образует гипотетический объект, находящийся на границе эффективности. Гипотетический  объект был бы  эффективным,  если бы  существовал в действительности. Но поскольку он не существует, то значения его переменных являются целью для реального – неэффективного – объекта. В результате для объектов с θ < 1 могут быть установлены цели, которые заключаются  в  пропорциональном  сокращении  их  входных  факторов  на  величину  θ при сохранении выходных значений на прежнем уровне. Чем ближе точка, соответствующая данному объекту, к границе эффективности, тем выше ее мера эффективности.

Приведенная  модель  называется  моделью,  ориентированной  на  вход  и принимающей  наличие  постоянного  эффекта  масштаба.  Для  того  чтобы учесть  возможность  переменного  эффекта масштаба,  нужно  в  данную модель добавить ограничение на сумму весовых  коэффициентов λ:

 

Следствием ввода этого  ограничения является формирование выпуклой линейной комбинации эталонных  объектов.

Метод DEA имеет ряд привлекательных свойств, а именно:

–  позволяет  вычислить  один  агрегированный  показатель  для  каждогообъекта  в терминах  использования входных факторов (независимые переменные)  для  производства  желаемых  выходных  продуктов (зависимые переменные);

– может одновременно обрабатывать много входов и много выходов, каждый из которых при этом может измеряться в различных единицах измерения;

– позволяет учитывать  внешние по отношению к рассматриваемой системе переменные – факторы окружающей среды;

– не требует априорного указания весовых коэффициентов для переменных, соответствующих входным и выходным параметрам при решении  задачи оптимизации;

– не налагает никаких ограничений  на функциональную форму зависимости между входами и выходами;

–  позволяет  при  необходимости  учесть предпочтения менеджеров, касающиеся важности тех или иных входных или выходных переменных;

–  производит  конкретные  оценки  желательных  изменений  во  входах/выходах,  которые  позволили  бы  вывести  неэффективные  объекты  на  границу эффективности;

- формирует Парето-оптимальное множество точек,  соответствующих эффективным объектам;

– концентрируется на выявлении  примеров так называемой лучшей практики (best practice),  а не  на  каких-либо  усредненных  тенденциях,  как,  например, регрессионный анализ.

При использовании статистических данных за несколько лет появляется возможность проследить перемещение границы эффективности во времени. На основании направления этих перемещений можно определить, имеет ли место прогресс в исследуемой группе объектов (отрасли) или же регресс. Данный метод также позволяет определить, за счет чего достигнут прогресс: за счет улучшения управления, за счет приведения масштаба объекта к оптимальному либо за  счет  изменения  технологии (например,  внедрения  нового  оборудования).

Кроме того, можно определить так называемую распределительную эффективность (allocative efficiency), т.е. эффективность использования ресурсов,  если известны их стоимости.

Для иллюстрации концепции  эффективности и метода DEA рассмотрим процесс  производства,  в  котором задействованы два входных фактора производства x1 и x2, и производится один вид продукции y. При этом сделаем важное допущение о  том,  что  в нашем  случае будет иметь место постоянный  эффект масштаба. Это допущение позволит нам для графического изображения применяемой  технологии  производства  использовать двухмерный график.  По осям координат этого графика будут откладываться удельные затраты входных факторов производства, т.е. затраты, приходящиеся на единицу выпускаемой продукции. Таким образом, мы получаем единичную изокванту, представленную на рисунке 1.1.

Рис. 1.1 – Технология производства с двумя входами и одним  выходом

Если некоторая фирма  использует входные факторы в количествах, представленных точкой P на рисунке 1.1, то в этом случае ее техническая неэффективность будет выражаться длиной отрезка QP (где точка Q является проекцией точки P на  границу эффективности). Эта длина представляет  собой величину, на  которую  могут  быть  пропорционально  сокращены  величины  входов  без уменьшения величины выпускаемой продукции (выпуска). Техническая эффективность фирмы P, TE, будет равна отношению длин отрезков 0Q и 0P:

.

Выше были рассмотрены  модели, ориентированные на вход. Одна из их была построена с учетом постоянного  эффекта масштаба, а другая –  с учетом переменного эффекта  масштаба. Аналогичные модели могут  быть построены и с ориентацией  на выход. В этом случае главной целью моделей будет увеличение выпуска продукции без увеличения затрат входных ресурсов. В результате расчетов по этим моделям будут получены не только значения показателя эффективности для каждого из объектов, но также указаны рекомендуемые значения выходных переменных, при достижении которых неэффективные объекты могут быть выведены на границу эффективности. Вот эти модели:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель (1.5)  принимает  наличие  постоянного  эффекта  масштаба,  а  модель (1.6) – переменного  эффекта масштаба. Следует обратить внимание на то, что  в  данном  случае  значение  переменной  φ,  рассчитанное  по  этим моделям, будет больше или равно единице. Это объясняется тем, что целью моделей является пропорциональное увеличение значений выходных переменных. Для получения  же  традиционного  значения  показателя  эффективности,  лежащего  в пределах от нуля до единицы, следует просто использовать величину, обратную к φ, что обычно и делают.

1.2.2 Использование метода АСФ в системах поддержки принятия решений

Поскольку  задача в данном методе формулируется в  терминах входов и выходов (inputs/outputs), то необходимо отнести одну часть показателей, характеризующих исследуемые  объекты,  к  входам,  а  другую  часть  показателей –  к выходам. Однако при использовании метода DEA в ряде предметных областей возникает проблема разделения показателей на входные и выходные. Это объясняется  тем, что между показателями может не быть  технологической  связи, как  это  имеет  место  в  процессе  традиционного  материального  производства.

Одним из подходов к решению  указанной проблемы может быть такой: показатели,  для  которых  более  предпочтительными  считаются  меньшие  значения, следует  условно  относить  к  входным,  а  показатели,  для  которых,  наоборот, предпочтительными  являются  большие  значения,  следует  условно  относить  к выходным. В таком случае после выполнения вычислений по методу DEA мы получим для "неэффективных" объектов рекомендации по снижению значений входных и увеличению значений выходных показателей, что должно соответствовать логике конкретной предметной области. Возможны и другие подходы к решению задачи разделения показателей на входные и выходные.