События и операции над ними в теории вероятностей

Аксиомотическое определение вероятности.

Пусть Ω - произвольное пространство элементарных событий, а И – некоторый класс подмножеств множества Ω.

Класс подмножеств И называется алгеброй событий, если Ω в И и если А; ВЄИ, А+ВЄИ, А/ВЄИ при любом АЄИ, ВЄИ. Отсюда следует, что ǿ= Ω\ ΩЄИ. Наименьшей системой подмножеств, является алгеброй, очевидно являясь системой И={d, Ω }. Нетрудно проверить следующие утверждение. Если И – система всех подмножеств множества Ω, то и алгебра, если Ω-конечное множество, то система всех подмножеств будет так же конечным числом. [4]

Пример:

Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте Ω={W1,W2...,W6}, где Wк обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении k очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. Выпишем все события алгебры И, состоящих из всех подмножеств Ω:

{W1},{W2},... . {W6};

{W1,W2},{W1,W3},... . {W5,W6},{W1,W2,W3},... . .;

{W1,W2,W3,W4,W5,W6}= Ω

В этом примере алгебра и состоит из 2=64 событий. Если множества Ω состоит из N элементов, то число всех подмножеств равно 2N. Действительно, число последовательностей из 0 и 1 длины N равно 2N, а между такими последовательностями и подмножествами Ω можно установить взаимнооднозначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером i из множества Ω включается в подмножество, соответствующее данной последовательности стоит 1.

Определение 4. числовая функция Р, определенная на классе событий И, называется вероятностью, если выполнимы следующие условия:

А1. не является алгеброй событий;

А2. Р(А) ≥0 для любого а АЄИ.

А3. Р(Ω) =1

А4. (аксиома конечной аудитивности)

Если А и В несовместимы, то Р(А+В) =Р(А) +Р(В).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности:

А5. для любой убывающей последовательности А1эА2э…. эАnэ…событий из И такой, что__Аn= ǿ имеет место равенство е1m Р(Аn) =0.

Укажите несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2-А4. Из аксиом А3-А4 и равенства А+А= Ω следует, что Р(А) =1-Р(А).

Полагая здесь А= Ω, получим Р(ǿ) =0.

2        Виды событий

События в материальном мире можно разбить на три категории –достоверные, невозможные и случайные. Например, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число выпавших очков будет натуральным числом, невозможно, чтобы это число равнялось 7, и возможно, что оно будет равно 5, а при других будут выпадать другие значения очков: 1,2,3,4 или 6.

Определение 1. случайными событиями называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Примеры:

1. выпадение герба при бросании одной монеты.

2. выпадение четырех очков при бросании игральной кости – случайные события.

Определение 2. Случайное событие, которое обязательно наступит, называется достоверным событием и обозначается буквой ù [9, с.108].

Примеры:

3. выпадение герба или цифры при подбрасывании одной монеты;

4. выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных команд – достоверные события.

Определение 3. Событие определяется невозможным, если оно не содержит никакого множества исходов и обозначается буквой.

При любом исходе испытания это событие не происходит. Иными словами, невозможное событие состоит из пустого множества исходов.

Примеры:

5. выпадение более 6 очков при подбрасывании игрального кубика;

6. выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании одной монеты – невозможные события. [5]

Операции над событиями в теории вероятностей

Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости.

Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.

Событие А является частью события В состоит в осуществлении трех элементарных событий: «появление 2 очков», «появление 4 очков», «появление 6 очков», а событие А - одним из них – «появление двух очков».

Определение 1. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (говорят так же, что В содержит, является следствием, включает А, А является частью В) и обозначают это символом АсВ (или ВэА), если все исходы, составляющие А, входят и в В.

Возможность представить события как подпространства пространства Е помогает геометрически проиллюстрировать соотношения А и В (рис 1).

Сопоставим следующие события: А-»появление герба при подбрасывании монеты», В - «не появление цифры при подбрасывании монеты».

Рисунок 1 –Геометрически проиллюстрированные события

Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.

Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АсВ и ВсА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.

Объединение событий.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, е6, а событию В элементарные события е8, е9, е10, е11, е12 (рис. 2)

А

Е рис 2. С=АUB

А1

Е

Рисунок 3

С1=А1UВ1

Пусть событию С благоприятствуют все элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки.

Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В.

Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 – элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис. 3).

И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4благоприятсвуют и А1 и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.

Обобщим и то и другое вместе.

Определение 3. Объединение событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.

Такое соотношение принято обозначать символом U: С=АUВ.

В общем случае:

Определение 4. Объединение событий А1, А2, А3,…. Аn (или А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех).

Символически А=А1UА2UА3U... . UАn.

Для случайных событий имеют место закономерности:

АUВ=ВUА

(АUВ) UС=АU(ВUС)

Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.

Например, во второй закономерности (АUВ) UС означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С. [6]

Пересечение событий.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В – элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клеточками (рис. 8).

Логично событие С назвать пересечением событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.

В таком случае применяется символ С=А∩В.

В общем случае пересечение событий определяется так:

Определение 5. пересечение событий А1,A2, А3,…, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.

Символически: А=А1∩А2∩... ... ∩Аn.