Системы счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

    Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое конечное число знаков, называемых цифрами.

    Происхождение наиболее употребительной десятичной системы связано с пальцевым  счетом. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита , , и т.д. Начертание этих цифр произошло от греческих букв , , и др. Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых сформировалось в Индии к V в. и пришло в Европу с арабскими рукописями, в связи с чем цифры получили название «арабские». В некоторых странах применяли и другие системы счисления, например, в Китае – пятеричную. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятеричная система сохранилась в наши дни в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут на 60 секунд. Древние евреи использовали как десятичную, так и двенадцатеричную системы счисления.

    В зависимости от способа изображения  чисел системы счисления делятся  на позиционные и непозиционные. Каждая цифра в числе, записанном в позиционной системе счисления, несет двойную информационную нагрузку:

1. количество;
2. разряд, т.е. позицию, на которой цифра находится в числе.

Например, в десятичном числе 7 313 цифра 3 (та, что левее) означает, что:

1. она находится во втором разряде (отсчет разрядов ведется справа, начиная с нуля), т.е. соответствует разряду сотен;
2. количество этих сотен равно 3.

    В любой позиционной системе счисления любое число x может быть представлено в следующем виде:

       . (1)

Здесь – количество цифр, используемых для записи чисел в данной системе счисления (основание системы счисления);

 – числовые коэффициенты, причем положительные значения индексов соответствуют цифрам в целой части числа, а отрицательные – в дробной.  

    Пример. Десятичное число 7 313, 49 в виде (1) представляется следующим образом:

7 313, 49₁₀ = 7 · 10³ + 3 · 10² + 1 · 10¹ + 3 · 10⁰ + 4 · 10^-1 + 9 · 10^-2.

Тогда коэффициенты его разложения будут равны

      a₃ = 7,  a₂ = 3, a₁ = 1, a₀ = 3,  a_-1 = 4, a_-2 = 9. 

    Приведем  некоторые примеры позиционных  систем счисления.

Таблица 1

 

    Общепринятая  десятичная система счисления оказывается  неудобной для технической реализации, поскольку необходимо различные цифры кодировать десятью различными способами. Поэтому для внутреннего представления чисел в компьютере используется двоичная система счисления – в виде сигналов низкого (0) или высокого (1) уровней. Представление чисел в десятичной системе счисления проводится только на этапе получения информации от пользователя и на этапе выдачи результата.

    Установим соответствие между записями чисел  в системах счисления, представленных в табл. 1.

Таблица 2

 

    Несмотря  на удобство технической реализации, двоичная система обладает существенным недостатком – громоздкостью  записи чисел. Поэтому для сокращения записи используется восьмеричная или шестнадцатеричная форма записи двоичного числа.

    Кроме позиционных систем счисления существуют системы, в которых значение цифры не зависит от той позиции, которую она занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская система. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

I (1),     V (5),    X (10),     L (50),    С (100),     D (500),     М (1000).

Например, десятичное число 7 313 в римской системе счисления запишется следующим образом:

MMMMMMMCCCXIII.

    Недостатком непозиционных систем счисления является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними. Поэтому римские числа используются лишь при нумерации (глав в книгах, веков в истории и др.).

    При работе с компьютерами приходится параллельно  использовать несколько позиционных  систем счисления, поэтому большое  практическое значение имеют процедуры  перевода чисел из одной системы  счисления в другую. 

Перевод целого десятичного числа в произвольную р-ичную систему счисления 

    Для преобразования целого числа x₁₀ из десятичной системы счисления в р-ичную используется следующий алгоритм:

1. начало;
2. задать число x₁₀;
3. если x₁₀ < p, то x₁₀ = x_p (перевод выполнять не нужно) и перейти к шагу 7; в противном случае перейти к шагу 4;
4. разделить x₁₀ на p и записать целую часть m частного и остаток n;
5. записать остаток n с в младший из незаполненных разрядов p-ичного числа;
6. заменить число x₁₀ на m и вернуться к шагу 3;
7. конец.

 

    Пример 1. Перевести число 7 313₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. 

 

Т.о., 7 313₁₀ = 1 1100 1001 0001₂ = 16 221₈ = 1 C91₁₆. 

Перевод дробного десятичного числа в произвольную р-ичную систему счисления 

    Рассмотрим перевод правильной десятичной дроби (дроби, у которой целая часть равна нулю) 0,y₁₀ в р-ичную систему счисления. В общем случае такой перевод абсолютно точно выполнить не удастся. Почему? Следовательно, перевод числа в p-ичную систему счисления можно выполнить только с определенной точностью . Число знаков k после запятой, которые необходимо определить для p-ичного представления дробной части, определяется из соотношения

.

Отсюда  получаем, что

,

       , т.е.  . (2)

    Для преобразования правильной десятичной дроби числа 0,y₁₀ из десятичной системы счисления в р-ичную используется следующий алгоритм:

1. начало;
2. задать число 0,y₁₀ и точность ;
3. вычислить по формуле (2) число k р-ичных разрядов, требуемых для записи дробной части;
4. умножить число 0,y₁₀ на р и записать целую часть m и дробную n часть произведения.
5. записать m в старший разряд дробной части р-ичного числа;
6. заменить число 0,y₁₀ на n.

Действия 4 – 6 повторить еще k–1 раз.

7. конец.

 

    Пример 2. Перевести число 0,81₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с точностью 0,006.

 

Т.о., 0,81₁₀ = 0,110 0111₂ = 0,636₈ = 0,CF₁₆. 

    Если  число является неправильной десятичной дробью, то есть содержит как целую, так и дробную части, к этим частям по отдельности применяются соответствующие алгоритмы преобразования. Тогда число 7 313,81₁₀ будет представлено в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления с точностью 0,006 следующим образом:

7 313,81₁₀ = 1 110 010 010 001,110 011 1₂ = 16 221,636₈ = 1 C91,CF₁₆. 

Перевод р-ичного числа в десятичную систему счисления 

    Для перевода p-ичного числа в десятичную систему счисления используется формула (1), причем операции сложения, умножения и возведения в степень в этой формуле проводятся в десятичной системе. 

    Пример 3. Перевести двоичное число 1 110 010 010 001,1100111₂, восьмеричное 16 221,636₈ и шестнадцатеричное 1 C91,CF₁₆ в десятичную систему счисления.

1 110 010 010 001,1100111₂ = 1·2¹² + 1·2¹¹ + 1·2¹⁰ + 1·2⁷ + 1·2⁴ + 1·2⁰ + 1·2^-1 + 1·2^-2 + 1·2^-5 + 1·2^-6 + 1·2^-7 =

= 4096 + 2048 + 1024 + 128 + 16 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/32 + 1/64 + 1/128 = 7 313,8046875₁₀,

16 221,636₈ = 1·8⁴ + 6·8³ + 2·8² + 2·8¹ + 1·8⁰ + 6·8^-1 + 3·8^-2 + 6·8^-3 = 2¹² + 6·2⁹ + 2·2⁶ + 2·2³ + 1 + 6/2³ + 3/2⁶ + 6/2⁹ = = 4096 + 6·512 + 128 + 16 + 1 + 6/8 + 3/64 + 6/512 = 7 313,80859375₁₀,

1 C91,CF₁₆ = 1·16³ + 12·16² + 9·16¹ + 1·16⁰ + 2·16^-1 + 15·16^-2 = 2¹² + 12·256 + 9·16 + 1 + 12/16 + 15/256 =

= 4096 + 12·256 + 9·16 + 1 + 12/16 + 15/256 = 7 313,80859375₁₀.

    Проверим, что исходные двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное числа равны  десятичному числу 7 313,81₁₀ с точностью до ε = 0,006:

|7 313,8046875 – 7 313,81| = 0,0053125 < 0,006 = ε,

|7 313,80859375 – 7 313,81| = 0,00140625 < 0,006 = ε. 

Преобразование  между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления 

    Указанные системы счисления используются в компьютерах для представления  информации. Основной системой является двоичная. В ней хранится абсолютно вся информация (числовая, текстовая, графическая, аудио- и видеоинформация). Для обозначения нуля и единицы используются электрические сигналы низкого и высокого уровня соответственно. При всем удобстве двоичной системы у нее есть существенный недостаток – запись в двоичной системе очень громоздкая (см. пример 1). Поэтому для сокращения двоичных чисел используются равные им восьмеричные или шестнадцатеричные числа.