Системы счисления

Лабораторная  работа №2

Системы счисления 

1. Цель и задачи  работы

     Цель  работы: усвоение основных принципов перевода чисел из одной системы счисления в другую.

     Задачи работы: усвоение способов перевода чисел в двоичную, десятичную и шестнадцатеричную систему, овладение основами двоичной арифметики.

     . 

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  СВЕДЕНИЯ

      Система счисления - это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. Символы, используемые для записи чисел, называются цифрами. Множество цифр образует алфавит системы счисления. Часто в алфавит входит и знак “,” (запятая).

      В зависимости от способа изображения  чисел системы счисления делятся  на позиционные и непозиционные.

      В непозиционной системе значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различные значения, определяемые позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Количество различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значение цифр лежат в пределах от 0 до . Примером позиционной системы счисления может служить привычная нам арабская десятичная система.

      В вычислительной технике часто применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др.

      Двоичная  система счисления.

      Основание . Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1.

      Восьмеричная система счисления.

      Основание . Алфавит включает цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7.

      Шестнадцатеричная система счисления.

      Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной  системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Основание . Алфавит включает цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

      Изображения первых семнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в таблице 2.1.

      Таблица 2.1. Системы счисления.

 

      Любое число  в позиционной системе счисления с основанием может быть представлено в виде полинома:

      

где в  качестве могут стоять любые из цифр алфавита, а нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд), - положительные значения индексов - для целой части числа, - отрицательные значения - для дробной.

      В вычислительных системах применяются  две формы представления чисел: естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой) и нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой).

      С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

      

.

      Запятая опускается, если дробная часть отсутствует. Позиции цифр в такой записи называются разрядами. Разряды нумеруются влево от запятой, начиная с нуля: 0-й,1-й,... -й, -й; и вправо от запятой: 1-й, 2-й,... -й. Величина называется весом, или значением, -го разряда.

      В позиционной системе счисления вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию системы .

      Пример. Представим в виде полинома десятичное число . :

      

      Пример. Представим в виде полинома  двоичное число , :

       С плавающей  запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, а вторая порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

      

,

где - мантисса числа (| , - порядок числа ( - целое число); - основание системы счисления.

      Пример. Представим в нормальной форме число :

      

 

      Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (тетрадами).

      Пример. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так (см. табл. 2.1):

      1001 0111 0000 0011.

      Двоичная  арифметика.

      Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

      Сложение 

      0+0=0

      0+1=1

      1+0=1

      1+1=10

      Вычитание

      0-0=0

      1-0=1

      1-1=0

      10-1=1

      Правила арифметики во всех позиционных системах счисления одинаковы, т.е.

      1) Сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, деление - со старших.

      2) При сложении единица переноса складывается с цифрами соседнего старшего разряда. При вычитании единица заёма старшего разряда дает две единицы в младшем соседнем разряде.

      Пример.

      

      Пример.

      

      Умножение

      0х0=0

      0х1=0

      1х0=0

      1х1=1

      Деление

      0:1=0

      1:1=1

      Умножение двоичных чисел аналогично умножению  десятичных, но т.к. имеет место только умножение на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки, отделяющей целую часть от дробной части, определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.

      Пример. 

      

      Перевод чисел из одной  системы счисления  в другую.

      Задача  перевода из одной системы счисления  в другую встречается достаточно часто. Сначала рассмотрим перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот.

      Правило 1. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное надо каждую цифру заменить четырехразрядным двоичным числом. Незначащие нули отбросить.

      Пример. Переведем число 7D2.ЕН из шестнадцатеричной СС в двоичную СС:

      

      Правило 2. Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную надо число разбить на четверки влево и вправо от запятой. Крайние  группы, если необходимо дополнить нулями. Затем каждую четверку двоичных цифр заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

      Пример. Переведем  число 10111110001.001 из двоичной СС в шестнадцатеричную СС.

      

      Рассмотрим  общие правила перевода чисел  из одной системы счисления в  другую. Эти правила зависят от того, в какой системе счисления осуществляются арифметические операции, связанные с преобразованием чисел, - в той, в какой представлено исходное число, или в той, в которую оно переводится.

      Правило 3.

      Если  задано число , представленное в системе счисления с основанием , как:

      

,

то переводить его в  -систему нужно, выполняя действия в новой системе счисления (в -системе). Для этого нужно представить его в виде суммы степеней :

      

,

      где основание  , коэффициенты и номера разрядов выражены в новой -системе. Этот способ удобен при и особенно для ручного перевода в десятичную систему счисления.

      Пример. Переведем в десятичную систему счисления:

      

      Пример. Переведем  в двоичную систему счисления:

      

      Правило 4. Для перевода целого числа из -системы в -систему счисления в арифметике -системы нужно последовательно делить это число и получающиеся частные на до тех пор, пока частное не станет меньше . Старшей цифрой в новой записи числа будет последнее частное, а следующие за ней цифры дают остатки, вписанные в последовательности, обратной их получению.