Система счисления

   ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №1

   Системы счисления

    

   Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

   Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

   Непозиционными  системами являются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе.

   Примером  непозиционной системы является римская система. К недостаткам  таких систем относят наличие  большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

   Система счисления называется позиционной, если одна и также цифра имеет различное значение, определяющиеся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону.

   Примером  позиционной системы счисления  является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

   Количество  p различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – «р».

   В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система  имеет основанием число десять.

   Любое число N в позиционной системе  счисления с основанием р может быть представлена в виде полинома от основания р: 

   N=а_к*р^к+ а_к-1*р^к-1+…+ а_1*р¹+ а_0*р⁰+ а_-1*р^-1+ а_-2*р^-2+….              (1.1) 

   здесь N - число, а - коэффициенты (цифры числа), р - основание системы счисления (р>1).

   Принято представлять числа в виде последовательности цифр: 

   N=а_к*а_к-1…а₁а₀*а_-1а_-2…. 

   В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных  степенях, включая нуль, от коэффициентов  при отрицательных степенях). Точка  опускается, если нет отрицательных степеней (число целое).

   В ЭВМ применяют позиционные системы  счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

   В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные  элементы, которые находятся только в двух состояниях;  одно из них  обозначается 0, а другое – 1. Поэтому основной системой счисления применяемой в ЭВМ является двоичная система.

   Двоичная  система счисления. Используются две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:

   Х=b_М b_М-1… b₁ b₀* b_-1 b_М-2… ,

   где b_j либо 0, либо 1.

   Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

   Х=b_М*2^М+ b_М-1*2^М-1+…+ b₁*2¹+ b₀*2⁰+ b_-1*2^-1+ b_-2*2^-2+….

   Восьмеричная  система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (таблица 2.1).  

   Наиболее  важные системы счисления.          Таблица 1.1

 

    Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр – латинскими буквами: 10-А, 11-В, 12-С, 13-D, 14-Е, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используются четыре двоичных разряда (тетрада) (таблица 1.1). 

   Перевод чисел из одной  системы счисления  в другую.

   Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы. 

   Пример:

1. Перевести 10101101,101₂       «10» с.с.

   10101101,101₂=1*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+                    +1*2^-3=173,625₁₀

2. Перевести   703,04₈              «10» с.с.

   703,04₈=7*8²+0*8¹+3*8⁰+0*8^-1+4*8^-2=451,0625₁₀

3. Перевести В2Е.4₁₆                «10» с.с.

   В2Е,4₁₆=11*16²+2*16¹+14*16⁰+4*16^-1=2862,25₁₀

   Перевод целых десятичных чисел  в восьмеричную и двоичную системы осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

   Пример.

1. Перевести 181₁₀                  «8» с.с.

      
 
 
 
 

     Результат 181₁₀=265₈.

2. Перевести 622₁₀             «16» с.с.

     
 
 
 

   Результат 622₁₀=26Е₁₆.

   Перевод правильных дробей из десятичной системы  счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную  системы счисления.

   Для перевода десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно  умножать на основание той системы, в которую она переводится, при этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

   Пример.

    Перевести 0,3125₁₀                      «8» с.с.

                 
 
 
 

   Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

   Пример.

    Перевести 0,65₁₀                 «2» с.с. Точность 6 знаков.

     

    Для перевода неправильной десятичной дроби  в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

    Пример.  Перевести 23,125₁₀                     «2» с.с. 

   Таким образом: 23₁₀=10111₂; 0,125₁₀=0,001₂.

   Результат: 23,125₁₀=10111,001₂.

   Необходимо  отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби – дробями в любой системе счисления.

    Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (таблица 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

   Пример. 

   Для перехода от двоичной к восьмеричной или шестнадцатеричной системе поступают следующим образом: двигаясь от точки в левои вправо, разбивают двоичное число на группы по три  (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

   Пример.

    Перевести 1101111001,1101₂                    «8» с.с.

    Перевести 11111111011,100111₂             «16» с.с.     

    Перевод из восьмеричной в  шестнадцатеричную  систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

    Пример. Перевести 175,24₈                  «16» с.с.

   

      Двоичная арифметика.

   Для выполнения арифметических операций в системе  счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы (Таблицы 1.2, 1.3, 1.4).

   Таблица 1.2

 

   Таблица 1.3.