Сигналы и теория преобразований

По виду импульсной переходной функции цифровые фильтры можно разделить на два обширных класса: нерекурсивные (КИХ) и рекурсивные (БИХ).

Нерекурсивный фильтр (КИХ-фильтр) – фильтр с конечной импульсной характеристикой – это один из видов электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Знаменатель передаточной функции такого фильтра — некая константа.

Рекурсивный фильтр (БИХ-фильтр) – фильтр с бесконечной импульсной характеристикой – это электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образующий обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми, так и цифровыми.

По виду частотной характеристики фильтры подразделяются на:

• Фильтр нижних частот (ФНЧ, Low-Pass) имеет три частотных полосы: полосу пропускания (ПП), полосу задерживания (ПЗ) или ослабления и затухания, и переходную полосу. Данный фильтр отрезает сигнал, частота которого выше определенного порога - частоты среза.
• Фильтр верхних частот (ФВЧ, High-Pass) имеет, как и ФНЧ, три частотных полосы: полоса задерживания, переходная полоса и полоса пропускания, которые расположены в обратном, относительно ФНЧ, порядке. Работа этого фильтра прямо противоположна предыдущему - ФВЧ используется для отсекания сигнала, частота которого ниже частоты среза.
• Полосовой фильтр (ПФ, Band-Pass) характеризуется пятью частотными полосами, из которых центральная— полоса пропускания, две полосы задерживания и две переходных полосы. Полосовой фильтр применяется в тех случаях, когда необходимо выделить некую полосу частот из всего спектра.
• Режекторный фильтр (РФ), или  полосно-заграждающий, подобно ПФ, характеризуется пятью полосами, из которых две полосы пропускания, одна полоса задерживания и две переходных полосы. Этот фильтр не пропускает колебания некоторой определённой полосы частот (полоса задерживания), и одновременно пропускает колебания с частотами, выходящими за пределы этой полосы.
• Заграждающий фильтр, предназначенный для подавления одной определённой частоты, называется узкополосным заграждающим фильтром или фильтром-пробкой (Notch Filter). Данный фильтр применяют, если необходимо ослабить (практически до нуля) некую выбранную частоту.

По способу аппроксимации фильтры  делят на:

• Фильтр Баттерворта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования: фильтр проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.
• Фильтры Чебышева (I и II рода) — одни  из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которых является более крутой спад АЧХ и существенные пульсации АЧХ на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.
• Эллиптический фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого является пульсации АЧХ как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.
• Фильтр Бесселя — в электронике и обработке сигналов один из наиболее распространённых типов линейных фильтров, отличительной особенностью которого является максимально гладкая групповая задержка (линейная фазо-частотная характеристика). Групповая задержка фильтров Бесселя практически не изменяется по частотам полосы пропускания, вследствие чего форма фильтруемого сигнала на выходе такого фильтра в полосе пропускания сохраняется практически неизменной.

 

 

3.2. Один из способов описания фильтра – с помощью нулей и полюсов. Передаточная функция фильтра – H(z), описанная с помощью нулей и полюсов, в общем виде выглядит так:

H(z) = K∙ ,

где z_i – нули передаточной функции,

      p_j – полюса передаточной функции,

      К – коэффициент усиления фильтра,

      z^-1 – переменная (z – аппарат преобразования).

Подставляя  заданные по условию значения z_i и p_j, получаем выражение передаточной функции фильтра H(z):

H(z) = K∙

 

 

3.3. Рассчитаем коэффициенты данного фильтра.

Раскрываем  скобки в числителе:

(1 – 1,3z^-1)(1 + 0,6z^-1)(1 + 0,5z^-1) = (1 – 1,3z^-1 + 0,6z^-1 – 0,78z^-2) (1 + 0,5z^-1) =

= (1 – 0,7z^-1 – 0,78z^-2) (1 + 0,5z^-1) =1 – 0,7z^-1 – 0,78z^-2 + 0,5z^-1 – 0,35z^-2 – 0,39z^-3=

= 1 – 0,2z^-1 – 1,13z^-2 – 0,39z^-3

Полученное  выражение соответствует выражению

b₀ + b₁z^-1 + b₂z^-2 + b₃z^-3,

т.е. числителю  формулы передаточной функции фильтра, если знаменатель приравнять к нулю. Отсюда находим значения коэффициентов  числителя b_i:

b₀ = 1; b₁ = −0,2; b₂ = −1,13; b₃ = −0,39.

Аналогично  раскрываем скобки в знаменателе:

(1 – 0,3z^-1)(1 – 1,5z^-1) = 1 – 0,3z^-1 – 1,5z^-1 + 0,45z^-2 = 1 – 1,8z^-1 + 0,45z^-2

Полученное  выражение соответствует выражению

1 + a₁z^-1 + a₂z^-2,

откуда находим  значения коэффициентов знаменателя:

a₁ = −1,8; a₂ = 0,45.

 

 

3.4. Построим импульсную характеристику данного фильтра.

Импульсной  характеристикой называют реакцию  фильтра на единичный импульс, поданный на его вход. Под единичным импульсом будем понимать, такой сигнал, который в момент времени t=1 равен 1, а во все остальные моменты времени он равен нулю.

График  импульсной характеристики фильтра для входящего единичного импульса представлен на Рисунке 3.1.

 

Рисунок 3.1. График импульсной характеристики фильтра для входящего единичного импульса

Как видно  из Рисунка 3.1, в момент времени 1t входящий импульс S_вх(1∆t) равен единице, в остальные временные отсчёты S_вх(n∆t) он равен нулю.

Импульсную  характеристику исследуемого фильтра  будем строить на основании анализа Рисунка 3.1 и формулы для нахождения выходящих импульсов:

S_вых(n∆t) = b₀∙ S_вх(n∆t) + b₁∙ S_вх[(n−1)∙∆t] + b₂∙ S_вх[(n−2)∙∆t] +

+ b₃∙S_вх[(n−3)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(n−1)∙∆t] – a₂∙ S_вых[(n−2)∙∆t] ,

где n – номер отсчета.

Находим:

n=0, S_вых(0∆t) = b₀∙ S_вх(0∆t) = 0. Остальных слагаемых уравнения нет, т.к. нет отрицательного ∆t: для того, чтобы система была физически реализуема в реальном времени, ее импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: h(t)=0 при t<0. В противном случае система нереализуема, так как она нарушала бы причинно-следственную связь: отклик появляется на выходе раньше, чем на вход поступило воздействие

Далее, для упрощения вычислений, сразу будем исключать из уравнения все те слагаемые, которые содержат «0∆t» или отрицательный коэффициент перед ∆t, а также все слагаемые, содержащие S_вх(n∆t), где n отлично от единицы (как мы уже отметили выше, входящий импульс, равный единице, существует только в отсчете 1∆t, в остальные отсчеты времени он равен нулю).

n=1, S_вых(1∆t) = b₀∙ S_вх(1∆t) = 1∙1 = 1 – координаты точки окончания импульса на первом отсчёте (1;1).

n=2, S_вых(2∆t) = b₁∙ S_вх[(2−1)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(2−1)∙∆t]= – 0,2∙1 + 1,8∙1 = 1,6.

Координаты точки окончания  импульса на втором отсчете (2;1,6).

n=3, S_вых(3∆t) = b₂∙ S_вх[(3−2)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(3−1)∙∆t] – a₂∙ S_вых[(3−2)∙∆t]=

= −1,13∙1 + 1,8∙1,6 – 0,45∙1 = 1,3. Координаты точки окончания  импульса на третьем отсчёте (3;1,3).

n=4, S_вых(4∆t) = b₃∙S_вх[(4−3)∙∆t] − a₁∙ S_вых[(4−1)∙∆t] – a₂∙ S_вых[(4−2)∙∆t] =

= −0,39∙1 + 1,8∙1,3 – 0,45∙1,6 = 1,23. Координаты точки окончания импульса на четвёртом отсчете (4;1,23).

 

На основании  полученных данных строим импульсную характеристику исследуемого фильтра (Рисунок 3.2).

 

Рисунок 3.2. Импульсная характеристика исследуемого фильтра.

 

Из анализа  полученных данных следует, что исследуемый  нами цифровой фильтр – фильтр класса КИХ-фильтров, т. е. фильтров с конечной импульсной характеристикой: импульсная характеристика КИХ-фильтра всегда конечна и полностью совпадает с коэффициентами фильтра.

 

Об устойчивости исследуемого фильтра можно судить по значениям полюсов фильтра: теоретически цифровой фильтр стабилен, если полюса передаточной функции лежат где угодно внутри единичной окружности.

ЦФ устойчив, если устойчив его  аналоговый фильтр-прототип, поскольку  полюсы последнего лежат в левой p-полуплоскости, отображаемой внутрь единичного круга z-плоскости (левая p-полуплоскость однозначно отображается внутрь единичного круга, а правая p-полуплоскость – вне его).

Но на практике, из-за погрешности округления, полюса фильтра должны находиться на некотором безопасном расстоянии от нее, т.е. по модулю быть чуть меньше единицы. И чем больше порядок фильтра, тем меньше допустимый радиус для полюсов.

Таким образом, можно заключить, что исследуемый фильтр, полюса передаточной функции которого равны p₁=0,3, p₂=1,5, является неустойчивым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

 

1. Баскаков С. И. Радиотехнические цени и сигналы. Руководство к решению задач М.: Высшая школа, 2002, 214 с.
2. Глинченко А.С. Цифровая обработка сигналов: В 2 ч. Ч. 1. Красноярск: Изд-во КГТУ. 2001. 199 с.
3. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и приминение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. А. Л. Зайцева, Э. Г. Назаренко, Н. Н. Тетёкина / Под редакцией Ю. Н. Александрова – М.: Мир, 1978. – 848 с.: ил.
4. Раушер К.. Нанесен Ф., Минихольд Р. Основы спектрального анализа: Пер. с англ. С. М. Смольского / Под редакцией Ю. А. Гребенко - М: Горячая линия-Телеком, 2006. - 224 с: ил.
5. Солонина А. И., Улахович Д. А., Яковлев Л. А. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 464 с: ил.
6. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.