Сигналы и теория преобразований

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу  «Сигналы и теория преобразований»

 

 

                                             

 

 

 

 

Подготовила:    студентка Заочного факультета 

гр. СУА-09з.

Гассиева  Н.С.

 

 

Проверил:                                   к.т.н., доцент

   Дегтяренко  И. В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Донецк 2012

ЗАДАНИЕ 1.

Математическое описание и оценка энергетических характеристик сигналов.

 

1.1. Математически опишите два сигнала заданные графически (см. табл. 1.2). Номера сигналов выберите согласно Вашему варианту (см. табл. 1.1).

1.2. Аналитически опишите математическую модель суммы данных сигналов. Приведите график суммарного сигнала.

1.3. Приведите формулы для определения энергии, средней мощности и пик-фактора сигналов. Определите эти характеристики для суммарного сигнала.

 

 

 

Таблица 1.1 – Варианты к заданию  №1 и №2.

 

№ варианта
	Типы сигналов		Т, мс	А, В	Математическая модель сигнала
3	1.1	1.4	70	3

 

 

 

 

Таблица 1.2 – Графики сигналов для  задания №1

 

Сигнал 1.1	Сигнал 1.4

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ.

1.1. Как видно из таблицы 1.2, сигналы 1.1 и 1.4 представляют собой одиночные электрические импульсы.

Электрический импульс — это кратковременный  всплеск электрического напряжения или силы тока в определённом, конечном временном промежутке.

Важной  характеристикой импульсов является их форма. Анализ графиков таблицы 1.2 позволяет заключить, что сигнал 1.1 представляет собой одиночный несимметричный треугольный импульс, сигнал 1.4 – одиночный прямоугольный импульс, задержанный во времени. Оба сигнала – стандартной формы, имеют относительно простое математическое описание и широко применяются в технике.

Оба импульса характеризуются двумя основными  параметрами — амплитудой (размахом) A и длительностью T.

Для обоих  сигналов по условию задания амплитуда A = 3 (В), длительность T = 70 (мс) = 0,07 (с).

Оба сигнала  можно представить дискретным рядом, т.е. в виде последовательности отсчетов.

Для сигнала, представляющего собой несимметричный треугольный импульс:

      A ∙ ,     0 ≤ t ≤ T

s(t) =             0,          t < 0, t > T

 

Таким образом, для сигнала 1.1:

 

      ,    0 ≤ t ≤ 0,07

s(t) =            0,        t < 0, t > 0,07                          (1.1)

 

Для сигнала, представляющего собой одиночный прямоугольный импульс, задержанный во времени:

 

      A,     0 ≤ t ≤ T

 s(t) =     0,    t < 0, t > T

 

 

Таким образом, для сигнала 1.4:

 

      3,       0 ≤ t ≤ 0,07

 s(t) =     0,      t < 0, t > 0,07                               (1.2)

 

1.2. Сумма исследуемых сигналов может быть описана системой, представляющей собой сумму систем 1.1 и 1.2:

 

      + 3,    0 ≤ t ≤ 0,07

s(t) =            0,              t < 0, t > 0,07

 

Графики исследуемых сигналов и суммарного сигнала представлены на Рисунке 1.1: красным цветом – график прямоугольного импульса, синим – треугольного, чёрным – график суммарного сигнала.

 

Рисунок 1.1. Графики исследуемых импульсных сигналов и их суммы.

1.3. Энергия сигнала на некотором отрезке времени [0;T], называемом временем наблюдения, определяется выражением

E = ,

где s²(t)/R – мгновенная мощность − рассеиваемая в резисторе мощность, зависящая от времени. Но так как энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средство сравнения различных сигналов, сопротивление резистора R принимаем равным 1 и таким образом исключаем этот параметр из формул.

Итак, чтобы вычислить выделяющуюся за время Т энергию, мгновенную мощность нужно проинтегрировать.

Для сигнала 1.1 вычисляем:

E₁ =

E₁ =

E₁ = 1836,73∙ = (t³) = 612,24∙(0,07³-0³) ≈ 0,21 (B²∙c)

Аналогично  вычисляем энергию сигнала 1.4:

E₂ =

E₂ = 9 ∙ = 9∙t¹ = 9∙(0,07- 0) = 0,63 (B²∙c)

Так же вычисляем  энергию суммы сигналов:

E =

E =

E =

E = + + 9t

E = 612,24∙0,07³ + 128,57∙0,07² + 9∙0,07 ≈ 1,47 (B²∙c)

Среднюю мощность сигнала найдём, разделив энергию на длительность временного интервала:

Р_ср = Е / Т

Для сигнала 1.1 находим 

Р_ср1= 0,21/0,07 = 3 (В²)

Для сигнала 1.4

Р_ср2 = 0,63/0,07 = 9 (В²)

Средняя мощность суммарного сигнала

Р_ср = 1,47/0,07 = 21 (В²)

 

Вычислим  пик-фактор сигналов 1.1 и 1.4 и суммарного сигнала.

Пик-фактор сигнала – это отношение максимальной амплитуды сигнала к его СКЗ:

К_А = ,

где СКЗ – среднее квадратическое значение сигнала − находится из выражения:

СКЗ = .

Находим для сигнала 1.1:

СКЗ₁ = = ≈ 1,732 (В)

К_А1 = 3/1,732 ≈ 1,732

Для сигнала 1.4:

СКЗ₂ = = = 3 (В)

К_А2 = 3/3 = 1

Для суммарного сигнала:

СКЗ = = ≈ 4,58 (В)

К_А = 6/4,58 ≈ 1,31

 

 

ЗАДАНИЕ 2.

Оценка спектральных характеристик  сигналов.

 

2.1. Опишите цель и способы проведения спектрального анализа сигналов. Опишите прямое и обратное преобразование Фурье, а также их свойства.

2.2. Постройте график спектра амплитуд полигармонического сигнала, заданного в таблице 1.1. Перед построением спектра сигнал нужно представить в виде суммы элементарных гармонических составляющих.

2.3. Постройте график спектра мощности данного сигнала в логарифмическом масштабе (в дБ). Для нахождения мощности в дБ использовать формулу:

,

где  P_i – абсолютное значение мощности і-той гармоники;

P₀ – базовое значение мощности соответствующее 0 дБ ( P₀ = 1 ВА).

 

РЕШЕНИЕ.

 

2.1. Спектральный анализ – это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Спектральный анализ в своей основе имеет различные интегральные преобразования и является мощным инструментом обработки данных, определённых дискретной зависимостью у(x_i) или непрерывной функцией f(x). Спектром совокупности данных у(х) называют некоторую функцию другой координаты F(ω), полученную в соответствии с определённым алгоритмом.

Примерами спектров являются преобразование Фурье  и вейвлет-преобразованне. Каждое из интегральных преобразований эффективно для решения своего круга задач анализа данных. Исследования спектра сигнала могут включать в себя исследование спектра амплитуд, спектра мощности, спектра мощности в децибелах и др.

Цель спектрального анализа - разложить ряд на функции синусов и косинусов различных частот, для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо. В итоге, спектральный анализ определяет корреляцию функций синусов и косинусов различной частоты с наблюдаемыми данными.

Преобразование Фурье − преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Это интегральное преобразование, раскладывающее исходную функцию по базисным функциям, в качестве которых выступают синусоидальные (или мнимые экспоненты) функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид (мнимых экспонент) различной частоты, амплитуды и фазы.

Преобразование обратимо, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит идея о том, что почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами А, периодами Т и, следовательно, частотами ω).

Математический  смысл преобразования Фурье состоит  в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(ω)∙sin(ωx). Функция F(ω) называется преобразованием Фурье, или интегралом Фурье, или Фурье - спектром сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(ω) в исходный сигнал у(х).

Согласно  определению, прямое преобразование Фурье выражается формулами:

F(ω) = .

A(ω) = |F(ω)|,  tgα(ω) = arg F(ω)

 

Обратное  преобразование Фурье:

F(x) =

Как видно, преобразование Фурье является комплексной  величиной, даже если сигнал действительный.

 

2.2. Построим график спектра амплитуд полигармонического сигнала

Вначале представляем исходный сигнал в виде суммы элементарных гармонических  составляющих.

cos²(2π200t) = 1/2[cos(2π200t - 2π200t) + cos(2π200t + 2π200t)] = 1/2 + 1/2cos(2π400t)

Получаем  сигнал в виде суммы:

s(t) = 0,5cos(2π400t) + 6sin(2π30t) – 4sin(2π20t) + 0,5

Имеем 4 слагаемых, на основании анализа  которых строим необходимый спектр:

1. константа 0,5 – нулевая частота, амплитуда 0,5 В (на оси амплитуд);
2. на частоте 20 Гц – амплитуда 4 В;
3. на частоте 30 Гц – амплитуда 6 В;
4. на частоте 400 Гц – амплитуда 0,5 В;

График  спектра амплитуд представлен на Рисунке 2.1.

Рисунок 2.1. Спектр амплитуд исследуемого полигармонического сигнала.

2.3. Построим спектр мощности исследуемого сигнала в логарифмическом масштабе.

Для построения спектра мощности значение каждой из амплитуд необходимо возвести в квадрат: P₁ = 0,25 В², P₂ = 16 В², P₃ = 36 В², P₄ = 0,25 В². Для представления мощности в децибелах используем соотношение

,

где P_i – абсолютное значение мощности і-той гармоники (квадраты амплитуд) , P₀ – базовое значение мощности, соответствующее 0 дБ ( P₀ = 1 ВА).

Вычисляем:

P_1дБ = 10∙lg = − 6 дБ;

P_2дБ = 10∙lg = 12 дБ;

P_3дБ = 10∙lg = 16 дБ;

P_4дБ = 10∙lg = − 6 дБ;

Знаки «+»  и «−» показывают, больше или  меньше значение мощности в децибелах  относительно заданного нулевого уровня.

 График  спектра мощности исследуемого полигармонического сигнала в децибелах приведен на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2. Спектр мощности исследуемого полигармонического сигнала в децибелах.

 

 

 

ЗАДАНИЕ 3.

Синтез цифровых фильтров и фильтрация сигналов.

 

3.1. Опишите цели фильтрации сигналов и приведите классификацию цифровых фильтров.

3.2. Напишите передаточную функцию фильтра H(z), описанную с помощью нулей и полюсов (см. табл. 3.1).

3.3. Рассчитайте коэффициенты данного фильтра.

3.4. Постройте и проанализируйте импульсную характеристику данного фильтра. Определите, обладает ли данный фильтр устойчивостью.

 

Таблица 3.1 – Варианты к заданию 3

 

№	P1	P2	P3	Z1	Z2	Z3
3	0.3	1.5	–	1.3	-0.6	-0.5

 

 

РЕШЕНИЕ.

 

3.1. Фильтрация представляет собой одну из самых распространенных операций обработки сигналов. Цель фильтрации состоит в подавлении помех, содержащихся в сигнале, или в выделении отдельных составляющих сигнала, соответствующих тем или иным свойствам исследуемого процесса.

Цифровой фильтр — это частотно-избирательная цепь, которая обеспечивает селекцию цифровых сигналов по частоте.