Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі

Д.Серікбаев  атындағы ШҚМТУ 
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ

Тақырыбы: Санау жүйесі 
 
 

Орындаған: Шабданұлы Асхат, 11-ЭЛК-1

Тексерген:   Нурсадыкова Р.К. 
 
 
 
 
 
 
 

Өскемен қаласы

2011 жыл

Санау жүйесi. 

     Санау жүйесінің түрлері. Бір санау жүйесінен екіншісіне өту жолы.

      Санақ жүйесі дегеніміз сандарды жазуға, оқуға болатын тәсілдер мен ережелер жиынтығы. Санақ жүйелері позициялы  және позициялы емес болып бөлінеді.

      Позициялық  санақ жүйелерінде санның құрамындағы  цифрдың мәні оның сандағы орналасқан орнына байланысты емес. Мысалы, рим санақ жүйесінде XXV(жиырма бес) санында Х цифры қай орында тұрса да, оны білдіреді.

      Ал  позициялық санақ жүйесінде әр цифрдың  мәні орналасқан орнына байланысты. Мысалы, бес жүз елу бес санындағы бірінші тұрған бес цифры – жүздіктерді, екінші тұрған бес цифры – ондықтарды, үшінші тұрған бес цифра бірліктерді білдіреді.

      Кез келген позициялық санақ жүйесі өз негізімен сипатталады. Санақ жүйесі дегеніміз санды бейнелеуде қолданылатын цифрлар санын білдіреді.

      Сан түсiнiгi – математикалық сияқты ақпараттануда да басты негiз. Егер математикада сандрды өңдеу әдiстерiне көп көңiл бөлiнетiн болса, онда ақпараттану үшiн сандарды ұсынуды  пайдаланады. Себебi, тек солар ғана жадтың қажеттi қорын, жылдамдықты есептеуде жiберетiн қатенi анықтайды.

      Ерте  заманнан адамдар ондық санау  жүйесін қолданған себебі – саусақтарының  саны он болғандықтан санауға ыңғайлы  болды.

      Ал, компьютерлерде екілік санақ жүйесінің  қолданысы ыңғайлы. Оның бірнеше  артықшылықтары бар:

• Оны жүзеге асыру үшін екі тұрақты жағдайы бар техникалық құралдар қолданылады(тоқ бар, тоқ жоқ, магниттелген, магниттелмеген )
• Ақпараттың логикалық түрлендірілуін жүзеге асыру үшін буль алгебрасын қолдану мүмкіндігі;
• Екілік арифметиканың ондық арифметикаға қарағанда қарапайым болады
• Екілік жүйенің бір кемшілігі сандарды жазу кезінде разрядты санның өсуі.
• Компьютерлерде екілік санау жүйесімен қатар сегіздік және он алтылық санақ жүйелерінде қолданылады. Өйткені, екілік санақ жүйесінің сандарында разрядты санның көп болуы адамдардың оқуы үшін қиындық туғызады. Сегіздік, он алтылық санау жүйелерінде ондық санау жүйесіндегідей сияқты разрядты саны аз, (сегіз екінің үш дәрежесі болғандықтан үш есе аз,он алты  екінің төрт дәрежесі болғандықтан төрт есе аз ).

 

Бұл санақ жүйелерінде мынадай цифрлар мен символдар қолданылады.

• Екілік санақ жүйесінде 0 және 1 барлығы екеу
• Сегіздік санақ жүйесінде 0,1,2,3,4,5,6,7

Санау жүйесi деп белгiлi бiр мөлшердегi таңбалардың көмегiмен сандарды өрнектеу мен жазудың жиынтығы. Санау  жүйесi екi топқа бөлiнедi: позициялық және позициялық емес.

      Позициялық  емес санау жүйесiнде әрбiр цифрдық  мәнi оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесiнiң мысалы ретiнде  римдiк жүйенi алуға болады. Осы  жүйеде жазылған ХХХ санында Х  цифры кез келген позицияда 10-ды бiлдiредi. Позициялық емес санау жүйесiнде арифметикалық әрекеттердi орындау қиын болғандықтан, позициялық санау жүйесi қолданылады.

      Позициялық  санау жүйесiнде цифрдық мәнi оның орнына байланысты болды. Позициялық мән  санау жүйесiнiң негiзiнде дәрежесi арқылы анықталады. Позициялық санау жүйесiнiң негiзi деп қолданылатын цифрлар санын айтады. 

      Санау жүйесi төртке бөлiнедi:

1. Ондық санау жүйесi;
2. Екiлiк санау жүйесi;
3. Сегiздiк санау жүйесi;
4. Оналтылық санау жүйесi.

 
 

Санақ жүйелеріндегі алғашқы он санды көрсетейік:

екiлiк  санақ жүйесiнде: 0,1,10,11,100,101,111,1000,1001

үштік санақ жүйесiнде: 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100;

бестік  санақ жүйесiнде:0,1,2,3,4,10,11,12,13,14;

сегіздік  санақ жүйесінде:  0,1,2,3,4,5,6,7,10,11 т.с.с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ондық санау жүйесi

      Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшiн 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

      Мыс: 234=200+30+4

2 жүздiктер разрядынан, 3 ондықтар разрядынан, 4-бiрлiктер разрядынан тұрады.

      Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткенi ондық санды жазуда цифрдың мәнi оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрына бөлiнетiн позицияны разряд деп атайды.

      Егер 234 санын қосынды түрiнде былай жазамыз: 2*10²+3*10¹+4*10⁰ Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесiн негiздеушi. Санның әрбiр цифры үшiн 10 негiздеушi цифрлың орнына байланысты дәрежеленедi және осы цифрға көбейтiледi.

      Бiрлiктер үшiн – 0; ондықтар үшiн – 1, жүздiктер үшiн – 2-ге тең негiздеушi дәреже және т.с.с

      Егер сан ондық бөлшек болса, ол терiс дәрежеде жазылады. Мыс: 38,956=3*10¹+8*10⁰+9*10^-1+5*10^-2+6*10^-3

      Компьютерде ондық емес екiлiк санау жүйесi, яғни екi негiздеушiсi бар санау жүйесi қолданылады.

Екiлiк санау жүйесi

      Екiлiк жүйеде кез келген сан екi 0 және 1 цифрларының көмегiмен жазылады және екiлiк сан деп аталады. Екiлiк санның әрбiр разрядын (цифрын) бит деп атайды. Кез келген санау жүйесiнiң негiзiн осы санау жүйесiнде қолданылатын цифрлар санын анықтап ЭЕМ-де ақпаратты өрнектеу үшiн екiлiк жүйе қолданылады. Екiлiк жүйеде қосындыда негiздеушi ретiнде 2 санын қолданады. Мысалы, 1001,11 екiлiк сан үшiн қосынды мына түрде болады:

      1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2

Бұл қосынды ондық сан үшiн жазылған қосындының ережесi бойынша жазылады. 

     Екiлiк  жүйенiң маңыздығы, құндылығы – цифрды ұсыну ыңғайлылығы және компьютер аппаратурасының қарапайымдылығы. 

     Екiлiк  жүйенiң кемшiлiгi – мұнда санды жазу үшiн 0 мен 1 цифрлары көп қажет болады. Бұл адамның екiлiк санды қабылдауын қиындатады. Мысалы 156 ондық санының екiлiк жүйедегi түрi мынадай:10011100. Сондықтан екiлiк жүйе әдетте компьютердiң “iшкi қажеттiлiгi” үшiн қолданылады, ол адамның компьютермен жұмыс iстеуi үшiн үлкен негiздеуiшi санау жүйесi таңдалды. Бұл сегiздiк және он алтылық жүйелер. Осы екi жүйелердiң және екiлiк жүйенiң арасында санды бiр жүйеден басқаға ауыстыруды жеңiлдететiн қарапайым байланыс бар. 
 

Азайту 

0-0=0

1-0=1

0-1=1 көрші  (үлкен) разрядтан бірді қарызға  аламыз.

1-1=0

Мысалы:

   1010

------------

   101

_____

101    алдық. 

Көбейту

0*0=0

1*0=0

0*1=0

1*1=1

Мысалы :1012мен 1102  екілік Сандарының көбейтіндісін табыңдар.Сандарды көбейтуді кіші разрядтан бастап бағанда орындайық:

101                                        Тексеру:1012=1*22+0*21+1*20=5

* 110                                                        1102=1*22+1*21+0*20=6

000

101

+  101

11110

111102=1*24+1*23+1*22+1*11+0*20=16+8+4+2+0=3010

Сегiздiк  санау жүйесi

 

      Сегiздiк  санау жүйесi, яғни сегiздiк негiздеушi санау жүйесi, сегiз цифрдың көмегiмен  санды көрсетедi: 0,1,2,3,4,5,6,7.

      Мысалы, 356 санын негiздеушi 8 қосындысы түрiнде  жазайық:

      356=3*8²+5*8¹+6*8⁰

Оналтылық санау жүйесi 

      Оналтылық санау жүйесiнде санды жазу үшiн  ондық санау жүйесiнiң цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және жетпейтiн алты цифрды белгiлеу үшiн ондық сандарының мәнi 10,11,12,13,14,15 болатын сәйкес латын  алфавитiнiң алғашқы үлкен әрiптерi: A,B,C,D,E,F қолданылады. Сондықтан оналтылың сандарда, мысалы, 3Е5А түрi болуы мүмкiн. Осы санды негiздеушi 16 қосындысы түрiнде жазайық:

      3Е5А=3*16³+Е*16²+5*16¹+А*16⁰ 

Сандардың қандай сандық жүйеде тұрғанын бiлу үшiн, оның төменгi жағына индекс жазылады және индекске қандай жүйеде екенi көрсетiледi.

     Сандарды  бiр санау жүйесiнен  басқа санау жүйесiне ауыстыру

 

     Ондық санау жүйесіндегі N бүтін санын негізі болатын санақ жүйесіне ауыстыру үшін  N санын q-ға бөліп, келесі бөлінді мен қалдықты анықтап аламыз.

     Шыққан  бөліндіні тағы да q-ға бөліп, келесі бөлінді мен қалдықты табамыз.Осындай әрекеттер тізбегі бөлінді q-дан кіші сан болғанша орындала береді. Ең соңғы бөлінді мен қалдықтардың соңғысынан бастап біріншісіне дейінгі жазылған тізбегі  N санының жаңа санақ жүйесіндегі бейнеленуі болып табылады.

Ондық санау жүйесiндегi сандарды басқа санау  жүйелерiне ауыстыру

 

     Ондық санау жүйесiндегi санды екiлiк  санау жүйесiне ауыстыру үшiн санды 2-ге бөлу керек. Алынған бөлiндi екiден  кiшi болғанша бөлiнедi де, қалған қалдықты керi бағытта жазады. Мыс:

129:2=64 (1)

64:2=32   (0)

32:2=16   (0)

16:2=8    (0)

8:2=4      (0)

4:2=2      (0)

2:2=1      (0)

1:2=0      (1)

129₁₀=10000001₂ 

Ондық санау жүйесіндегі  санды сегіздік санау  жүйесіне ауыстыру. 

       Берілген F ондық бөлшегін негізі q болатын санақ жүйесіне ауыстыру үшін F-ты q-ға көбейтеміз, шыққан көбейтіндінің бөлшек бөлігін тағы да q-ға көбейтеміз. Осындай көбейтулерді бөлшек сан бүтінге айналғанға дейін немесе керекті дәлдікке жеткенге дейін орындай береміз. Ондық бөлшегінің жаңа санақ жүйесіндегі бейнеленуін табу үшін шыққан көбейтінділерінің бұтін бөліктерін үтірден кейін тізіп жазамыз. 

      Ондық санау жүйесiндегi санды сегiздiк  санау жүйесiне ауыстыру үшiн екiлiк  жүйесiне ауыстырған әдiстi қолданады. Бiрақ  бұл кезеде санды сегiзге бөледi. Мыс:

129:8=16 (1)

16:8=2    (0)

2:8=0      (2)

129₁₀=201₈ 

      Ондық санау жүйесiндегi санды оналтылық  санау жүйесiне ауыстыру үшiн тек  санды сегiздiң орнына он алтыға бөлу керек. Мыс:

129:16=8 (1)

8:16=0    (8)

129₁₀=81₁₆

Басқа санау жүйесiндегi сандарды ондық санау  жүйесiне ауыстыру

 

Екiлiк  санау жүйесiндегi санды ондық  санау жүйесiне аудару:

10000001₂=1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=128+1=129₁₀ 

Сегiздiк  санау жүйесiндегi санды ондық  санау жүйесiне аудару:

201₈=2*8²+0*8¹+1*8⁰=128+1=129₁₀ 

Оналтылық санау жүйесiндегi санды ондық  санау жүйесiне аудару:

81₁₆=8*16¹+1*16⁰=128+1=129₁₀ 

Екiлiк  санау жүйесiндегi санды сегiздiк  және он алтылық санау  жүйелерiне ауыстыру

       Екiлiк  жүйедегi санды сегiздiк жүйеге аудару үшiн екiлiк санды оңнан солға қарай цифрларды үштен жеке-жеке топқа бөледi. Содан кейiн цифрлардың әрбiр тобын кестеде көрсетiлген цифр түрiнде жазады.