Розробка математичної моделі

                                        Зміст

1. Анотація
2. Вступ
1. Важливість та актуальність теми
2. Головна мета курсової роботи
3. Історична довідка
3. Технічне завдання
4. Розробка математичної моделі
5. Розробка алгоритму
6. Роздруківка тексту програми
7. Розробка текстового прикладу
8. Висновок
9. Список використаної літератури

 

                     

                                 
 
 
 
 

       
 
 
 

         

       Анотація

В даній  курсовій роботі  розглянуто  метод  Трапеції. Це один із способів рішення  означених інтегралів. Для вказаного  методу складено блок – схеми та написано програму  на мові програмування Delphi , за якою розв’язується задане рівняння. Проведено аналіз як самого рівняння і методів його розв’язання так і результатів обрахунку.

                                             Аннотация

В данной курсовой работе рассмотрен метод трапеции. Этом друг из способов решения указанных  интегралов. Для указанного метода составлен блок - схема написано программу на языке программирования Delphi, по которой решается заданное уравнение. Проведен анализ как самого уравнения и методов его решения так и результатов расчета. 

                                             Annotation

In this course work is considered trapezoid method. This is one way the decision definite integrals. For the given compiled method block - scheme and says the application programming language Delphi, which is solved for a given equation. The analysis of both the equation and its solution methods and results calculation.

 

 

           

                                               Вступ

     Сьогодні  настав час, коли без науки не можна  зробити і кроку. Дуже швидкими темпами  з’являється нова техніка, освоюються нові знання, галузі.

     Вже  сьогодні людство впевнено освоює дари природи, надра Землі и головне  людина почала освоювати космос. А  для того щоб освоїти цей безмежній світ людина повинна використовувати усі свої знання для вирішення надскладних задач. Саме тому  ми потребуємо нових методів і нових підходів для вирішення цих задач. Ми знаємо що будь яка електроніка, техніка, кібернетика виконує сотню різноманітних задач.

     Такі  задачі доволі складні і часто буває так, що навіть володіючи останніми дослідженнями, найсвіжішими знаннями, цього не достатньо аби отримати точний розв’язок задачі. Іноді це просто неможливо. Саме тому часто доводиться використовувати  якісь інші методи, інші нетрадиційні прийоми завдяки яким можна отримати приблизний розв’язок задачі а іноді навіть точний розв’язок.

       Інтегрування функції людству вже доволі давно відомо. І математики освоїли різноманітні прийоми як точно проінтегрувати функцію і отримати точний розв’язок . Але це лише мізерна частка яку їм вдалося освоїти. Існують сотні інтегралів які дуже важко розв’язати звичними методами. Але вже доведено що деякі з них неможливо точно розв’язати. А розв’язати треба, без цього ніяк, і тому було освоєно багато різних прийомів і методів, завдяки яким можна отримати приблизний розв’язок. І далі постає нове завдання адже треба отримати якнайбільш точний розв’язок. І якраз таке і є моє завдання в даній курсовій роботі досягти найбільш точного розв’язку інтеграла нетрадиційним, наближеним методом. 

     Існує декілька методів приблизного інтегрування:

     1)Метод  прямокутників

     а)Лівих

     б)Правих

     в )Середніх

     2)Метод трапецій

     3)Метод хорд (Сімпсона)

     Зрозуміло що найбільш точним методом є метод хорд, далі за точністю іде метод трапецій і останній за точністю метод прямокутників

     Головною  метою даної курсової роботи являється  вивчення і реалізація в програмі, на мові програмування Delphi,  рішення  означених інтегралів методом трапецій.

     Для цього необхідно виконати наступні  задачі:

1. Вивчити необхідну літературу .
2. Вивчити метод трапецій для рішення означених інтегралів.
3. Розглянути рішення означеного інтеграла  методом трапецій на конкретних прикладах.
4. Розробити програму для рішення  означеного інтегралу методом трапецій.
5. Проаналізувати отримані результати.

 
 
 

                                       Технічне завдання

Розробити програму що знаходить значення означеного інтегралу за допомогою чисельного інтегрування методом трапецій. 
 
 
 
 
 
 
 
 

            

                     
 
 
 
 

           

          Розробка математичної моделі

     В залежності від конкретного виду та типу задачі використовуються різні  методи та специфічні підходи до вирішення  цієї задачі. Зокрема якщо мова йде  про вирішення означеного інтегралу, то існує ряд методів для рішення такої задачі. Як я вже згадував найбільшого поширення отримали метод прямокутників, метод трапецій, метод хорд (Сімпсона).

В даній курсовій роботі докладно розглядається  метод розв’язку означеного інтегралу методом трапецій.         

         y

                                 M1 F(x)

                  M0 M2

      M3

  

      S1 S2 S3

 a           a+h        a+h*i      b                               x

      мал.4.1

     Якщо  функцію на кожному з часткових  відрізків апроксимувати прямою, що проходить через кінцеві значення, то отримаємо метод трапецій (мал.4.1). Суть цього методу полягає в тому, що шукаються сума площ усіх трапецій на які була розбита підінтегральна функція.

     Загальна  формула трапеції (h - висота) (4.0)

 Площа трапеції на кожному відрізку:

       (4.1)

 Похибка  апроксимації на кожному відрізку:

             (4.2)

де 

        (4.3)

 Повна  формула трапецій в разі поділу  всього проміжку інтегрування  на відрізки однакової довжини  h:

       (4.4)

де 

                 (4.5)

 Похибка  формули трапецій:

    (4.6)

де

           (4.7)

Збільшення  точності

 Наближення  функції одним поліномом на  всьому відрізку інтегрування, як  правило, призводить до великої  помилку в оцінці значення  інтеграла.  Для зменшення похибки відрізок інтегрування розбивають на частини і застосовують чисельний метод для оцінки інтеграла на кожній з них.  При прагненні кількості розбиттів до нескінченності, оцінка інтеграла прагне до його справжнього значення для аналітичних функцій для будь-якого чисельного методу.

                            Розробка алгоритму

Вхідними  даними для  даного методу є :

1. Рівняння виду .
2. Межі інтегрування [a,b].
3. N – кількість розбиттів.

Вихідними даними для даного  методу є:

 Математична  модель алгоритму :

Знайдемо  значення інтегралу методом трапецій

1. Знаходимо крок інтегрування за формулою (4.5).
2. Формулу (4.4) розбиваємо на:

a) s=     або

Далі  по формулі (4.4) іде сума, яка в  алгоритмі стане циклом яку запишемо у вігляді:

b) f(a+h*i);

Далі  видно що все що в дужкак додается тому запишемо таку формулу:

c) Т=f(a+h*i);

і в  кінці множиться на крок h (висота трапеції):

d)It=s*h

3. Знаходимо площі трапецій за формулою (4.1) и додаемо їх в формулі (4.4)

а) Знаходиться  довжина верхньої основи f(x0) або f(a).

б)Знаходиться довжина нижньої основи  f(a+h*i) в даному випалку і=1.

в)Крок є висотою трапеції тому можна знайти її площу.

г)Далі знаходиться наступна основа (причому  нижня вже стала верхньою), а і=2.

д)Знаходиться нова площа и додається до попередньої.

ж)Аналогічно знаходяться нові площі і додаються  доки i=n-1,де  n-1=b.

 
 
 
 
 
 
 

unit Unit1; 

interface 

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls, Menus; 

type

  TForm1 = class(TForm)

    Edit1: TEdit;

    Edit2: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    Edit4: TEdit;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Label3: TLabel;

    Label4: TLabel;

    Button2: TButton;

    Button3: TButton;

    Label5: TLabel;

    MainMenu1: TMainMenu;

    ww1: TMenuItem;

    sinx1: TMenuItem;

    cosx1: TMenuItem;

    tgx1: TMenuItem;

    ctgx1: TMenuItem;

    N1: TMenuItem;

    N2: TMenuItem;

    procedure Button2Click(Sender: TObject);

    procedure Button3Click(Sender: TObject);

    procedure sinx1Click(Sender: TObject);

    procedure cosx1Click(Sender: TObject);

    procedure tgx1Click(Sender: TObject);

    procedure ctgx1Click(Sender: TObject);

    procedure N2Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end; 

var

  Form1: TForm1; 

implementation 

{$R *.dfm} 

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

close;

end; 

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

begin

edit1.Clear;edit2.Clear;edit3.Clear;edit4.Clear;

end; 

procedure TForm1.sinx1Click(Sender: TObject);