Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Курсовая  работа представляет собой самостоятельную  работу, которая выполняется для  развития навыков инженерной деятельности. Курсовая работа базируется, в основном, на знаниях, полученных при изучении следующих курсов: «Математический анализ», «Методы оптимизации», «Исследование операций», «Алгоритмические языки и программирование» и т.д. Поскольку курсовая работа является разработкой, в известном смысле, законченной задачи, она должна научить студентов гораздо большему, чем закрепление знаний по одному разделу дисциплины, должна научить самостоятельному решению комплексных задач. При этом студент должен научиться мобилизовывать и увязывать знания, полученные в различных учебных курсах, научиться искать, а самое главное, находить нужные источники информации и извлекать из них только то, что требуется. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Линейная модель

      Стандартом  предусмотрено, что октановое число  автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь четырёх компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице 1:

Таблица 1

Данные  о компонентах бензина

 

      Требуется определить, сколько тонн каждого  компонента следует использовать для  получения 1000 тонн автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Построение математической  модели

     Процесс построения математической модели можно начать с ответов на следующие три вопроса:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель?
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
3. В чём состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

     Конструктивный  путь формулировки ответов на поставленные вопросы в том, чтобы словесно выразить суть проблемы.

3.1. Словесная формулировка  проблемы

     Заводу  требуется определить, в каком объёме нужно использовать компоненты (в тоннах), для получения 1000 тонн бензина, минимизирующие себестоимость (в ден.ед.) от производства бензина, с учётом октанового числа, содержания серы и ресурсов четырёх компонентов (ограничения).

3.2. Математическая формулировка

3.2.1. Переменные

     Так как нужно определить объёмы использования каждого компонента, для производства бензина, то переменными в модели являются:

      - объём использования компонента  №1 (в тоннах),

      - объём использования компонента №2 (в тоннах),

      - объём использования компонента №3 (в тоннах),

      - объём использования компонента №4 (в тоннах).

3.2.2. Целевая функция

     Так как себестоимость одной тонны  компонента №1 равна 40 ден.ед., то для  производства 1000 тонн бензина её себестоимость  составит ден.ед. Аналогично себестоимость компонента №2 составит , компонента №3 и компонента №4 . При допущении независимости объёмов использования каждого из компонентов, общая себестоимость равна сумме четырёх слагаемых – себестоимость использования компонента №1, себестоимость использования компонента №2, себестоимость использования компонента №3 и себестоимость использования компонента №4.

     Обозначив общую себестоимость (в ден.ед.) через Z, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить допустимые значения , , и , минимизирующие величину общей себестоимости   

3.2.3. Ограничения

     При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на октановое число, содержание серы и ресурсы компонентов. Ограничение на октановое число можно записать следующим образом:

      *1000 (т.к. нужно изготовить 1000 тонн  бензина)

     Это приводит к следующему ограничению:

     

     Ограничение на содержание серы имеет вид:

*1000

     Это приводит к следующему ограничению:

      

     Ограничения на ресурсы имеют следующие ограничения:

     Это приводит к следующему ограничению:

     

     Это приводит к следующим четырём  ограничениям:

     

     Неявное ограничение заключается в том, что объёмы производства продукции  не могут принимать отрицательных значений. Чтобы предотвратить получение таких недопустимых решений, потребуем выполнение условий неотрицательности переменных, т.е. введём ограничения:

     

     Итак, математическую модель можно записать следующим образом.

     Определить объёмы использования компонентов №1, №2, №3 и №4 (в тоннах), т.е. переменные , , и , при которых (целевая функция) и которые удовлетворяют условиям:

     

3.3. Выбор и обоснование  метода решений  поставленной задачи

      Так как все входящие в модель функции (ограничение и целевая функция) я являются линейными, то данная задача относится к классу задач линейного  программирования (ЛП), поэтому для её решения необходимо применить один из методов решения задач ЛП. Универсальный метод решения таких задач – симплекс-метод.

3.4. Решение задачи

     Если  рассматриваемая задача решается с  помощью симплекс-метода, то необходимо ограничения записать в виде равенств, вводя в каждое ограничение соответствующую остаточную переменную.

     Введение  дополнительных (остаточных) переменных позволяет разрешить систему  относительно базисных переменных. Так  как базисные переменные принимают  положительные значения, что определено введёнными выше ограничениями, то исходное опорное решение найдено. В противном случае необходимо зафиксировать неразрешимость задачи. 

     

     

      Процесс нахождения оптимального решения приведён в табл. 2 (см. ниже).

      Выполнив  шесть итераций для получения  оптимального решения, получили результирующую симплекс таблицу, из которой следует, что оптимальное решение имеет  вид:

       =574,044 тонны,  =137,967 тонны, =287,988 тонны, при этом Z=57158,769 ден.ед, т.е. для получения 1000 тон автомобильного бензина, соблюдая минимально возможной себестоимости, завод, при заданных ограничениях, должен использовать 574,044 тонны компонента №1, 137,967 тонны компонента №3 и 287,988 тонны компонента №4. При соблюдении данных рекомендаций завод будет иметь себестоимость, изготовляя 1000 тонн бензина, в размере 57158,769 ден.ед.

 

Таблица 2

 

 

 

 

4. Решение задачи  с применением  надстройки MS Excel

     Экранная  форма с введёнными значениями для данной задачи представлена на рис. 1. 

Рис. 1. Экранная форма с введёнными значениями 

     Для решения поставленной задачи необходимо ввести зависимость из математической модели в окно надстройки «Поиск решения». Результат этой работы представлен на рис. 2. 

Рис. 2. Окно надстройки «Поиск решения» 

    На  следующем этапе необходимо задать параметры поиска решений, соответствующие  данной математической модели (рис. 3). 

Рис. 3. Параметры  поиска решений 

     Решение задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» показало, что задача решена, все условия и ограничения оптимальности выполнены. Результат работы «Поиска решения» представлены на рис. 4. 

Рис. 4. Результаты работы «Поиска решения» 

     Данные  результаты совпадают с результатом решения задачи первым способом. Таким образом, в результате сравнения решений можно сделать вывод, что математическая модель составлена верно, и полученные результаты обеспечивают оптимальное значение целевой функции.

     Если  надстройка «Поиск решения» нашла решение, MS Excel предоставляет возможность на основе полученного решения создать отчёт следующих типов: отчёт по результатам, отчёт по устойчивости и отчёт по пределам.

     Для создания отчётов в диалоговом окне «Результаты поиска решения» в списке Тип отчёта нужно выбрать один или несколько типов отчётов и щелкнуть по кнопке OK. Соответствующие отчёты будут созданы на новых листах в текущей рабочей книге, каждый тип отчёта на отдельном рабочем листе.

4.1. Отчёты о решении задачи

1. В отчёте по результатам выводятся исходные и полученные в результате поиска решения значения изменяемых ячеек и целевой функции, а также сведения об ограничениях задачи. Отчёт по результатам состоит из трёх таблиц (рис. 5):

1. таблица 1 содержит информацию о целевой функции;
2. таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в результате решения задачи;
3. таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

 

Рис. 5. Отчёт  по результатам

2. Отчёт по устойчивости даёт основную информацию для анализа чувствительности линейных. Этот анализ показывает, насколько чувствительно найденное оптимальное решение к небольшим изменениям параметров модели. Этот тип отчёта будет недоступен, если в модели используются ограничения целочисленности. Отчёт по устойчивости состоит из двух таблиц (рис. 6):

1. таблица 1 содержит информацию, относящуюся к переменным;
2. таблица 2 содержит информацию, относящуюся к ограничениям.