Решение задач линейной алгебры в системе MAPLE

Привести матрицу А к Жордановой форме, треугольному виду, найти ее характеристическую матрицу.

> A:=matrix([[1,-3,4],[4,-7,8],[6,-7,7]]):

> j:=jordan(A);

> g:=gausselim(A);

> F(A):=charmat(A,lambda);

 

2.4 Системы линейных уравнений и матричные уравнения.

 

Система линейных уравнений   может быть решена двумя способами.

Способ 1: стандартная команда solve находит решение системы линейных уравнений, записанных в развернутом виде:

.

Способ 2: команда linsolve(A,b) из пакета linalg находит решение уравнения  . Аргументы этой команды: А – матрица, b – вектор.

С помощью команды linsolve(A,b) можно найти решение матричного уравнения АХ=В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В. 

 

Ядро матрицы.

Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору:  . Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).

 

Задание .

1. Найти общее и одно частное решение системы: 

> eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2,

2*x-3*y-11*z-15*t=1}:

> s:=solve(eq,{x,y,z});

s:={ , y=y,  }

Для нахождения частного решения  следует выполнить подстановку  конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:

> subs({y=1,t=1},s);

{ ,  , 1=1}

2. Решить матричное уравнение: АX=В; где  , 

> A:=matrix([[1,2],[3,4]]):

> B:=matrix([[3,5],[5,9]]):

> X:=linsolve(A,B);

3. Дана матрица  .

Найти ее ранг, дефект: d(A)=n–r(A), где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А. Наберите:

> A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):

> r(A):=rank(A);

r(A):=2

> d(A):=rowdim(A)-r(A);

d(A):=1

> k(A):=kernel(A);

k(A):={[- 1,1,2]}

 

2.5 Решение обыкновенных уравнений.

Для решения уравнений  в Maple существует универсальная команда solve(eq,x), где eq – уравнение, x – переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появится выражение, которое является решением данного уравнения. Например:

> solve(a*x+b=c,x);

Если уравнение имеет  несколько решений, которые вам  понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Обращение к какому-либо k–ому решению данного уравнения производится указанием его имени с номером решения k в квадратных скобках: name[k]. Например:

> x:=solve(x^2-a=0,x);

> x[1];

> x[2];

> x[1]+x[2];

0 

 

Решение систем уравнений.

Системы уравнений решаются с помощью такой же команды solve({eq1,eq2,…},{x1,x2,…}), только теперь в параметрах команды следует указывать в первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить систему. Если вам будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции. Например:

> s:=solve({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});

s:={  }

> assign(s); simplify(x-y);

 

2.6 Решение неравенств

Решение простых  неравенств.

Команда solve применяется также для решения неравенств. Решение неравенства выдается в виде интервала изменения искомой переменной. В том случае, если решение неравенства полуось, то в поле вывода появляется конструкция вида RealRange(–¥ , Open(a)), которая означает, что xΠ(–¥ , a), а – некоторое число. Слово Open означает, что интервал с открытой границей. Если этого слова нет, то соответствующая граница интервала включена во множество решений. Например:

> s:=solve(sqrt(x+3)<sqrt(x-1)+sqrt(x-2),x):

> convert(s,radical);

RealRange

Если вы хотите получить решение неравенства не в виде интервального множества типа xΠ(a, b), а в виде ограничений для искомой переменной типа a<x, x< b, то переменную, относительно которой следует разрешить неравенство, следует указывать в фигурных скобках. Например:

> solve(1-1/2*ln(x)>2,{x});

Решение систем неравенств.

С помощью команды solve можно также решить систему неравенств. Например:

> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});

Задание.

1. Решите неравенство  .

Наберите:

> solve(13*x^3-25*x^2-x^4-129*x+270>0,x);

RealRange(Open(-3), Open(2)), RealRange(Open(5), Open(9))

Запишите этот результат  в аналитическом виде. Получите решение  этого неравенства в виде ограничений  для искомой переменной. Проделайте это самостоятельно.

2. Решите неравенство  .

Наберите:

> solve(exp(2*x+3)<1,x);

RealRange

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Многофункциональный пакет  Maple представляет собой один из наиболее мощных математических пакетов. Его возможности охватывают достаточно много разделов математики и могут с пользой применяться на разных уровнях, начиная от обучения старшеклассников до уровня серьезных научных исследований. Maple - система аналитических вычислений для математического моделирования.

Методика решения некоторых  задач линейной алгебры с помощью пакета Maple позволила значительно повысить эффективность процесса обучения. Путем наглядного представления материала сложные математические формулы и преобразования становятся гораздо проще, и процесс усвоения материала проходит намного эффективнее.

Возможности Maple не ограничиваются решением задач математики. Используя навыки, полученные при изучении курса математики можно самостоятельно изучать такие дисциплины как: геометрия, тригонометрия, статистика, а также таких прикладных дисциплин как физика и астрономия.

Возможности пакета Maple, как средства обучения, весьма обширны и его использование является перспективным направлением в современном обучении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В.. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. М: НТ Пресс, 2006, 496с.
2. Васильева А.Н. "Maple 8. Самоучитель".М.: Диалектика, Вильямс, 2009,352 c.
3. Говорухин В.Н. Цибулин В.А. Введение в Maple. Математический пакет для всех. - М.: Мир, 2007. - 208 с.
4. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V. – М.: Издательство«Солон», 2008.
5. Манзон Б.М.Maple V Power Edition – М.:Информационно-издательский дом «Филинъ»,2008 г.
6. Матросов А.В.Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. –СПб.:БХВ – Петербург,2011. – 528 с.
7. Сливина Н. Универсальные математические пакеты в математическом образовании инженеров // КомпьютерПресс. — 2007. — N8. — С.78-85
8. Цибулин В.Г. Введение в Maple.– М.: Мир, 2010. – 208 с.
9. Методы решения математических задач в Maple 
   С. Е. Савотченко, Т.Г. Кузьмичева.
10. Электронный курс по MAPLE V. http://detc.ls.urfu.ru/assets/amath0011/mp5.htm