Министерство  образования Республики Беларусь 

Учреждение  образования

«Гомельский государственный  университет

имени Франциска Скорины» 

Факультет математический

Кафедра вычислительной математики и программирования 
 
 
 
 
 

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса 
 

Курсовая  работа 
 

Исполнитель

студентка группы:          М-22 Кудыма Ева Леонидовна                        

                                                                                                                         

Научный руководитель: Демова Тамара Максимовна

                                                     

                                                                                              
 
 

                              
 
 
 
 
 
 
 
 

Гомель 2009

 

Р Е Ф Е Р А  Т

Курсовая  работа : 32 страницы, 7 источников.

Ключевые  слова: матрица, действия над матрицами (сумма и разность, умножение), абсолютная величина и норма матрицы, системы линейных алгебраических уравнений , метод Гаусса.

Объект  исследования: системы линейных алгебраических уравнений

Предмет исследования: решение СЛАУ, метод Гаусса.

Цель  курсовой работы:  освоить метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, и научится составлять алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений

Выводы: освоены основные понятия математической алгебры (матрица, действия над матрицами, абсолютная величина и норма матрицы). Изучен метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Содержание:

Введение……………………………………………………………………….. 4

1.Теоретическая часть………………………………………………………. 5

1.1. Основные определения…………………………………………………. 5

1.2. Действия над матрицами………………………………………………. 6

1.2.1. Сумма и разность  матриц……………………………………………. 6

1.2.2. Умножение матриц…………………………………………………….. 6

1.3. Абсолютная величина и норма матрицы………………………………8

1.4. Метод Гаусса…………………………………………………………….... 9

1.4.1. Схема единственного  деления………………………………………... 9

1.4.2. Схема частичного выбора……………………………………………. 11

1.4.3. Схема полного  выбора…………………………………………………11

1.5. Метод Гаусса-Зейделя……………………………………………………12

1.5.1. Приведение системы  к виду, удобному  для итераций……………. 12

1.5.2. Описание метода………………………………………………………. 13

1.6. Сравнение прямых  и итерационных  методов………………………. 14

2. Практическая часть………………………………………………………. 15

2.1. Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса

2.1.1 Постановка задачи…………………………………………………….. 15

2.1.2. Текстовый пример……………………………………………………. 15

2.1.3. Описание алгоритма…………………………………………………. 15

2.1.4.Листинг  программы и результаты  работы………………………... 16

Заключение…………………………………………………………………... 32

Список  используемой литературы………………………………………... 33

Введение

     Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

     Одна  из трудностей практического решения  систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.

     К счастью, приложения очень часто  приводят к матрицам, в которых  число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.

     Известны  примеры решенных в последние  годы задач, где число неизвестных  достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие  матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт).

 
 
 

     1.Теоретическая часть

     1.1. Основные определения 

     Система m на n чисел (действительных или комплексных), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов,

         (1.1)

 

называется  матрицей. Строки и столбцы таблицы (1.1) называются рядами матрицы. 

     Числа a_ij (i = 1, 2, ...., m; j = 1, 2, ..., n), составляющие данную матрицу, называются ее элементами. Здесь первый индекс i обозначает номер строки элемента, а второй j — номер его столбца.

     Для матрицы (1.1) часто употребляется  сокращенная запись 

А = [ a_ij ]        a_ij (i = 1, 2, .... m; j = 1, 2,.., n) или  А = [ a_ij ]_m,n , 

причем  говорят, что матрица А имеет тип m n.

     Если  m =n , то матрица называется квадратной порядка n. Если же m ≠ n, то матрица называется прямоугольной. В частности, матрица типа 1 n называется вектором-строкой, а матрица типа m 1 - вектором-столбцом. Число (скаляр) можно рассматривать как матрицу типа  1 1.  Квадратная матрица вида

     A =         (1.2) 

называется  диагональной и обозначается кратко так: [ ]. Если в (1.2) все α_i = 1, то такая матрица называется единичной и обозначается буквой Е . 
 
 
 
 
 
 
 

     1.2. Действия с матрицами

1.2.1. Сумма и разность  матриц 

     Суммой (разностью) двух матриц А = [а_ij ] и B =[b_ij ] одинакового типа называется матрица С = [с_{i j}] того же типа, элементы которой с_{i j} = а_ij + b_ij или с_{i j} = а_ij - b_ij соответственно.

Из определения  суммы матриц непосредственно вытекают следующие ее свойства:

1) А  + (В + С) = (А + В) + С;

2) А  + В = В + А ;

3) А  + 0 = А . 

1.2.2. Умножение матриц 

     а)Умножение матрицы на число:

Произведением матрицы А = [а_ij ] на число α (или произведением числа α  на матрицу А называется матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы А на число α.

Заметим, что если матрица А - квадратная порядка n, то det α A = α ⁿ det A.

     б)Умножение матриц:

Пусть А = [а_ij ] и B =[b_ij ] матрицы типов соответственно m n  и  р q. Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т. е. m = n, то для этих матриц определена матрица С типа p q называемая их произведением, при этом c_ij = а_i1 b_1j + а_i2 b_2j + … + a_in b_nj ,  (I = 1, 2,…,m;  j = 1, 2,. . ., q).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй и полученные произведения сложить.

     Произведение  АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица А содержит в строках столько элементов, сколько элементов имеется в столбцах матрицы В. В частности, можно перемножать квадратные матрицы лишь одинакового порядка.

     Произведение  двух матриц не обладает переместительным свойством, т. е., вообще говоря, АВ ≠ ВА, в чем можно убедиться на примерах.

      Более того, может даже случиться, что произведение двух матриц, взятых в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном  порядке, смысла иметь не будет.

     В тех частных случаях, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются перестановочными (коммутативными). Так, например, как нетрудно убедиться, единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем АЕ = ЕА = А. Таким образом, единичная матрица Е играет роль единицы при умножении. Если А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка, то det (АВ) = det (ВА) = det A • det В.

Эта формула  вытекает из правила перемножения определителей.

     в) Обратная матрица

     Определение: Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

Для матрицы  А обозначим обратную ей матрицу через А^-1. Тогда по определению имеем: АА^-1 = А^-1 А = Е, где Е— единичная матрица. Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

     Определение: Квадратная матрица называется неособенной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной, или сингулярной.

     Теорема: Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1.3. Абсолютная величина  и норма матрицы 

     Неравенство А ≤ В между матрицами А = [а_ij ] и B =[b_ij ] одинаковых  типов обозначает, что а_ij  ≤  b_ij . В этом смысле не всякие  две матрицы сравнимы между собой.

     Под абсолютной величиной (модулем) матрицы А= [а_ij] будем понимать матрицу | А| = [| а_ij| ], где | а_ij| — модули элементов матрицы А.

     Если  А и В— матрицы, для которых операции А + В и АВ имеют смысл, то:

а) | А + В | ≤ | А | + | В |;

б) | А В | ≤ | А | | В |;