Реализация в электронных таблицах информационных технологий в управление и экономике

2. Построение  балансовой модели

1. Математическая  постановка задачи

     Для решения поставленной задачи можно  использовать балансовую модель Леонтьева. Она представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этой продукции. В рассматриваемой задаче экономическая система состоит из трех отраслей.

     Пусть Х_i – величина, равная суммарному выпуску продукции отрасли i;

               х_ij – количество продукции отрасли i, необходимой для того, чтобы отрасль j произвела Х_j единиц своей продукции;

               Y_i – количество продукции отрасли i, остающееся после удовлетворения внутреннего спроса отраслей (конечная продукция).

     Тогда взаимосвязь отраслей в процессе производства и потребления отдельного продукта Х_i (i = 1,2,3) может быть описана в виде следующих уравнений:

     Х₁ = х_1.1 + х_1.2 + х_1.3 +Y₁;

     Х₂ = х_2.1 + х_2.2 + х_2.3 +Y₂;                                                     (11)

     Х₃= х_3.1 + х_3.2 + х_3.3 +Y₃.

     Используем  понятие коэффициентов прямых затрат (технологического коэффициента) a_ij:

  – количество продукции отрасли i, необходимой для того, чтобы отрасль j произвела одну единицу своей продукции.

     Тогда х_ij = a_ijX_j и система уравнений (11) будет иметь следующий вид:

     X₁ = a_1.1X₁ + a_1.2X₂ + a_1.3X₃ + Y₁;

     X₂ = a_2.1X₁ + a_2.2X₂ + a_2.3X₃ + Y₂;                                               (12)

     X₃ = a_3.1X₁ + a_3.2X₂ + a_3.3X₃ + Y₃.

     Или в матричной форме

     X = A × X + Y,                                                                                (13)

     где - матрица прямых затрат,

     X – вектор-столбец выпуска продукции в предыдущем периоде;

     Y – вектор-столбец конечного спроса в предыдущем периоде.

2. Аналитическое решение задачи

     Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

     По  условию задачи валовой выпуск отрасли i: Х₁ = 670, Х₂ = 1 800, Х₃ = 640 и значения х_ij (I,j = 1, 2, 3):

     х_1.1 = 0         х_1.2 = 160    х_1.3 = 180

     х_2.1 = 320     х_2.2 = 400    х_2.3 = 200

     х_3.1 = 180     х_3.2 = 80      х_3.3 = 80.

     Отсюда, используя табл.8, можно определить значение Y_i, i = 1, 2, 3 конечной продукции каждой из отраслей  за предыдущий период.

     Y₁ = 670 - 0 – 160 – 180 =330;

     Y₂ = 1 800 – 320 – 400 – 200 = 880;

     Y₃ = 640 – 180 – 80 – 80 = 300.

     Таким образом, вектор конечной продукции  за предыдущий период найден: Y= (330, 880, 300).

     Для определения вектора выпуска  продукции X при заданном конечном прогнозируемом векторе спроса Y = (2 700, 5 000, 1 500) надо решить систему уравнений (13), из которой следует, что

     ,                                                                              (14)

     где Е – единичная матрица;

           S = (E – A)^-1 – называется матрицей полных затрат.

     Определение коэффициентов прямых затрат

     Учитывая, что технология производства не изменилась, определим коэффициенты прямых затрат a_ij: 
 
 

     Таким образом, матрица коэффициентов  прямых затрат будет иметь вид

     .

     Проверка  продуктивности матрицы

     Все элементы матрицы А неотрицательные, A≥0.

     Для того чтобы система уравнений (13) имела единственное неотрицательное  решение при любом неотрицательном  векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной.

     Экономический смысл продуктивности состоит в  том, что существует такой план выпуска  продукции, при котором каждая отрасль  сможет произвести некоторое количество конечной продукции.

     С математической точки зрения достаточно, чтобы сумма элементов каждого  из столбцов матрицы А была положительна и строго меньше единицы.

     Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны

     0 + 0,48 + 0,27 = 0,75;

     0,09 + 0,22 + 0,04 = 0,35;

     0,28 + 0,31 + 0,13 = 0,72.

     Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение (14) имеет смысл и вектор Y неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Х можно воспользоваться формулой (14).

3. Решение задачи в ЭТ

     Компьютерная  реализация балансовой модели в ЭТ показана в табл. 9 (режим показа формул в Excel) и табл. 10 (режим вычислений).

     В строке 11 размещены формулы для  проверки продуктивности матрицы технологических  коэффициентов. В ячейке А11 формула

     =ИЛИ(В10>=1;C10>=1;D10>=1).

     Проверяем содержимое ячеек B10:D10. Если хотя бы в одной из этих ячеек значение больше единицы (то есть, сумма значения элементов хотя бы в одном столбце превышает единицу), то ячейку А11 будет записано значение «ИСТИНА». В противном случае – «ЛОЖЬ».

     В ячейку С11 введена формула

     =ЕСЛИ(А11=«ИСТИНА»;«Нет решения»;«Матрица продуктивна»).

     Эта формула проверяет содержимое ячейки А11 и если сумма элементов хотя бы одного столбца превысила единицу, выводит сообщение «Нет решения», в противном случае – «Матрица продуктивна». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Таблица 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 10