Причины (источники) решения задач с погрешностью

 

 

 

Тогда

 

,                           (1.23)

 

что привело к соответствующему расширению доверительного интервала  – рис. 1.2.

В результате число а после округления приобретает вид

 

                                (1.24)

 

На последнем этапе необходимо округлить погрешность до того же количества знаков после запятой, что и у приближенного числа . Это условие для рассматриваемого примера означает  сохранение всего одной значащей цифры у результирующей округленной величины абсолютной погрешности и очередному изменению доверительного интервала – рис. 1.3.

 

Рис. 1.3

 

Окончательно

 

                                      (1.25)

 

Отметим, что после завершения операции округления доверительный интервал и абсолютная погрешность числа а изменились на величину

 

.                           (1.26)

 

В рассматриваемом примере .

Обобщая вышеизложенное, сформулируем задачу округления следующим образом: приближенные числа следует округлять так, чтобы изменение доверительного интервала (а равным образом и абсолютной погрешности) не превышало заданной величины .

Очевидно, что доверительный интервал растет при увеличении числа отбрасываемых  при округлении разрядов. Тогда для  решения сформулированной выше задачи округления необходимо ответить на вопрос: какое количество значащих цифр h следует сохранять у абсолютной погрешности , чтобы ?

Обозначим:

q – номер старшего разряда значащих цифр исходной абсолютной погрешности ;

s – номер младшего разряда значащих цифр .

Тогда абсолютную погрешность  можно представить в виде

 

.                    (1.27)

 

Номер младшего разряда g (g > s) погрешности равен

 

g = q – h +1.                                                  (1.28)

 

Рассмотренная выше процедура округления приближенных чисел приводит к тому, что у результирующей погрешности  цифра в младшем разряде (по сравнению с исходной в ) может либо остаться неизменной, либо увеличиться на единицу. Для последнего случая можно представить в виде

 

            (1.29)

 

Тогда

 

   (1.30)

 

или

.                             (1.31)

 

 

Отсюда ( с учетом (1.26) и (1.27))

 

.                         (1.32)

 

Принимаем

 

.                       (1.33)

 

Очевидно, что  .

Анализ формулы (1.33) показывает, что максимальное изменение доверительного интервала в процессе округления имеет место при :

 

,                                             (1.34)

откуда

.                                                (1.35)

 

Выражение (1.35) позволяет (с некоторым запасом) определить, какое количество h значащих цифр следует сохранять у абсолютной погрешности , чтобы величина не превысила заданного значения .

Так, при  необходимо сохранять две значащие цифры (h = 2), а при - три (h = 3). Справедливость данного вывода иллюстрируют результаты округления приближенных чисел

 и с различным количеством сохраняемых значащих цифр абсолютной погрешности, представленные в таблице 1.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                             Таблица 1.4   

h		, %
1	10,2±0,2	80
2	10,25±0,11	1
3	10,249±0,111	0,1
4	10,2486±0,1111	0,01
1	10,2±0,6	8
2	10,25±0,56	0,8
3	10,249±0,556	0,08
4	10,2486±0,5556	0,008
1	10±1
2	10,2±1,0
3	10,25±1,00

 

Отметим, что в большинстве практических расчетов, связанных с обработкой результатов измерений физических величин, достаточно сохранять две значащие цифры у абсолютной погрешности [Савчук В.П.].

 

1.5.1. Погрешность суммы и разности.

 

Пусть требуется просуммировать n приближенных чисел

 

,                             (1.36)

 

при этом абсолютные погрешности слагаемых  имеют не более двух значащих цифр. Условимся сохранять две значащие цифры и у результирующей абсолютной погрешности суммы .

Абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы абсолютных погрешностей слагаемых

.                                              (1.37)

 

Обозначим

   - номер старшего разряда значащих цифр погрешности ;

   - максимальный номер старшего разряда абсолютных погрешностей слагаемых.

Из выражения (1.37) следует порядок действий при сложении (вычитании) приближенных чисел:

1. Производят суммирование приближенных чисел и их абсолютных погрешностей

 

.                                             (1.38)

 

Если для какого-либо слагаемого выполняется , то погрешностью можно пренебречь.

2) Полученный результат округляют (пользуясь рассмотренной выше процедурой), сохраняя две значащие цифры у итоговой абсолютной погрешности.

Пример: ; ; . Найти , сохраняя две значащие цифры у результирующей абсолютной погрешности.

Складываем приближенные числа

 

.                       (1.39)

 

Определяем номера старших разрядов значащих цифр абсолютных погрешностей , , . Отсюда , , . Следовательно, при суммировании абсолютных погрешностей величиной можно пренебречь:

 

.                                     (1.40)

 

Записываем промежуточный результат  суммирования

 

a = 39,27937 ± 0,814.                                          (1.41)

 

Округляем приближенное число до двух знаков после запятой (учитывая, что  результирующая абсолютная погрешность  будет иметь две значащие цифры)

 

.         (1.42)

 

На завершающем этапе округляем погрешность до двух значащих цифр

 

a = 39,28 ± 0,81.                                             (1.43)

 

 

 

1.5.2. Погрешность произведения.

 

Пусть требуется перемножить  n приближенных чисел

 

,                           (1.44)

 

при этом абсолютные погрешности  сомножителей имеют не более двух значащих цифр. Условимся сохранять две значащие цифры и у результирующей абсолютной погрешности произведения .

Относительная погрешность произведения (деления) не превышает суммы относительных погрешностей сомножителей

 

.                                              (1.45)

 

Обозначим

   - номер старшего разряда значащих цифр погрешности ;

   - максимальный номер старшего разряда относительных погрешностей сомножителей.

Порядок действий при перемножении (делении) приближенных чисел можно определить на основе выражения (1.45) с учетом того, что абсолютная и относительная погрешности прямопропорциональны.

1) Определяют относительные погрешности  сомножителей, округляя их до  того же количества значащих  цифр, что и у абсолютных погрешностей.

1. Производят суммирование относительных погрешностей

 

.                                                (1.46)

 

Если для какого-либо слагаемого выполняется , то погрешностью можно пренебречь.

2. Находят абсолютную погрешность произведения

 

,                                            (1.47)

 

округляя результат до двух значащих цифр.

4) Определяют произведение приближенных чисел , округляя результат так, чтобы номер младшего сохраняемого разряда произведения был равен номеру младшего разряда абсолютной погрешности произведения.

 

 

1.5.3. Погрешность частного.

 

Пусть требуется осуществить операцию деления приближенных чисел

 

,                               (1.48)

 

при этом абсолютные погрешности сомножителей имеют не более двух значащих цифр. Условимся сохранять две значащие цифры и у результирующей абсолютной погрешности суммы .

Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных  погрешностей сомножителей

 

.                                       (1.49)

 

Отсюда следует, что порядок действий при делении приближенных чисел такой же, как и при перемножении (см. предыдущий раздел).