Причины (источники) решения задач с погрешностью

1. Причины (источники) решения задач с погрешностью.

Классификация погрешностей.

 

Поскольку все явления, происходящие в природе, взаимосвязаны, то в принципе невозможно математически точно  описать никакой процесс, происходящий в действительности. Любое математическое описание является приближенным, и задача исследователя – приблизить это описание к реальному процессу с разумной степенью точности. С этой целью обычно на начальном этапе составления математической модели производится анализ влияния различных факторов на ход исследуемого процесса и отбрасывание несущественных. Так, например, при математическом описании колебаний маятника принимают трение в опоре постоянным, хотя реальное трение зависит от скорости маятника.

Таким образом, приближенность математического описания процессов приводит к погрешности, которая называется погрешностью математической модели.

Следующий источник погрешности –  задание неточных исходных (числовых) данных. Например, при расчете электрических  цепей исходными данными служат параметры источников и приемников электрической энергии (э.д.с., сопротивление, индуктивность, емкость и т.д.), получаемые путем измерений с помощью различных приборов. Измерения всегда  производят с той или иной погрешностью, что в конечном итоге и приводит к неточным исходным (числовым) данным.

Погрешность решения задачи, обусловленная  первыми двумя источниками, называется неустранимой. Она неконтролируема в процессе решения задачи и может быть уменьшена только за счет использования более точной математической модели и более точных исходных данных.

Следующая причина погрешности  состоит в том, что искомое  решение полученного математического  описания (модели в виде уравнения  или системы уравнений) не всегда удается получить в явном виде. В этом случае пользуются численными методами – это методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ. Численные методы принципиально не обеспечивают точного решения задачи, т.к. численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. Погрешность решения задачи, обусловленная этим обстоятельством, называется погрешностью метода.

При вводе – выводе данных из ЭВМ, а также при выполнении арифметических операций производят округление результатов. Погрешность, возникающая при этих действиях, называется вычислительной погрешностью.

Пусть

   - точное значение отыскиваемого параметра (процесса);

   - значение параметра, соответствующее принятому математическому описанию (точное решение принятого уравнения);

   - решение, получаемое численным методом при отсутствии округлений;

   - решение, получаемое при реальных округлениях.

Тогда

   - неустранимая погрешность;

   - погрешность метода;

   - вычислительная погрешность.

Полная погрешность  , равная разности между реально получаемым и точным решением задачи,

 

.                                       (1.1)

 

Часто под погрешностью понимают не вышеуказанные разности между приближениями, а некоторые меры близости между  ними:

   - неустранимая погрешность;

   - погрешность метода;

   - вычислительная погрешность.

Тогда полная погрешность

 

.                                               (1.2)

 

При анализе требований к точности результата решения задачи исследователь должен ответить на следующие вопросы:

1) Нужна ли вообще высокая  точность решения задачи ?

2) Насколько точно математическая  модель описывает реальный процесс ? Ведь она может оказаться настолько грубой, что требовать высокую точность вычислений бессмысленно.

3) Насколько точно могут быть  определены параметры самой модели ?

Анализ ответов на поставленные вопросы позволяет выбрать численный  метод решения задачи. Он должен удовлетворять следующим требованиям:

а) Погрешность метода должна быть в несколько раз меньше неустранимой погрешности .

б) Вычислительная погрешность  должна быть в несколько раз меньше погрешности метода .

Численный метод, кроме достижения заданной точности, должен удовлетворять  и ряду других требований. Предпочтение отдается методу, 
который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньшей памяти ЭВМ и является логически более простым, что способствует его быстрой реализации на ЭВМ. Эти требования обычно противоречат друг другу, и при выборе численного метода требуется искать компромиссное решение.

 

1.1. Системы счисления. Десятичная запись и округление чисел.

 

Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел. Основными показателями системы счисления являются основание p, разряд и цена разряда.

Основанием  системы счисления p называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления (таблица 1.1).

 

                                                                                  Таблица 1.1

        Системы счисления с различными основаниями

Система счисления	Используемые символы	Основание р
Двоичная	0,1	2
Десятичная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	10
Шестнадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f	16

 

 

Разряд – это место (позиция), занимаемое цифрой (символом) при письменном обозначении числа. Для десятичной системы счисления будем называть номер позиции номером разряда i, пользуясь следующим правилом:

а) Для цифр целой части числа  номера разрядов принимаем положительными, начиная с единицы и считая справа налево от запятой, разделяющей  целую и дробную части числа.

б) Для цифр дробной части числа номера разрядов принимаем нулевым и отрицательными, начиная с нуля и считая справа налево от запятой, разделяющей целую и дробную части числа.

Например, для числа 2035,468 номера разрядов принимают значения (таблица 1.2).

 

Таблица 1.2

2	0	3	5	,	4	6	8
i = 4	i = 3	i = 2	i = 1		i = 0	i = -1	i = -2

 

 

При использовании данного правила  каждая единица соответствующего i –го разряда имеет свое значение

 

,                                                  (1.3)

 

называемое ценой (весом) разряда. Назовем старшим разрядом разряд, имеющий наибольший вес, и младшим – наименьший.

Обозначим:

n – количество разрядов числа (оно совпадает с количеством цифр в записи числа);

m – номер старшего разряда числа;

s = (m – n + 1) – номер младшего разряда.

 

С учетом принятых обозначений всякое десятичное положительное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

 

,                                        (1.4)

 

где

- целые числа .

Так, для рассмотренного выше числа 2035,468 величины   n = 7,    m = 4,      s = - 2. Тогда

 

             (1.5)

 

 

1.2. Абсолютная и относительная погрешности.

 

Пусть a - точное (чаще всего неизвестное) значение некоторой величины, - известное приближенное значение этой величины. Отметим, что является некоторой оценкой истинного значения а.

Назовем абсолютной погрешностью приближенного числа величину

 

,                                               (1.6)

 

а относительной погрешностью приближенного числа величину

 

.                                               (1.7)

 

 

Так как значение a, как правило, неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида

 

,                                              (1.8)

 

.                                              (1.9)

 

Говорят, что в этом случае и являются верхними границами абсолютной и относительной погрешностей.

Абсолютная погрешность позволяет  определить так называемый доверительный интервал (см. рис. 1.1), внутри которого находится истинное значение а

 

.                                  (1.10)

 

 

Рис. 1.1

 

Середина доверительного интервала  совмещается с приближенным значением .

Числа и принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой, например

 

.                                (1.11)

 

Это условие означает равенство  номеров s младших разрядов самого приближенного числа и его абсолютной погрешности .

 

Часто число а записывают в виде

 

.                                               (1.12)

 

Для последнего примера получим

 

.                                             (1.13)

 

Относительную погрешность часто выражают в процентах

 

.                                  (1.14)

 

1.3. Верные и сомнительные значащие цифры.

 

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Нули в конце числа – всегда значащие цифры ( в противном случае их не пишут).

Пример: значащие цифры чисел подчеркнуты

                      0,005428;      10,410230;          0,452800.

Значащую цифру числа называют верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит цены разряда, в котором стоит

.                                                  (1.15)

 

Цифры, стоящие в более младших  разрядах, называют сомнительными.

Пример: определим верные в широком смысле цифры числа при различных значениях абсолютной погрешности - см. таблицу 1.3.

 

                                                                                Таблица 1.3

	Верные в широком смысле цифры числа (подчеркнуты)	Запись числа a
0,01	356,78245
0,03	356,78245
0,00006	356,78245
0,00001	356,78245

 

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины цены разряда, в котором стоит

 

.                                          (1.16)

 

Разделив обе части неравенства на , получим

 

        (1.17)

.

 

Таким образом, если цифра  приближенного числа верная, то за относительную погрешность можно принять

 

.                                            (1.18)

 

Если речь идет о верных значащих цифрах в широком смысле, то можно  получить аналогичную формулу

 

.                                            (1.19)

 

Пример : какова относительная погрешность приближенного числа

, если все его цифры верные ?

 

.                  (1.20)

 

 

1.4. Округление чисел.

 

В ряде случаев возникает необходимость  округления приближенного числа, т.е. замене его другим числом с меньшим количеством разрядов. При этом сохраняют одну или несколько цифр, считая слева направо, и отбрасывают все последующие.

При округлении пользуются следующим  правилом: если в старшем из отбрасываемых  разрядов стоит цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра остается без изменения. В противном случае последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

 

 

Пример : округлить соответственно с двумя, тремя и четырьмя знаками после запятой следующие числа

      3,14159;      - 0,0025;        84,009974.

Ответ :

      3,14;           - 0,03;             84,0100.

В результате округления числа абсолютная погрешность , а следовательно, и доверительный интервал, изменяются и подлежат определению. Кроме того, необходимость записи и с одинаковым числом знаков после запятой может потребовать округления и самой абсолютной погрешности.

Пусть

 

,                                                 (1.21)

 

где - исходные значения приближенной величины и абсолютной погрешности, например a = 2,915 0,169.

Обозначим - округленное значение исходной приближенной величины.

Округлим исходную величину так, чтобы результат имел всего два разряда: 2,9.

Очевидно, что в результате выполнения операции округления абсолютная погрешность  числа а изменяется и может быть определена как (рис. 1.2)

 

                    (1.22)

 

где

- составляющая погрешности от отбрасывания цифр.

 

Рис. 1.2