-

При этом необходимо, чтобы не равнялась нулю. Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия (10) или (8). Из (11) следует, что на каждой итерации объем вычислений в методе Ньютона больший, чем в рассмотренных ранее методах, поскольку приходится находить значение не только функции но и ее производной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в других методах.

Остановимся на некоторых вопросах, связанных  со сходимостью метода Ньютона и  его использованием. Имеет место  следующая теорема.

Теорема. Пусть — корень уравнения (1), т. е. , a непрерывна. Тогда существует окрестность D корня с (с D) такая, что если начальное приближение принадлежит этой окрестности, то для метода Ньютона последовательность значений { } сходится к с при . При этом для погрешности корня имеет место соотношение  

Фактически  это означает, что на каждой итерации погрешность возводится в квадрат, т. е. число верных знаков корня удваивается. Если  

то легко  показать, что при || пяти-шести итераций достаточно для получения минимально возможной погрешности при вычислениях с двойной точностью. Действительно, погрешность теоретически станет в этом случае величиной порядка , что намного меньше, чем максимальная погрешность округления при вычислениях с двойной точностью, равная . Заметим, что для получения столь малой погрешности в методе деления отрезка пополам потребовалось бы согласно (7) более 50 итераций.

Трудность в применении метода Ньютона состоит  в выборе начального приближения, которое  должно находиться в окрестности  D. При неудачном выборе начального приближения итерации могут расходиться.

5. Метод простой  итерации.

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде

      (12)

Пусть известно начальное приближение  корня. Подставляя это значение в правую часть уравнения (12), получаем новое приближение  

Подставляя  каждый раз новое значение корня  в (12), получаем последовательность значений

, 

Итерационный  процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. если выполнено неравенство (10). Заметим, что в методе простой итерации для невязки, полученной на -й итерации, выполнено соотношение  

Таким образом, условие малости невязки  на -й итерации оказывается эквивалентным условию близости -го и + 1-го приближений.

Достаточное условие сходимости метода простой  итерации дается следующей теоремой.

Теорема. Пусть  — корень уравнения (12), т. е. и непрерывна. Тогда существует окрестность D корня такая, что если начальное приближение принадлежит этой окрестности, то для метода простой итерации последовательность значений {} сходится к с при .

Метод простой итерации рассмотрен нами для  уравнения (12). К такому виду можно привести и более общее уравнение (1), аналогично тому, как это делалось при решении систем линейных уравнений:  

         (13)

Здесь — некоторое число. Уравнение (13) эквивалентно (12) с функцией За счет выбора значения параметра t можно добиваться сходимости метода простой итерации и повышения скорости сходимости. Например, если на некотором отрезке, содержащем корень уравнения, производная ограничена константами и :  

то для  производной будет справедливо неравенство  

Выбирая ), получаем  

т. е. , что обеспечивает сходимость метода простой итерации.

Параметр  t в (13) можно выбирать и переменным, зависящим от номера итерации. Так, если положить , то метод простой итерации для уравнения (13) примет вид  

   Это соотношение совпадает с формулой метода Ньютона (11). Следовательно, метод Ньютона можно трактовать как частный случай метода хорд простой итерации с переменным .

На рис. 5.5 представлен алгоритм решения  нелинейного уравнения (12) методом простой итерации. Здесь — начальное приближение корня, а в дальнейшем —значение корня после каждой итерации, — результат предыдущей итерации. В данном алгоритме предполагалось, что итерационный процесс сходится. Если такой уверенности нет, то необходимо ограничить число итераций и ввести для них счетчик .

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Практическая  часть

Пусть дано нелинейное уравнение:

исходное нелинейное уравнение

 

Для использования  рассмотренных ранее методов  решения этого уравнения необходимо выбрать отрезок [a,b] (если корней на  несколько, то в результате применения метода деления отрезка пополам и метода хорд будет найдено приближенное значение одного из корней), который удовлетворял бы все условия для наших методов.

     Задача  отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении  достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности  начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть  при этом в область сходимости метода.

     Задача  отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к  изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые  рекомендации для конкретных видов  уравнений.

     Так, если дано скалярное уравнение  , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.

     Безусловно, графические построения имеют большие  погрешности, и выбранные начальные  приближения могут не попасть  в область сходимости применяемого метода.

     Тогда нужно провести пробные решения  на ЭВМ выбранным методом с  исследованием сходимости.

     Если  приближения сходятся, то начальные  приближения выбраны в области  сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.

     Если  приближения расходятся, следует  провести более точные графические  построения и выбрать начальное  приближение в области сходимости.

Для этого  построим график нашего уравнения:

[a,b] отрезок,  на котором расположен искомый  корень

 
 

заданная точность

Решение методом дихотомии.

искомый корень

количество итераций

промежуточные итерации

Решение методом хорд.

искомый корень

количество итераций

промежуточные итерации

Решение методом Ньютона.

искомый корень

количество итераций

промежуточные итерации

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Графическая интерпретация метода Ньютона:

Решение методом простых  итераций.

Представим  наше уравнение в виде:    Для этого проделаем следующие преобразования:

       

где

некоторое число.

 

Тогда

искомый корень

количество итераций

промежуточные итерации

 
 
 
 
 
 

 

Вывод:

     Данные  программы решают заданное пользователем нелинейнное уравнений с указанной точностью за минимальный промежуток времени. При этом пользователю предоставляется возможность визуально оценить неточность решения, сравнивая графики полученного и точного решений.

     

     К достоинствам программы можно отнести  также  высокую стабильность работы. Однако имеются и некоторые недостатки. К недостаткам программы можно отнести: критичность к вводимым пользователем функций, особый подход к выбору отрезка [a,b]. Это, естественно, ограничивает возможности программы.