Оглавление

Введение: 3

Теоретическая часть 4

1.Вводные  замечания. 4

2.Метод  деления отрезка  пополам (метод  бисекции). 5

3. Метод хорд. 8

4. Метод Ньютона  (метод касательных). 10

5. Метод простой  итерации. 12

Практическая  часть 15

Решение методом дихотомии. 17

Решение методом хорд. 18

Решение методом Ньютона. 19

Решение методом простых  итераций. 20

Вывод: 21 

 

Введение:

В современных  науке и технике важную роль играет математическое моделирование, заменяющее эксперименты с реальными объектами  экспериментами с их математическими  моделями. Возник даже термин "вычислительный эксперимент". Математическое моделирование  и вычислительный эксперимент применяются  не только в точных науках и технике, но и в экономических науках, социологии и многих других областях, традиционно  считавшихся далекими от математики и компьютеров. Зачем нужен вычислительный эксперимент? Проектирование сложных  объектов, например, атомных, космических  и многих других требует проведения колоссальных объемов вычислений. Например, для решения многих прикладных задач  аэродинамики и ядерной физики требуется  выполнения более  арифметических операций. Современные технологии зачастую используют предельные режимы, которые требуют учета сложных нелинейных факторов. Зачастую требуется изучить поведение объекта в экстремальных и аварийных ситуациях, что практически невозможно путем натурного эксперимента, например, при изучении ядерных взрывов, последствий техногенных катастроф и во многих других ситуациях.

Для практических задач довольно редко удается  найти аналитическое решение  уравнений, составляющих математическую модель явления. Поэтому приходится применять численные методы.

 

Теоретическая часть

1.Вводные замечания.

Задача  нахождения корней нелинейных уравнений  вида  

встречается в различных областях научных  исследований (здесь  — некоторая непрерывная функция). Нелинейные уравнения можно разделить на два класса — алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы  решения нелинейных уравнений делятся  на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры читателю известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако  встречающиеся на практике уравнения  не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений. Как и в рассмотренном  в гл. 4 случае систем линейных уравнений, алгоритм нахождения корня нелинейного  уравнения с помощью итерационного  метода состоит из двух этапов:

а) отыскания  приближенного значения корня (начального приближения);

б) уточнения  приближенного значения до некоторой  заданной степени точности.

 В  некоторых методах отыскивается  не начальное приближение, а  некоторый отрезок, содержащий  корень.

Начальное приближение может быть найдено  различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи при  других исходных данных, с помощью  графических методов. Если такие  априорные оценки исходного приближения  провести не удается, то находят две  близко расположенные точки  и , в которых непрерывная функция ) принимает значения разных знаков, т. е. . В этом случае между точками и есть по крайней мере одна точка, в которой

В качестве начального приближения  можно принять середину отрезка т. е.                      .

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения . Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня .Если эти значения с ростом стремятся к истинному значению корня 

то говорят, что итерационный процесс сходится .

Ниже  рассматриваются некоторые итерационные методы решения трансцендентных  уравнений. Они могут использоваться также и для нахождения корней алгебраических уравнений, особенности  решения которых будут рассмотрены  во  2.

2.Метод деления отрезка пополам (метод бисекции).

Это один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Он состоит в  следующем. Допустим, что нам удалось  найти отрезок , на котором расположено искомое значение корня , т. е. с Е . (Далее мы предполагаем, что — единственный корень на отрезке . Если корней на  несколько, то в результате применения метода деления отрезка пополам и метода хорд (см. п. 3) будет найдено приближенное значение одного из корней). В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка: . Далее исследуем значения функции на концах отрезков и, т. е. в точках . Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка , на которой знак не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка и т. д. Таким образом, -е приближение вычисляется как

                     (2)

после каждой итерации отрезок, на котором  расположен корень, уменьшается вдвое, а после итераций он сокращается в раз:

            (3)

Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного малого числа ε > 0:

                (4)

Взяв  в качестве приближенного решения  -е приближение корня: , запишем (4) с учетом обозначения в виде

                (5)

 Как  легко видеть, из (2) следует, что (5) выполнено, если

              (6)

Таким образом, итерационный процесс нужно  продолжать до тех пор, пока не будет  выполнено условие (6).

Метод деления отрезка пополам проиллюстрирован на рис. 5.1. Пусть для определенности , . В качестве начального приближения корня примем . Поскольку в рассматриваемом случае

, то с  и рассматриваем только отрезок , т. е. , . Следующее приближение:

При этом отрезок  отбрасываем, поскольку и . Таким образом, с [], . Аналогично находим другие приближения: и т. д. до выполнения условия (6).

В отличие  от большинства других итерационных методов метод деления отрезка  пополам всегда сходится, причем можно  гарантировать, что полученное решение  будет иметь любую наперед  заданную точность (разумеется, в рамках разрядности компьютера). При применении этого метода нет необходимости  приближенно определять момент достижения требуемой точности, пользуясь, например, условиями близости двух последовательных приближений. Вместо них применяется  соотношение (6), гарантирующее выполнение (4).

Однако  метод деления отрезка пополам  довольно медленный. Вычислим число  итераций N, требуемое для достижения точности. Для этого выясним, пользуясь (3), для каких выполнено условие (6), и возьмем в качестве N наименьшее из таких . Окончательно получим (7)  

 где — целая часть числа . Обычно для метода деления отрезка пополам N больше, чем для некоторых других методов, что не является препятствием к применению этого метода, если каждое вычисление значения функции несложно.

Итерационный  процесс можно завершать и  тогда, когда значение функции  после -й итерации станет меньшим по модулю е, т. е.  

Для уравнения(1) величина есть невязка, полученная на -и итерации. На рис. 5.2 представлен алгоритм итерационного процесса нахождения корня уравнения (1) методом деления отрезка пополам. Здесь сужение отрезка производится путем замены границ или на текущее значение корня с. При этом значение вычисляется лишь один раз, поскольку нам нужен только знак функции на левой границе, а он в процессе итераций не меняется.

3. Метод хорд.

Пусть мы нашли отрезок , на котором функция меняет знак. Для определенности примем (рис. 5.3). В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения (1)   принимаются значения ... точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хорды АВ:  

Для точки пересечения ее с осью абсцисс () получим уравнение  

Далее, сравнивая знаки величин  и для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале (, ), так как < 0. Отрезок [] отбрасываем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения как точки пересечения хорды с осью абсцисс и т. д.

В отличие  от метода деления отрезка пополам  в методе хорд условие окончания  итераций типа (6) неприменимо. Так, на рис. 5.3 видно, что длина отрезка [a, никогда не станет меньше длины отрезка Вместо (6) нужно использовать условие близости двух последовательных приближений

                                      (10)

или условием малости невязки (8).

Метод деления отрезка пополам и  метод хорд весьма похожи, в частности, процедурой проверки знаков функции  на концах отрезка. При этом второй из них в ряде случаев дает более  быструю сходимость итерационного  процесса. Кроме того, оба рассмотренных  метода не требуют знания дополнительной информации о функции . Например, не требуется, чтобы функция была дифференцируема. Непрерывность гарантирует успех применения этих методов. Более сложные методы решения нелинейных уравнений используют дополнительную информацию о функции , прежде всего свойство дифференцируемости функции. Как результат они обычно обладают более быстрой сходимостью, но в то же время, примени- мы для более узкого класса функций, и их сходимость не всегда гарантирована. Примером такого метода служит метод Ньютона.

4. Метод Ньютона  (метод касательных).

Его отличие  от предыдущего метода состоит в  том, что на -й итерации вместо хорды  проводится касательная к кривой при и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [], содержащий корень уравнения (1), а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня (рис. 5.4).                     

Уравнение касательной, про- веденной к кривой в точке с координатами и , имеет вид  

Отсюда  найдем следующее приближение корня  как абсциссу точки пересечения касательной с осью  

Аналогично  могут быть найдены и следующие  приближения как точки пересечения  с осью абсцисс касательных, проведенных  в точках и т. д. Формула для -го приближения имеет вид