Метод бажаної точки при прийнятті рішень в умовах визначеності та його програмна реалізація

Відношення строгої переваги P: aPb означає, що об'єкт а є строго переважнішим за b.

Відношення байдужності I: aIb означає, що об'єкти а і b однакові за перевагою (якщо вибір обмежити двома цими об'єктами, то байдуже, який з них узяти).

Відношення нестрогої переваги R: aRb означає, що об'єкт a не менш кращий, ніж b, тобто має місце aPb чи aIb; формально R є об'єднанням P та I.

Відношення переваги R та його підмножин P та I повинні задовольняти наступним властивостям: Р асиметричне і антирефлексивне; I – симетричне і рефлексивне, R – рефлексивне; P та I – не перетинаються (не може бути одночасно aРb і aIb). Корисно мати на увазі, що Р і I відновлюються за R: aIb, коли одночасно aRb i bRa, тобто ; aPb, коли aRb вірно, але bRa невірно: . Таким чином, I є "симетрична ", а Р – "асиметрична частина" R [7].

У загальному випадку відношення R, Р та I не є транзитивними. Якщо ж R виявляється транзитивним, то транзитивними будуть P і I; у цьому випадку R є квазіпорядком, P – строгим порядком, I – еквівалентністю.

Абсолютно-оптимальні оцінки й альтернативи. Припустимо, що переваги ОПР описуються відношенням нестрогої переваги R на , причому відомо, що воно не тільки рефлексивне, але і транзитивне (тобто є квазіпорядком) [7]. Вважаючи, що , можна записати наступні співвідношення для оцінок, послідовно використовуючи відношення " " для їх компонент

,

,

………………………………

.

На підставі цих співвідношень  і транзитивності приходимо до висновку, що справедливо , тобто векторна оцінка y не менш переважна, ніж у'. Це означає введення на множині оцінок відношення нестрогої переваги, яке збігається з квазіпорядком " " для векторів з . Відповідно до загального визначення максимального елемента за відношенням R оцінка у* називається найкращою за відношенням " ", якщо для будь-якої оцінки має місце . Оскільки відношення " " є квазіпорядком, то може існувати тільки одна така точка у*. Якщо в багатокритеріальній задачі існує найкраща за відношенням " "оцінка у*, то саме її і варто вважати оптимальною. В методах багатокритеріальної оптимізації таку оцінку, якщо вона існує, називають абсолютно-оптимальною.

Відношення " ", визначене на множині оцінок, породжує аналогічне за змістом відношення " " на множині альтернатив, яке також є частковим квазіпорядком.

Альтернативі, максимальній за відношенням " ", відповідає максимальна за відношенням " " оцінка з Y. Називається ця альтернатива також абсолютно-оптимальною. Отже, абсолютно-оптимальна альтернатива перетворює в максимум на Х кожен із критеріїв . Умови існування абсолютно-оптимальних альтернатив встановлює наступна теорема.

Теорема 1.1 [2] (про необхідні й достатні умови абсолютної оптимальності). Нехай множини оптимальних за кожним критерієм альтернатив є непорожніми, . Тоді множина абсолютно-оптимальних альтернатив .

Абсолютно-оптимальні альтернативи і  відповідно абсолютно-оптимальні оцінки, як уже відзначалося, безумовно, можуть вважатися оптимальними, однак практично  вони майже ніколи не існують. Це пов'язано  з тим, що порядок " " не є повним, наприклад, якщо , але , то у й у' за відношенням " " є незрівнянними. Тому, в залежності від суті задачі, доводиться використовувати оцінки й альтернативи, "максимальні" за відношеннями ">"чи ">>". Для таких оцінок використовують спеціальні назви.

Ефективні оцінки і альтернативи. Якщо R не є транзитивним чи , то формальним шляхом прийти до сформульованого твердження , взагалі кажучи, неможливо. Однак, у будь-якому випадку, воно є настільки природнім, що у всіх моделях прийняття індивідуальних рішень вводиться як аксіома. Прийняття цієї аксіоми, що часто називається (сильною) аксіомою Парето, означає введення в множині оцінок відношення строгої переваги, яке збігається з відношенням ">" для векторів з . Нагадаємо, що вектори знаходяться у відношенні строгої переваги, якщо , і хоча б одна нерівність є строгою, тобто . Для цього відношення можна визначити поняття "максимального" елементу.

Означення 1.1. Будемо називати оцінку оптимальною за Парето (ефективною, максимальною за ">"), якщо не існує оцінки такої, що . Множину всіх таких оцінок із будемо позначати через і називати множиною Парето чи множиною ефективних оцінок.

Відношення ">", визначене  на множині оцінок, породжує аналогічне за змістом відношення ">" на множині альтернатив, яке є строгим  частковим порядком. Отже, альтернатива називається оптимальною за Парето (ефективною), якщо не існує альтернативи такої, що , тобто для якої . Множина оптимальних за Парето (ефективних) альтернатив буде позначатися через P(X).

Слабко-ефективні  оцінки. Розглянемо, наприклад, випадок багатокритеріальної задачі прийняття групового рішення, коли є критерієм і-го ОПР, що входить у групу ОПР (множину М= ). У цьому випадку означає, що альтернатива х не гірша за х' з погляду і-го ОПР. У такій задачі відношення переваги на множині оцінок Y повинно відбивати "групову думку", яка агрегує індивідуальні [8].

Якщо  , тобто , то висновок про рівність х і за перевагою може бути зроблений і для групи в цілому. Залишається розглянути наступне питання: якщо в (2.1) хоча б одна нерівність строга, то чи варто вважати, що альтернатива х є переважнішою за . На жаль, позитивну відповідь на останнє питання можна дати не у всіх реальних ситуаціях. Дійсно, якщо в (2.1) строга нерівність лише одна, то це означає, що х переважніше за лише для одного члена групи, а для всіх інших обидві альтернативи рівноцінні. Але в деяких ситуаціях може виявитися, що "одного голосу" занадто мало, і тоді група в цілому не обов'язково повинна вважати х переважнішим за .

Очевидно, у різних ситуаціях підсумок порівняння оцінок у та у' може залежати від того, скільки строгих нерівностей у (2.1) виконується при порівнянні їх компонент. Однак, самим слабким є припущення, яке полягає в тім, що в для всієї групи у переважніше у', якщо в (2.1) усі нерівності строгі. Це припущення є прийнятим майже у всіх відомих моделях групових рішень і називається слабкою аксіомою Парето. Воно вводить на відношення сильної переваги, що збігається з відношенням ">>" для векторів з . Кажуть, що у>>у' вірне тоді і тільки тоді, коли . Для цього відношення також визначається поняття максимального елементу.

Означення 1.2. Оцінку будемо називати оптимальною за Слейтером (слабко-ефективною або максимальною за ">>"), якщо не існує оцінки такої, що . Множину всіх таких оцінок із будемо позначається далі через і називати множиною Слейтера чи множиною слабко-ефективних оцінок [8].

Відношення ">>", визначене  на множині оцінок, породжує аналогічне за змістом відношення ">>" на множині альтернатив, яке є строгим  частковим порядком. Отже, альтернатива називається оптимальною за Слейтером (слабко-ефективною), якщо не існує альтернативи такої, що , тобто для якої . Множина оптимальних за Слейтером (слабко-ефективних альтернатив) буде позначатися через S(X).

Порівняння ефективних та слабко-ефективних оцінок. Оскільки з випливає , то будь-яка ефективна векторна оцінка є слабко-ефективною, так . Дійсно, якщо не є слабко-ефективною, то для деякої буде виконуватися , а тому й так, що не може бути ефективною.

Геометрично, при  є "північно-східною" границею множини Y (без горизонтальних та вертикальних ділянок, чи ділянок, що знаходяться у досить "крутих і глибоких проваллях"), а може додатково містити в собі вертикальні й горизонтальні ділянки границі, що прилягають до Р(У). Так, на рисунку 1.1 множина (ефективна границя ) утворена кривими bc, ef, а складається з двох частин – abcd (включаючи d) і efg. У цьому легко переконатися, якщо помітити, що точки, які є кращими, ніж у, у сенсі відношення ">", заповнюють прямий кут, сторони якого паралельні вісям координат із вершиною у точці у (сама точка у виключається); а точки, що є кращими за у, у сенсі відношення ">>", складають внутрішність цього ж кута.

 

 

 

 

 

 

 

                  

Рис.1.1

Економічна  інтерпретація оптимальності за Парето. Визначення (слабко) ефективної альтернативи є "статичним" у тім сенсі, що ґрунтується на попарному порівнянні альтернатив і не зв'язується з питанням про те, чи можливо "повільно" перейти від однієї альтернативи до іншої, більш кращої, збільшуючи кожен критерій. Можливість здійснення такого переходу в деяких, особливо економічних моделях, становить великий інтерес. Прикладом є модель чистого обміну, в якій кожен споживач бере участь в обміні, прагнучи скласти собі набір товарів найбільшої корисності, тобто формально максимізувати свою функцію цінності. Такого роду моделі розглядали ще в XIX сторіччі Ф. Еджворт і В. Парето. Ефективним для моделі обміну є стан (розподіл товарів між споживачами), який не може бути поліпшеним шляхом перерозподілу товарів для жодного з учасників без обмеження інтересів деяких інших учасників [9]. Отже, оптимальність за Парето відбиває ідею економічної рівноваги: якщо стан не є ефективним, то буде відбуватися торгівля, що приведе до ефективного стану. Якщо процес обміну розглядати як послідовність угод, вигідних усім учасникам, то формалізовано його можна описати гладкою кривою, при русі уздовж якої, усі критерії збільшуються. Тоді можна виділити стани, із яких не виходить жодна гладка крива такого типу. Такі стани були названі С. Смейлом критичними точками Парето. Зрозуміло, що множина таких точок (критична множина Парето) включає всю множину слабко-ефективних точок, але в загальному випадку ширше останньої (через "локальний характер" визначення критичної точки Парето).

Власно-ефективні альтернативи. Дослідження показують, що серед ефективних можуть зустрітися оцінки (альтернативи), що виявляються у певному сенсі аномальними.

Приклад 1. Розглянемо наступну множину оцінок:

.

Ефективні оцінки утворюють частину  параболи , що лежить у другому квадранті (Рис.1.2). До ефективних відноситься й оцінка . Різниці значень координат ефективних оцінок і виявляються рівними величинам:

 і  .

 

 

 

 

 

 

_{Рис 1.2}

Отже, якщо перейти з  точки  в досить близьку до неї ефективну точку y, то буде отримано виграш першого порядку малості за другим критерієм за рахунок програшу другого порядку малості за першим критерієм. Якщо критерій не вважати набагато важливішим за , то, очевидно, природньо погодитися на деяке збільшення , допустивши на порядок менші втрати по . Таким чином, оцінка є аномальною: вона є нестійкою в зазначеному сенсі і тому відповідна їй альтернатива не може, взагалі кажучи, претендувати на оптимальність.

Розглянутий приклад показує, що іноді має сенс спеціально виділяти ефективні оцінки (і альтернативи), які позбавлені подібних небажаних  властивостей. Перше визначення такого роду ефективних рішень, названих власне ефективними {proper efficient), було дано X. Куном  і А. Таккером. Однак воно було сформульоване  для диференційовного випадку і  зв'язане зі спеціальними умовами  регулярності, що дозволили одержати необхідні умови оптимальності. Для загального випадку визначення власної ефективності було запропоновано  А. Джеофріоном.

Означення 1.3. Ефективна оцінка називається власно-ефективною чи оптимальною за Джеофріоном, якщо існує таке додатне число , що для (для яких виконується нерівність ), існує індекс такий, що і виконується нерівність:

.           (2.2)

Зазначимо, що оскільки ефективна, то у випадку існування ефективної оцінки y, для якої при деякому i виконується нерівність , y буде також ефективною, а тоді $ номер j, для якого буде справедливою нерівність (оскільки ефективні оцінки y та y' є між собою незрівнянними) [10]. Тому зміст приведеного визначення полягає у вимозі існування числа , для якого при зазначених умовах виконується (2.2).

Альтернативи, яким відповідають власно-ефективні  оцінки, також називаються власно-ефективними  чи оптимальними за Джеофріоном. Множину  усіх таких альтернатив (оцінок) будемо позначати через G(X) (G(Y)). Так, у наведеному прикладі 1 множина G(Y) – це верхня гілка параболи (без вершини ).

Приклад 2. Найкраща за відношенням " " (абсолютно-оптимальна) оцінка є власно-ефективною. Так як для , то нерівність не виконується при жодному та для жодного . Тому для власної ефективності необхідність в умові (2.2) відсутня.

Звідси випливає, що альтернатива, яка обертає в максимум одночасно  кожний із критеріїв  , є власно-ефективною. Зокрема, в однокритеріальних задачах будь-яка оптимальна альтернатива є власно-ефективною.

Приклад 3. Якщо множина Y є скінченною, то будь-яка ефективна оцінка є власно-ефективною. Якщо ефективна оцінка єдина, то є абсолютно-оптимальною, тому є власно-ефективною (попередній приклад). Якщо ж Р(Y) містить більше однієї оцінки, то шукане додатне число можна задати рівністю:

.

Отже, якщо Y є скінченним (а для цього достатньо скінченності множини альтернатив Х), то поняття ефективності і власної ефективності рівносильні.

Ефективна оцінка, що не є  власно-ефективною, називається невласно-ефективною [10]. Аналогічна термінологія вводиться і для альтернатив. Це означає, що переходом від невласно-ефективної альтернативи до деякої іншої можна забезпечити збільшення принаймні по одному певному критерію за рахунок втрат більш високого порядку малості за всіма тими критеріями, значення яких зменшаться. Іншими словами, невласно-ефективна альтернатива в зазначеному сенсі є аномальною (нестійкою).

Примітка. Як уже вказувалося, поняття власно-ефективних оцінок і альтернатив не має сенсу вводити в тих випадках, коли один критерій незрівнянно важливіший за інші. Задачі, у яких критерії впорядковані за важливістю (і перенумеровані) так, що кожен попередній незрівнянно важливіший за усі наступні, називаються лексикографічними задачами оптимізації тому, що в таких задачах відношення нестрогої переваги є лексикографічним порядком " ". Цей порядок задається наступним чином: , коли виконана одна з умов:

1)

2)

…………………

m)

m+1) .

Відношення " ", що є повним, впорядковує оцінки подібно тому, як розташовуються слова в словнику, і цим пояснюється походження прикметника "лексикографічний". З визначення видно, що в лексикографічній задачі варто домагатися як завгодно малого збільшення більш важливого критерію за рахунок як завгодно великих втрат за всіма іншими, менш важливими критеріями. Саме тому лексикографічно-оптимальна (найкраща за ) оцінка не обов'язково буде власно-ефективною, хоча, як легко переконатися, вона обов'язково є невласно-ефективною [11].