Математические методы, их виды

ский  аппарат, который подходит к решению  некоторого класса задач пу-

тем их разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. При

этом  отличительной особенностью является решение задач по этапам,

через фиксированные  интервалы, промежутки времени, что  и определило

появление термина динамическое программирование. Следует заметить,

что методы динамического программирования успешно применяются и

при решении  задач, в которых фактор времени  не учитывается. В целом

математический  аппарат можно представить как  пошаговое или поэтап-

ное  программирование.  Решение  задач  методами  динамического  про-

граммирования проводится на основе сформулированного Р. Э. Беллма-

ном  принципа  оптимальности:  оптимальное  поведение  обладает  тем

свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и

первоначальное  решение, последующее решение должно определять оп-

тимальное поведение относительно состояния, полученного в результате

первоначального решения.

Из этого  следует, что планирование каждого  шага должно проводиться

с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и

позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию.

Таким образом, динамическое программирование в широком  смысле

представляет  собой  оптимальное  управление  процессом,  посредством

изменения управляемых параметров на каждом шаге, и,  следовательно,

воздействуя на ход процесса, изменяя на каждом шаге состояние системы.

В  целом  динамическое  программирование  представляет  собой

стройную  теорию для восприятия и достаточно простую для применения

в коммерческой деятельности при решении как  линейных, так и нелиней-

ных задач.

Динамическое  программирование (ДП) является одним  из разделов

оптимального  программирования. Для него характерны специфические

методы  и приемы, применительные к операциям, в которых процесс при-

нятия решения  разбит на этапы (шаги). Методами ДП решаются вариант-

ные оптимизационные  задачи с заданными критериями оптимальности, с

определенными связями между переменными и  целевой функцией, вы-

раженными системой уравнений или неравенств. При этом, как и в зада-

чах, решаемых методами линейного программирования, ограничения мо-

гут быть даны в виде равенств или неравенств. Однако если в задачах ли-

нейного программирования зависимости между  критериальной функцией

и переменными  обязательно линейны, то в задачах  ДП эти зависимости

могут иметь  еще и нелинейный характер. ДП можно использовать как

для решения  задач, связанных с динамикой  процесса или системы, так и

для статических  задач, связанных, например, с распределением ресурсов.

Это значительно  расширяет область применения ДП для решения задач

управления. А возможность упрощения процесса решения, которая дос-

тигается  за счет ограничения области и  количества, исследуемых при пе-

реходе  к  очередному  этапу  вариантов, увеличивает  достоинства  этого

комплекса методов.

Вместе  с тем ДП свойственны и недостатки. Прежде всего, в нем нет

единого  универсального  метода  решения.  Практически  каждая  задача,

решаемая  этим методом, характеризуется своими особенностями и тре-

бует  проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для

ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения много-

шаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходи-

мости отбора задач малой размерности либо использования сжатой ин-

формации. Последнее достигается с помощью  методов анализа вариантов

и переработки  списка состояний.

Для процессов  с непрерывным временем ДП рассматривается  как

предельный  вариант дискретной схемы решения. Получаемые при этом

результаты  практически совпадают с теми, которые получаются метода-

ми максимума  Л. С. Понтрягина или Гамильтона-Якоби-Беллмана.

ДП применяется  для решения задач, в которых  поиск оптимума воз-

можен  при  поэтапном  подходе,  например,  распределение  дефицитных

капитальных вложений между новыми направлениями  их использования;

разработка  правил управления спросом или запасами, устанавливающи-

ми момент пополнения запаса и размер пополняющего заказа; разработка

принципов календарного планирования производства и выравнивания за-

нятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; составление

календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и

его замены; поиск кратчайших расстояний на транспортной сети; форми-

рование последовательности развития коммерческой операции и т. Д.

     . 

1.4.Постановка задач стратегии обновления оборудвания.

  Важной  экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: станков, автомобилей, компьютеров  и др. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в  результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность, труда и ликвидная стоимость. Задача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются либо доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию (задача минимизации) в течение планируемого периода..

  Эксплуатация  оборудования планируется в течение  п лет, но оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньшую годовую прибыль r(t), где t — возраст оборудования. При этом есть выбор: либо в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену s(t), которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование за цену P, либо оставить оборудование в эксплуатации. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарная прибыль за все n лет была максимальной, учитывая, что к началу эксплуатационного периода возраст оборудования составляет  t0  лет.

  Входными  данными в этой задаче являются:

r(t) — доход от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет;

S (t) — остаточная стоимость оборудовании

Р — цена нового оборудования;

t0 — начальный возраст оборудования.

  Остановимся на k-м шаге решения задачи.

  Переменной  управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать два значения:

  С — сохранить

  3 — заменить

  оборудование  в начале k-го года.

  Переменной  состояния системы на k-м шаге является переменная  t.

  Функцию Беллмана Fk(t) определим как максимально возможную прибыль от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-й, если к началу k-ro года возраст оборудования ссклавля t лет. Применяя то или иное управление, мы переводим систему в некоторое новое состояние, а именно, если в начале k-гo года мы оборудование сохраняем, то к началу следующего (k +1)-го года его возраст увеличится на 1 (состояние системы станет равно t+1), за этот год оно принесет прибыль r(t), и максимально возможная прибыль за оставшиеся годы (с (к+ 1)-го по n-й) составит Fk+1(t+1).

  Если  же в начале k-го года принимаем решение на замену оборудования, то мы продаем старое оборудование возраста t лет за цену S(t), покупаем новое оборудование за цену Р и эксплуатируем его в течение к-го года, что приносит за этот год прибыль r (0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год, и за все годы с (k+1)-го по n-й максимально возможная прибыль будет Fk+1(1).

  Из  этих двух вариантов управления выбираем тот, который приносит большую прибыль. Уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид

(1)

Функцию Беллмана для первого шага (к=п) легко вычислить — это максимально возможная прибыль только за последний n-й год:

(2)

  Вычислив  значение функции Fn(t) по формуле (2), далее можно

  замену  посчитать Fn-1(t), затем Fn-2(t) и так далее до F1(t0).

Функция F1 (t0) представляет собой максимально возможную прибыль за все годы (с 1-го по n-й). Этот максимум достигается при некотором управлении, применяя которое в течение первого года, мы определяем возраст оборудования к началу второго года (в зависимости от того, какое управление является для первого года оптимальным, это будет 1 или t0+1). Для данного возраста оборудования по результатам, полученным на этапе условной оптимизации, мы смотрим, при каком управлении достигается максимум прибыли за годы со 2-го по n-й и так далее. На этапе безусловной оптимизации отыскиваются годы, в начале которых следует произвести оборудования.

2.решение  задачи

2.1.   Экономическая постановка  задачи . 

Гражданин приобрел новый автомобиль за 0.9 тыс .усл.ед.По мере его эксплуатации автомобиля у него изменяется ликвидационная стоимость и он требует ремонта ,временная динамика этих характеристик представлена в таблице. Определить оптимальный срок эксплуатации автомобиля и соответственно его замены на новый по такой же цене.

 

     2.2.   Численное решение  задачи

     Для упрощения работы с числами таблицы  и их дольнейшего решения выводим следующую таблицу.

     Решение.