Контрольная работа по "Информатика"

     Итак, метод Гаусса пригоден для решения  произвольных систем линейных уравнений. Данный метод заключается в последовательном преобразовании расширенной матрицы системы с целью приведения ее к ступенчатому виду. Так, на первом шаге неизвестное х₁ исключается из всех уравнений, кроме первого. Для этого достаточно:

     - при необходимости выполнить перестановку уравнений так, чтобы первым из них было уравнение с ненулевым коэффициентом при х₁;

     - разделить первое уравнение на коэффициент при х₁;

     - их прочих уравнений вычесть полученное первое, умноженное на коэффициент при х₁ в соответствующем уравнении.

     По  аналогичной схеме преобразования выполняются и дальше, до тех пор, пока матрица не будет приведена к ступенчатому, а в частном случае – к треугольному виду. Данный вид позволяет легко получить численное решение системы, если оно единственное (т.н. обратный ход), или же получить решение в общем виде, выразив группу базисных неизвестных через группу свободных неизвестных.

     При этом, если в процессе преобразований возникает уравнение, у которого все коэффициенты нулевые, оно исключается  из системы. Если же получается уравнение, у которого нулевые коэффициенты при неизвестных при ненулевом свободном члене, то система, очевидно, не совместна.

     Даже  из приведенного фрагментального описания метода хорошо видно, что он довольно сложно реализуется в Excel. Во-первых, если система имеет много уравнений, то объем преобразований над строками расширенной матрицы весьма велик; даже при использовании ряда полезных возможностей Excel по упрощению ввода формул,  решение может оказаться весьма трудоемким. Другая проблема связана с невозможностью автоматизации процесса решения без использования программирования, поскольку при решении системы может потребоваться перестановка уравнений. Поэтому данный метод разумно использовать только тогда, когда основная матрица системы не квадратная, или же вырожденная. В противном случае уравнение имеет единственное решение, и метод Гаусса использовать не рационально.

     Для применения метода Крамера необходимо вычислить определители n матриц (помимо определителя основной матрицы). Каждая из таких матриц получается из основной матрицы заменой ее некоторого столбца на столбец свободных членов. Формула Крамера выглядит следующим образом:

     

      где det A = |A| - главный определитель матрицы А,

                 det A_i = |A_i| (i=1, 2, …, n) – определители матриц А_i (вспомогательные определители), которые получаются из А заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

     Итак, метод Крамера может быть использован  для решения систем с квадратной и не вырожденной основной матрицей, которые имеют единственное решение.

      В матричной форме система записывается в виде:

A * X = Y,

      где A - матрица коэффициентов при  неизвестных (матрица системы).

          X - вектор-столбец неизвестных X = (x1, x2, …, xn).

          Y - вектор-столбец свободных членов.

В данном задании матрица коэффициентов А = , вектор-столбец свободных членов Y=

      Матричный способ решения системы уравнения  заключается в следующем: умножив  обе части матричного равенства  слева на обратную матрицу А^-1, получим А^-1 * А * Х = А^-1 * У. тогда решение системы запишется в следующем виде:

Х = А^-1*У

      Т.е. для решения системы (вычисления вектора-столбца Х) необходимо найти  для матрицы А обратную А^-1 и умножить ее на вектор-столбец У свободных членов.

     Данный  способ идеально подходит для решения  системы с квадратной не вырожденной основной матрицей, так как в Excel имеются встроенные функции матричного умножения и нахождения обратной матрицы. Поэтому если основная матрица системы квадратная и не вырожденная, то лучше всего применять для ее решения матричный способ.

     Итак, для того, чтобы определить подходящий метод решения системы (среди точных методов), достаточно вычислить определитель основной матрицы, чтобы проверить, является ли она вырожденной или нет. В данном случае основная матрица системы не вырожденная, так что для ее решения можно использовать как метод Крамера, так и матричный способ решения.

      Табличные формулы или формулы массива - очень мощное вычислительное средство Excel, позволяющее работать с блоками  рабочего листа как с отдельными ячейками. Табличные формулы в  качестве результата возвращают массив значений. Поэтому перед вводом такой формулы необходимо выделить диапазон ячеек, куда будут помещены результаты. Потом набирается сама формула. Ввод ее в выделенный диапазон ячеек осуществляется нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter. Это принципиально. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. При активизации любой ячейки из интервала, содержащего формулу массива, в строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные скобки. Именно фигурные скобки являются признаком табличной формулы. 

      2.2. Описание построения  электронного документа 

     Решим систему двумя способами: методом  Крамера и при помощи обратной матрицы.

     Для решения системы уравнений методом Крамера найдем главный определитель системы уравнений, определители вспомогательных матриц, а затем вычислим корни системы уравнений.

      В диапазон ячеек B1:D3 занесем элементы матрицы A, а в диапазон ячеек E1:E3 - элементы вектора B.

      В диапазонах ячеек B6:D8, B11:D13, B16:D18, B21:D23 разместим основную (А) и вспомогательные (А1, А2, А3) матрицы. Вставка скопированных диапазонов и рядов свободных членов осуществляется при помощи Специальной вставки – Вставить связь.

      В ячейке E7 вычислим значение главного определителя по формуле:

      =МОПРЕД(B6:D8)

      В ячейках E12, E17, E22 найдем значения вспомогательных определителей для вспомогательных матриц по формулам =МОПРЕД(B11:D13) для матрицы А1, =МОПРЕД(B16:D18) для матрицы А2, =МОПРЕД(B21:D23) для матрицы А3.

 

 В ячейках С26, С27 и С28 вычислим корни системы уравнений (Х1, Х2 и Х3). Воспользуемся формулами отношения определителя вспомогательной матрицы к главному определителю. Для этого запишем формулы =E12/E7, =E17/E7, =E22/E7 в соответствующие ячейки.

         

      Выполним  проверку правильности решения данной системы уравнений в диапазоне ячеек С31:С33. Для этого воспользуемся табличной формулой. Выделим диапазон ячеек С31:С33 и в строке формул запишем формулу {=МУМНОЖ(B1:D3;C26:C28)}. Затем одновременно нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. В строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные скобки. Именно фигурные скобки являются признаком табличной формулы.

      В результате выполненной проверки столбец из полученных чисел должен быть равен столбцу свободных членов, а именно 56, 24, 107.

   

     Для решения системы уравнений при  помощи обратной матрицы (матричным  способом) найдем обратную матрицу  А^-1, затем выполним умножение обратной матрицы на столбец свободных членов.

      В диапазоне ячеек B1:D3 разместим элементы матрицы A, а в диапазоне ячеек E1:E3 - элементы вектора B.

     Для нахождения обратной матрицы выделим  диапазон ячеек B6:D8, воспользуемся табличной формулой. Для этого в строку формул введем формулу {=МОБР(B1:D3)}. Затем одновременно нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала.

 

     Диапазон  ячеек B11:B13 зарезервируем под искомое  решение - вектор X (Х1, Х2, Х3). В данном расчете также воспользуемся табличной формулой. Выделим диапазон ячеек B11:B13, в строку формул введем формулу {=МУМНОЖ(B6:D8;E1:E3)}. Затем одновременно нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала.

     

     Выполним  проверку правильности решения данной системы уравнений. Для этого вновь используем табличную формулу. В выделенный диапазон ячеек B17:B19 введем формулу {=МУМНОЖ(B1:D3;B11:B13)}. Затем одновременно нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала.

     

      2.3. Анализ полученных  результатов 

      Во  втором задании была решена система  линейных уравнений двумя способами: методом Крамера и при помощи обратной матрицы. В обоих случаях  были использованы табличные формулы, которые в качестве результата возвращают массив значений.

      Также были использованы следующие формулы:

      =МОБР(матрица)  – нахождение обратной матрицы;

      =МОПРЕД(матрица)  – нахождение определителя матрицы;

      =МУМНОЖ(матрица1, матрица2) – возвращает произведение  матриц.

     Правильность  решения системы проверяется путем подстановки найденных значений неизвестных во все уравнения системы. Эта операция эквивалентна выполнению матричного умножения основной матрицы системы на вектор-столбец, составленный из предполагаемых значений неизвестных. В результате получаем вектор-столбец, в точности совпадающий с вектор-столбцом свободных членов системы. Это значит, что получено решение системы, которое является единственным.  
 

 

3. Задание 3 

     Найти оптимальное решение для модели линейного программирования. Решить задачу с использованием пакета «Поиск решения» ЭТ MS Excel.

L(X) = 4x₁ + 6x₂ - 14x₃ + 49x₅         min;

   21x₁ + 9x₂ - 2x₄ - 12x₅ >=58,

   110x₂ - 60x₃ + 80x₄ - 45x₅ =290,

   5x₂ + 27x₃ - 14x₄ + x₅ <=72,

   87x₁ – 6,4x₂ + 130x₄ =140,

   X_j >= 0 (j = 1,5). 

      3.1. Построение математической  модели для решения  оптимизационной  задачи 

      Широкий класс экономических задач составляют задачи оптимизации. Задачи оптимизации  предполагают поиск значений аргументов, доставляющих функции, которую называют целевой, минимальное или максимальное значение при наличии каких-либо дополнительных ограничений. MS Excel располагает мощным средством для решения оптимизационных задач. Это инструмент-надстройка, который называется «Поиск решения» и доступен через меню Сервис - Поиск решения.

       «Поиск решения» предоставляет  возможность:

1. использования планов большой размерности (т.е. с большим количеством варьируемых переменных);
2. задания ограничений сложного вида;
3. отыскания оптимального из допустимых решений;
4. генерирования множества различных решений, сохраняемых в дальнейшем в виде сценариев;
5. автоматического создания отчета по решению задачи.

      Оптимизационные задачи применяются в том случае, когда нужно определить не конкретный результат, а минимально или максимально  возможный. Если математическая модель исследуемого процесса и ограничения на значения ее параметров линейны, то задача достижения цели является задачей линейного программирования. Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

      - целевую функцию;

      - максимум или минимум (далее - оптимальный план) целевой функции;

      - ограничения на решение в виде системы линейных уравнений (либо неравенств);

      - требование неотрицательности переменных.