Графический пакет системы Mathematica

В простейшем случае (рис. 1.8) эта функция сама задает значения координаты х= 0, 1, 2, 3,… и строит на графике точки с координатами (х, у), выбирая у последовательно из списка координат.

 
Рис. 1.8. Построение графика по точкам

        Можно заметить характерный недостаток построений – точки (особенно при небольшом размере) имеют вид, заметно отличающийся от идеального круга. Функция ListPlot, особенно в ее второй форме (с заданными координатами х и y), удобна для вывода на график экспериментальных точек.

1.5.Получение информации о графических объектах 

Порой некоторые детали построения графиков оказываются для пользователя неожиданными и не вполне понятными. Причина этого кроется во множестве  опций, которые могут использоваться в графиках, причем в самых различных  сочетаниях. Поэтому полезно знать, как можно получить информацию о  свойствах графических объектов. Порой небольшая модификация  опций (например, замена цвета линий  или фона) делает график полностью  удовлетворяющим требованиям пользователя. Информацию об опциях графического объекта g дают следующие функции:

• FullAxes [g] – возвращает список опций координатных осей;
• Options [g] – возвращает упрощенный список опций;
• FullOptions [g] – возвращает полный список опций;
• InputForm[g] – возвращает информацию о графике (включая таблицу точек).

Пусть задан графический объект g:

g: = Plot[Sin[x],{х,-10.10}]

Ниже представлено получение упрощенного  списка опций этого графического объекта:

Options[g]

{PlotRange → Automatic, AspectRatio → 1/GoldenRatio,

DisplayFunction: > $DisplayFunction,

ColorOutput → Automatic, Axes → Automatic, AxesOrigin → Automatic,

PlotLabel → None, AxesLabel → None, Ticks → Automatic,

GridLines → None,

Prolog → {}, Epilog → {}, AxesStyle → Automatic,

Background →  Automatic,

DefaultColor → Automatic, DefaultFont: > $DefaultFont,

RotateLabel → True, Frame → False, FrameStyle → Automatic,

FrameTicks → Automatic!, FrameLabel → None,

PlotRegion → Automatic, ImageSize → Automatic,

TextStyle: > $TextStyle, FormatType: > $FormatType}

Для получения  полного списка опций вместе с  их значениями можно использовать функцию FullOptions. Аналогично можно получить и иные данные – они не приводятся ввиду громоздкости выводимой информации. Анализ графиков с применением этих функций может оказаться весьма полезным при построении и редактировании сложных графиков.

Функции FullOptions и Options можно также использовать в следующем виде:

• Options [g, option] – возвращает значение указанной опции option;
• FullOptions [g, option] – возвращает значение указанной опции option.

В этом случае можно получить информацию по отдельной опции.

1.6.Перестроение  и комбинирование графиков

При построении графиков часто требуется  изменение их вида и тех или  иных параметров и опций. Этого можно  достичь повторением вычислений, но при этом скорость работы с системой заметно снижается. Для ее повышения  удобно использовать специальные функции  перестроения и вывода графиков, учитывающие, что узловые точки уже рассчитаны и большая часть опций уже  задана. В этом случае удобно использовать следующую функцию-директиву:

• Show [plot] – построение графика;
• Show [plot, option → value] – построение графика с заданной опцией;
• Show [plot1, plot2,…] – построение нескольких графиков с наложением их друг на друга.

Директива Show полезна также и в том случае, когда желательно, не трогая исходные графики, просмотреть их при иных параметрах. Соответствующие опции, меняющие параметры графиков, можно включить в состав директивы Show. Другое полезное применение директивы – объединение на одном графике нескольких графиков различных функций или объединение экспериментальных точек и графика теоретической зависимости. Для этого также удобна функция Display-Together, которая будет описана при описании пакета расширения Graphics . В отличие от функции Show, она позволяет объединять графики без предварительного построения каждого из них.

Рисунок 1.9 показывает создание двух графических объектов g1 и g2 с отложенным выводом, а затем построение графиков функций и применение директивы Show для создания объединенного графика. В этом случае директива Show вначале строит исходные графики отдельно, а затем создает объединенный график. В приведенных ниже примерах оставлен только объединенный график, другие удалены командой меню Edit → Clear.

 

 
Рис. 1.9. Построение двух графических объектов и их объединение

Разумеется, при использовании  директивы Show надо побеспокоиться о выра

внивании масштабов графиков, налагаемых друг на друга. Полезно особо обратить внимание на возможность присваивания графиков функций переменным (в нашем примере – g1 и g2) в качестве значений. Такие переменные становятся графическими объектами, используемыми директивой Show для вывода на экран дисплея.

Директива Show часто применяется, когда надо построить на одном графике кривую некоторой функции и представляющие ее узловые точки (например, при построении кривых регрессии в облаке точек исходных данных).

1.7.Примитивы  двумерной графики

 

     Примитивами двумерной графики называют дополнительные указания, вводимые в функцию Graphics [primitives, options], которая позволяет выводить различные примитивные фигуры без задания математических выражений, описывающих эти фигуры. Примитивы могут выполнять и иные действия. Они заметно увеличивают число типов графиков, которые способна строить система Mathematica. Имеются примитивы для построения окружностей, эллипсов, кругов, овалов, линий и полигонов, прямоугольников и текстов. Полное описание примитивов дано в разделе приложения, посвященном данному уроку. Примитивы задаются подобно графическим функциям, например, Circle[{x, у}, r] строит окружность с радиусом г и центром в точке {х, у}.

Рисунок 1.10 показывает применение функции Graphics для построения одновременно трех графических объектов: отрезка прямой, заданного координатами его концевых точек, окружности с центром (0, 0) и радиусом 0.8 и текстовой надписи "Привет!". Каждый объект задан своим примитивом. Из-за искажения масштаба дисплеем компьютера окружность выглядит как эллипс.

 
Рис. 1.10. Построение трех графических объектов с помощью примитивов двумерной графики

На  рисунке  1.11 представлено построение пятиугольника, заданного координатами его вершин.

Приведенные примеры поясняют технику  применения графических примитивов. Но они, разумеется, не исчерпывают  всех возможностей этого метода построения геометрических фигур и объектов. Все указанные примитивы используются при построении как двумерных, так  и трехмерных графиков.

 
Рис. 1.11. Построение пятиугольника

1.8.Графики  функций, заданных в параметрической  форме

 

       Построение графиков в полярной системе координат возможно двумя способами. Первый способ основан на использовании обычной декартовой системы координат. Координаты каждой точки при этом задаются в параметрическом виде: x = f _x (t) и у⁼ f _y (t), где независимая переменная t меняется от минимального значения £ _min до максимального t _mах с шагом dt. Особенно удобно применение таких функций для построения замкнутых линий, таких как окружности, эллипсы, циклоиды и т. д. Например, окружность радиусом R может быть задана в следующей параметрической форме: х = R cos(t) и у = R sin(t), если t меняется от 0 до 2п. В общем случае радиус также может быть функцией параметра t.

Для построения параметрический заданных функций используются следующие графические средства:

• ParametricPlot [ {fx, fy}, {t, tmin, tmax} ] – строит параметрический график с координатами f х и f у (соответствующими х и у), получаемыми как функции от t;
• ParametricPlot [{{fx, fy}, {gx, gy},…}, {t, tmin, tmax}] – строит графики нескольких параметрических кривых.

Функции f x, f у и т. д. могут быть как непосредственно вписаны в список параметров, так и определены как функции пользователя.

Рисунок 1.12 показывает построение параметрически заданной фигуры Лиссажу. Она задается функциями синуса и косинуса с постоянным параметром R и аргументами, кратными t. Эти фигуры наблюдаются на экране электронного осциллографа, когда на его входы X и Y подаются синусоидальные сигналы с кратными частотами.

 
Рис. 1.12. Построение фигуры Лиссажу

       На одном графике можно строить две и более фигур с заданными параметрический уравнениями. На рис. 1.13 показан пример такого построения – строятся две фигуры Лиссажу, причем одна из них является окружностью. Больше двух фигур строить нерационально, так как на черно-белом графике их трудно различить.

 
Рис. 1.13. Построение на одном графике двух фигур Лиссажу

Теперь рассмотрим второй способ построения графиков в полярной системе координат (рис. 1.14). Здесь каждая точка является концом радиус-вектора R(t), причем угол t меняется от 0 до 2π. На рис. 1.14 функция R(t) задана как функция пользователя R[t_] с использованием образца t_ для  задания локальной переменной t в  теле функции.

Изменение параметра R позволяет заметно  увеличить число отображаемых функций  – фактически, их бесконечно много. Помимо описанной фигуры на рис. 1.14 дополнительно построена линия  окружности единичного радиуса. Чтобы  она имела правильные пропорции  на экране, задана опция AspectRatio → 1.

 
Рис. 1.14. Построение графика функции в полярной системе координат

Глава II. Трехмерная графика

2.1.Трехмерная графика. Построение контурных графиков.

Трехмерная графика, называемая также  ЗD-графикой, представляет в аксонометрической проекции объемное изображение поверхностей или фигур, которые описываются либо функциями двух переменных, либо параметрический заданными координатами объектов. В данном разделе описаны многие способы построения трехмерных графиков, начиная от простых контурных графиков и кончая графиками поверхностей и фигур с функциональной окраской.

Контурные графики, или графики  линий равных высот, используются для  отображения поверхностей на плоскости. Они удобны для выявления всех экстремумов функций в пределах области графика. Такие графики  являются линиями пересечения поверхности  с секущими горизонтальными плоскостями, расположенными параллельно друг под  другом. Они часто используются в  картографии.

Основными функциями и директивами  для построения контурных графиков являются следующие:

• ContourPlot[f,{x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] – порождает контурный график f как функции от х и у;
• ContourGraphics [array] – представляет контурный график массива array;
• ListContourPlot[array] – формирует контурный график из массива величин высот.

Этих функций достаточно для  построения практически любых монохромных  графиков такого типа.

Для управления возможностямиграфической функции ContourPlot используются опции, полный список которых выводит команда Options [ContourGraphics]. Помимо уже рассмотренных ранее опций используются следующие:

• ColorFunction – задает окраску областей между линиями;
• Contours – задает число контурных линий;
• ContourLines – задает прорисовку явных (explicit) контурных линий;
• ContourShading – задает затенение областей между контурными линиями;
• ContourSmoothing – задает сглаживание контурных линий;
• ContourStyle – задает стиль рисуемых линий для контурных графиков;
• MeshRange – задает области изменения х- и y-координат.

Рисунок 2.1. показывает построение контурного графика с окраской промежуточных областей между линиями. Окраска обеспечивается опцией ColorFunction → Hue. Опция ContourSmoothing → True задает сглаживание контурных линий.

 
Рис. 2.1. Контурный график поверхности sin(x у) с закраской областей между линиями равного уровня оттенками серого цвета

Следующий пример (рис 2.2.) иллюстрирует эффективность применения опции ContourShading. Если задать ее значение равным False, то заполнение пространства между линиями будет отсутствовать. Таким образом, в данном случае строятся только линии равного уровня.

 
Рис. 2.2. Контурный график, представленный только линиями равного уровня

Иногда  график оказывается более наглядным, если убрать построение контурных линий, но оставить закраску областей между  линиями. Такой вариант графика  более предпочтителен, если нужно  наблюдать качественную картину. Для  построения такого графика надо использовать опцию ContourLine → False(рис. 2.3.).

 
Рис. 2.3. Контурный график без пиний равного уровня

В данном случае используется вариант монохромной  окраски областей между линиями (PostScript). Он может оказаться предпочтителен, например, если предполагается печать графика монохромным принтером.