Есептеу жүйесі

 

Тақырыбы: Есептеу жүйесі.

Мақсаты: Есептеу жүйесін танып білу және сандардың бір есептеу жүйесінен екінші жүйеге көшуі.

 

1. Теориялық мәліметтер

 

Есептеу жүйесі деп сандардың жазылу ережелерінің жиынтығы.

Есептеу жүйесі позициялық және позициялық емес болып екіге бөлінеді. Позициялық және позициялық емес есептеу жүйелерінде белгілі бір символдар – сандар жиынтығы қолданылады. Позициялық емес есептеу жүйелері белгілі бір санды білдіретін символдар, осы санды жазуда орналасқан орнына байланысты өз мағынасын өзгертпейді. 

Позициялық есептеу жүйесінде  символдар саны теру кезінде есептеу  жүйесінің негізіне тең. Әрбір санның сан құрамындағы орны позиция деп аталады. Символ позициясының нөмірі сан құрамында разряд деп аталады. 0 разрядты кіші разряд деп аталады. Әрбір санға белгілі бір сан мөлшері тура келеді. А_(р) таңбасын енгізсек, ол А санына тең сан мөлшерін n санының a_k (k-0,..., n-1) есептеу жүйесіндегі р негізді санына тең екендігін білдіреді. Бұл санды мынадай реттілік түрінде көрсетуге болады:

А = а_n-1а_n-2 … а₁а₀.

Мұнда әрқашан a_k < р теңсіздігі орындалады.

Жалпы жағдайда дұрыс мәнді А санының сандық мөлшерін позициялық есептеу жүйесінде  шартты белгілері жиынтығы түрінде  көрсетуге болады:

А_(р) = а_n-1 *р ^n-1 + а_n-2 *р ^n-2 + … + а₁ *р ¹ + а₀ *р ⁰ ,  (1)

мұндағы: р — есептеу жүйесінің негізі (кейбір бүтін оң сан);

а —берілген есептеу жүйесінің саны; n — жоғарғы сан разрядының нөмірі.

Кейбір позициялық есептеу жүйесінде санның сандық эквивалентіне қол жеткізу үшін сандардың көбейтіндісін дәреженің  негізіне қосу қажет.

1. Екілік есептеу жүйесі

 

Екілік есептеу  жүйесіне сандарды теру:

{0, 1}, дәреже негізі р = 2.

Кейбір бүтін n-белгісіндегі екілік санның сандық эквиваленті мына (1) формулаға сай есептеп шығарылады:

А₍₂₎ = а_n-1 *2 ^n-1 + а_n-2 *2 ^n-2 + … + а₁ *2 ¹ + а₀ *2 ⁰  (2)

Бұл есептеу  жүйесінің болуы компьютердің жай  ғана қосулы және өшірулі қалпындағы логикалық схемадан құрылғанына байланысты. Копьютерге екілік есептеу жүйесінде санақ жүргізу оңай, бірақ адамға қиын. Мысалы, екілік 10100111 санын қарастырайық.

Осы екілік санның сандық тең мәнін есептеп шығарайық 2 формулаға сай, бұл шама келесі сандар қосындысына тең болады:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2' + 1*2°.

Екілік сандарды қосуды және алуды орындау (1-сурет) басқа позициялық есептеу жүйелерін қосу және алуды орындау сияқты орындалады, мысалы ондық есептеу жүйесін қосу және алу. Бірлікті жоғарғы разрядтан қарызға алу және жоғарғы разрядқа орын ауыстырып тура сондай жолмен орындалады. Мысалы:

1- сурет – Екілік сандарды қосу және алу

 

Екілік дәрежесін 1 кестеде көрсетеміз, ал екілік сандардың және олардың ондық және он алтылық тең мәндерін (эквивалент) 2 кестеде көрсетеміз.

 

1- кесте –  Екіліктің дәрежелері

k	2k
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11 12	2048 4096

2. Он алтылық есептеу жүйесі

 

Берілген есептеу  жүйесінде келесі сандар (цифрлар) жиынтығы бар:

{0, 1, 2, ..., 9, А,  В, С, D, Е, F}, жүйенің негізі р = 16.

Кейбір n- белгісіндегі бүтін он алтылық санның жалпы сандық тең мәні (1) кестеге сай есептеп шығарылады:

А₍₁₆₎ = а_n-1 *16^n-1 + а_n-2 *16^n-2 + … + а₁ *16¹ + а₀ *16⁰                         

Мысалы, он алтылық f45ed23c санының жалпы сандық тең мәні:    15*16⁷+4*16⁶+5*16⁵+14*16⁴+13*16³+2*16²+3*16'+12*16° .

 

 

2-кесте – Он алтылық сандар
Ондық сандар	Екілік тетрада	Он алтылық  сан
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	ОО11	3
4	0100	4
5	0101	5
6	О110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	А, а
И	1011	В, b
12	1100	С, с
13	1101	D, d
14	1110	Е, е
15	1111	F,f
16	10000	10

 

Он алтылық  есептеу жүйесі шығару екілік есептеу  жүйесіне қарағанда қиындау, атап айтқанда, жоғарғы разрядтарға орын ауыстыру ережелеріне қатысты (жоғарғы разрядтардан қарыз алып тұрғанда). Бұл жердегі негізгісі – келесі теңдікті есте сақтау керек:

(l + F = 10)₁₆

Бұл орын ауыстырулар  он алтылық сандарды қосу және алуды  орындауда өте маңызды. Мысал 2-суретте  берілген:

2- сурет – Он алтылық сандарды қосу және алу

 

3. Ондық есептеу жүйесі

 

Бұл есептеу  жүйесін біз күнделікті өмірде әрдайым қолданатын болғандықтан айрықша белгілі. Бұл есептеу жүйесінде келесі сандар жиынтығы бар:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, дәреже негізі р = 10.

Кейбір n-белгісінде бүтін ондық санның жалпы сандық тең мәні (1) формулаға сай есептеп шығарылады:

А₍₁₀₎ = а_n-1 *10^n-1 + а_n-2 *10^n-2 + … + а₁ *10¹ + а₀ *10⁰

Мысалы, А₍₁₀₎ - 4523 санының мәні: 4*10³+5*10²+ 2*10¹ +3*10⁰ тең .

1.4 Сандардың бір есептеу жүйесінен екінші есептеу жүйесіне көшірілуі

1.4.1 Ондық есептеу жүйесіне көшіру

Көшірудің бұл түрі ең оңай. Оны әдетте ауыстыру алгоритмі деп аталатын, мәнісі келесіде берілген: ең алдымен ондық есептеу жүйесіне р дәрежесінің негізі көшіріледі, сосын – бастапқы санның цифры көшіріледі. Нәтижелері (1) формулаға қойылады. Алынған сан ізделіп отырған нәтиже болады.

1.4.2 Екілік есептеу жүйесіне көшіру

Ондық есептеу жүйесінен көшіру

 

1. Ондық А санын 2 бөлу. Бөлінді q есте сақтау және қалдық а.
2. Егер 1 әрекет нәтижесі бойынша q≠0 болса, онда оны бөлінгіш деп қабылдап, а қалдығын санның кезекті маңызды цифры болатындай етіп белгілеу (ондық сан), бөлінгіш ретінде 2 әрекетте алынған бөлінді қатынасады.
3. Егер 1 әрекет нәтижесінде бөлінді q = 0 болса, алгоритм тоқтайды. Қалдықтарын алынатын кері тәртіп бойынша теріп жазу. Бастапқы санның екілік тең мәні шығады.

Мысалы, 247₁₀ санын екілік есептеу жүйесіне аудару қажет болса (3-сурет):

 

3- сурет – Екілік есептеу жүйесіне көшіру

 

Нәтижеге қол  жеткізу үшін қалдықтарын тексеріп шығару реті стрелкамен көрсетілген  және өзгеріс нәтижесі 11110111₂ тең.

 

1.4.3 Он алтылық есептеу жүйесінен көшіру

Бұл ауыстыру мәні он алтылық цифрлардың екілік тетрадалармен 2 кестеге сай ауыстырылу ретіне байланысты.

Мысалы, e4d5₁₆ - 1110 0100 1101 0101₂.

1.4.4 Он алтылық есептеу жүйесіне көшіру

1.4.4.1 Ондық есептеу жүйесінен көшіру

Ондық есептеу  жүйесінен екілік есептеу жүйесіне көшіру.

1. Ондық А санын 16-ға бөлу. Бөлінді q есте сақтау және қалдық а.
2. Егер 1 әрекет нәтижесі бойынша бөлінді q≠0 болса, онда оны жаңа бөлінгіш деп санап, қалдығын жазып, 1 әрекетке оралу керек.
3. Егер бөлінді q = 0 болса, алгоритм жұмысын тоқтату қажет. Қалдығын кері алыну ретіне қарай теріп жазу керек. Бастапқы ондық санның он алтылық тең мәні шығады.

Мысалы, 32 767₁₀ санын он алтылық есептеу жүйесіне өзгерту қажет (4-сурет).

4- сурет – Он алтылық есептеу жүйесіне көшіру

 

Нәтижеге қол  жеткізу үшін қалдықтарын тексеріп шығу реті 4-суретте стрелкамен көрсетілген. Өзгеріс нәтижесі 7fff₁₆ тең.

 

1.4.4.2 Екілік есептеу жүйесінен көшіру

 

Алгоритм идеясы екілік есептеу жүйесінен он алтылық есептеу жүйесіне көшіру идеясына ұқсас. Оның мәні мұнда, екілік сан кіші разрядтан бастап тетрадаларға бөлінеді. Ары қарай әрбір тетрада 2-кестеге сай өзіне сай келетін он алтылық санға келтіріледі.

Мысалы, 11100101101011110101100011011000111101010101101₂ санын екілік жүйеден он алтылық жүйеге ауыстыру қажет болды.

Оны тетрадға бөлейік:

0111 0010 1101 0111 1010 1100 0110 1100 0111 1010 1010 1101.

Тетрада бойынша нөлдер мен бірліктер ретін он алтылық суреттеуге келтіреміз: 7 2 d 7 a c 6 c 7 a a d.

Нәтижесінде біз  мынадай өзгеріс нәтижесіне қол  жеткіздік:

11100101101011110101100011011000111101010101101₂ - 72d7ac6c7aad₁₆.

1.4.5 Бөлшек сандарды көшіру

 

Бөлшек сандарды көшірудегі практикада ең көп қолданылатын тәсілдерін қарастырайық. Ол үшін (1) формуланы келесі түрге өзгертеміз:

А_(р) = а_n-1 *р ^n-1 + а_n-2 *р ^n-2 + … + а₁ *р ¹ + а₀ *р ⁰ +а_-1 *р ^-1 + а_-2 *р ^-2 + … + а_-m*р^-m (3)

Садарды көшіру операцияларын мысалдар ретінде  қарастырайық.

Мысал 1:

Екілік есептеу  жүйесіндегі бөлшекті ондық есептеу  жүйесіне ауыстыруды көрсетейік 110100,01001011₂.

Көшіру үшін (3) формуланы қолданамыз:

110100,01001011₂=1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+0*2°+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+

+0*2^-4+1*2^-5+0*2^-6+1*2^-7+1*2^-8.

Бөлшектің бүтін  бөлігін есептеп шығару 1*2⁵ +1*2⁴ +0*2³ + 1*2² +0*2' +0*2° сіздерге қиындық туғызбас. Есептің басқа бөліктерін есептеп шығару үшін 3-кестені пайдалану ыңғайлы.

 

3- кесте – 2 санының құралуының теріс дәрежелерінің мәнісі

m	2m
1	0,5
2	0,25
3	0,125
4	0,0625
5	0,03125
6	0,015625
7	0,0078125 және т.б.

110100,01001011₂ ондық ұсынуға көшіудің нәтижесінің мәнін санайық.

Мысал 2:

Он алтылық  есептеу жүйесінде бөлшекті ондық  ұсынуға ауыстыру 1df2,a1e4₁₆.

Тағы да (3) формуланы  қолданамыз да алатынымыз:

1df2,a1e4₁₆ = 1*16³ + 13*16² + 15*2¹+2*16⁰ + 10*16^-1+1*16^-2 +14*16^-3 + 4*16^-4

16 санының теріс дәрежелерінің мәні 4-кестеде келтірілген.

 

4- кесте – 16 санының теріс дәрежелерінің мәні

m	16m
1	0,0625
2	0,00390625
3	0,000244140625
4	0,0000152587890625
5	0,00000095367431640625
6	0,000000059604644775390625
7	0,0000000037252902984619140625

 

Екілік есептеу  жүйесінен он алтылық есептеу  жүйесіне көшіру және кері көшіру тетрадалар негізінде іске асырылады.

Ондық бөлшектердің екілік және он алтылық есептеу жүйесінде  берілуін қарастырайық.

Ондық бөлшектің басқа есептеу жүйесіне көшірудің жалпы алгоритмін келесі әрекеттер реттілігімен көрсетуге болады:

1. Ондық бөлшектердің бүтін бөлігін бөліп алып, оны таңдап алынған есептеу жүйесіне жоғарыда қарастырылған алгоритм бойынша көшіру қажет.
2. Бөлшек бөлігін бөліп алып оны таңдап алынған есептеу жүйесінің негізіне көбейту қажет.
3. Ондық бөлшектің көбейтуден кейін пайда болған бөлшек бөлігіне бүтін бөлігін бөліп алып оны жаңа есептеу жүйесіндегі үтірден кейінгі бірінші сандар разряды ретінде қабылдау қажет.
4. Егер көбейтуден кейін мәннің бөлшектік бөлігі нөльге тең болса, онда көшіру процессін тоқтату қажет . Егер есептеуде қажеттілікке байланысты есептеуге қол жеткізілсе, көшіру процессін тоқтатуға болады. Ондай болмаған жағдайда 3 әрекетке көшу қажет.

Мысал 3:

Ондық бөлшек 108,406₁₀ екілік есептеу жүйесіне көшіру қажет.

1. Ондық 108.406₁₀ бөлшектің бүтін бөлігін екілік есептеу жүйесіне көшіреміз (5- сурет).