Шпаргалка по "Геометрии"

Как найти площадь  круга, квадрата, треугольника?

 

Как найти площадь  круга?

Окружность —  замкнутая плоская кривая, все  точки которой одинаково удалены  от данной точки (центра), лежащей в  той же плоскости, что и кривая.

Круг — часть  плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус —  отрезок прямой, соединяющий центр  окружности с какой-либо её точкой, а также длина этого отрезка. Обычно обозначается R.

Диаметр — отрезок  прямой, соединяющий пару наиболее удаленных друг от друга точек  окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр всегда проходит через центр окружности. Обычно обозначается D или Ø. Диаметр равен удвоенному радиусу окружности: D = 2R, R = D/2.

Отношение длины  окружности к её диаметру одинаково  для всех окружностей. Это отношение  есть трансцендентное число, обозначаемое греческой буквой пи: π=3,14159...  

Длина окружности: L = 2πR = πD 

Радиус окружности: R = L/2π 

Диаметр окружности: D = L/π 

Площадь круга: S = πR2 = πD2/4 

Радиус круга: R = √(S/π), где √ — корень квадратный 

Диаметр круга: D = 2√(S/π) 
 
 

Как найти площадь  треугольника?

Треугольник —  плоская геометрическая фигура, ограниченная тремя отрезками попарно пересекающихся прямых. Точки пересечения называются вершинами треуголиника и обычно обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C. Величины углов при вершинах, по которыми пересекаются прямые принято обозначать соответствующими греческими буквами: α, β, γ. Противолежащие углам отрезки прямых, ограничивающие треугольник, называются ребрами (сторонами) треугольника и обозначаются соответственно a, b, c.  

Ниже приведены  формулы по которым можно найти  площадь S треугольника с вершинами A, B, C, величинами соотвествующих углов  α, β, γ и противолежащими им сторонами a, b, c: 

S = a·b·sin(γ)/2 = a·c·sin(β)/2 = b·c·sin(α)/2, 

S = a2·sin(β)·sin(γ)/(2·sin(β + γ), 

S = √(p·(p – a)·(p – b)·(p – c)) (формула Герона), где  √(...) — обозначение квадратного  корня, p = (a + b + c)/2 — полупериметр  треугольника. 

S = a·ha/2 = b·hb/2 = c·hc/2, где ha — высота, опущенная из  вершины A на сторону a, hb — из вершины B на сторону b, hc — из вершины C на сторону c. 

S = r·p, где r —  радиус вписанной в треугольник  окружности, p = (a + b + c)/2 — полупериметр  треугольника. 

S = a·b·c/4R, где  R — радиус окружности описанной  вокруг треугольника. 

Если заданы декартовы координаты точек на плоскости A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то площадь S можно найти по следующей формуле (через определитель второго порядка для матрицы разниц координат): 

S = |(x1 – x3)·(y2 – y3) – (x2 – x3)·(y1 – y3)|/2, где  |...| — обозначение модуля. Эта формула получена из выражения для векторного произведения двух векторов на плоскости, которое по абсолютной величине равно значению определителя, составленного из их координат. 
 

Как найти площадь  прямоугольного треугольника?

Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого составляет 90° (является прямым). Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, прямой угол в треугольнике может быть только один.  

Ниже приводятся формулы формулы вычисления площади S, специфическикие для прямоугольных треугольников. Обозначения: с — длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу), a, b — длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу), α, β — величины противолежащих этим катетам углов (α + β = 90°). 

По двум катетам: S = a·b/2 

По катету и противолежащему углу: S = a2/2tg(α) = b2/2tg(β) 

По катету и  прилежащему углу: S = a2·tg(β)/2 = b2·tg(α)/2 

По гипотенузе и углу: S = c2·sin(α)·cos(α)/2 = c2·sin(β)·cos(β)/2 = c2·sin(α)·sin(β)/2 

По гипотенузе и катету: S = a·sqrt(c2 – a2)/2 = b·sqrt(c2 – b2)/2, 

где sqrt(...) — обозначение  квадратного корня. 

Как найти площадь  квадрата?

Квадрат (от лат. quadratus — четырёхугольный) — правильный четырёхугольник у которого все  стороны и углы равны между  собой. Может быть определён как  прямоугольник, у которого две смежные стороны равны между собой, или как ромб, у которого все углы прямые.  

Симметрия. Квадрат  обладает наибольшей симметрией среди  всех четырёхугольников. Он имеет:

четыре оси  симметрии второго порядка (что  для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам;

одну ось симметрии  четвёртого порядка (проходящую через  центр квадрата перпендикулярно  его плоскости). 

Диагонали. У  квадрата есть две диагонали, соединяющие несмежные вершины. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов, пересекаются в центре квадрата под прямым углом и делят друг друга пополам. Каждая диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Две диагонали вместе делят квадрат на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. 

Если обозначить сторону квадрата a, то длина диагонали d вычисляется по теореме Пифагора: 

d = √(a2 +a2) = √(2a2) = √2·a. 

Вписанная и  описанная окружности. Вписанная  в квадрат окружность касается середины всех сторон квадрата и имеет радиус r, равный половине стороны квадрата a. Описанная вокруг квадрата окружность проходит через все его вершины и имеет радиус R, равный половине длины диагонали квадрата d: 

r = a/2,

R = d/2 = (√2/2)·a. 

Периметр и площадь. Периметр P квадрата складывается из длин четырех его сторон. Площадь S квадрата равна квадрату длины его стороны: 

P = 4a = 8r = 2√2·R,

S = a2 = 4r2 = 2R2. 

Как найти площадь  трапеции?

Трапеция - четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции), а две другие - непараллельны (боковые стороны трапеции). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.   

Виды  трапеции 

- Равнобокая  - трапеция, у которой равны боковые  стороны.

- Прямоугольная  - трапеция, один из углов которой  прямой. 

Свойства  трапеции 

- Средняя  линия трапеции параллельна основаниям  и равна их полусумме. 

- Параллельные  прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные  отрезки(Обобщённая теорема Фалеса). 

- У равнобокой  трапеции углы при основании  равны. 

- У равнобокой  трапеции диагонали равны. 

- Если  трапеция равнобокая, то около  неё можно описать окружность. 

- Если  сумма оснований трапеции равна  сумме боковых сторон, то в  неё можно вписать окружность. 

Площадь трапеции 

S=m*h, где m - средняя  линия трапеции, h - высота трапеции. 

S=1/2*(a+b)*h, где  a, b - основания трапеции, h - высота  трапеции. 

S=1/2*AC*BD*sin(AC^BD), где  AC, BD - диагонали трапеции, 

sin(AC^BD) - синус  угла между диагоналями трапеции. 

S=((a+c)*(корень из ((a+b-c+d)*(a-b-c+d)*(a+b-c-d)*(-a+b+c+d)))/(4*(a-c)), где a, b, c, d - стороны трапеции. 

Как найти площадь  и периметр прямоугольника? 

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются длиной его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a=b) называется квадратом. 

Свойства прямоугольника

противолежащие  стороны равны и параллельны  друг другу;

диагонали равны  и в точке пересечения делятся пополам;

сумма квадратов  диагоналей равна сумме квадратов  всех (четырех) сторон. 

Периметр P прямоугольника равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу 

P = 2(a + b). 

Длина диагонали d прямоугольника вычисляется по теореме  Пифагора: 

d = √(a2 + b2). 

Углы между  диагоналями прямоугльника определяются соотношением сторон: 

α = 2arctg(a/b), 

β = 2arctg(b/a), 

α + β = 180°. 

Площадь S прямоугольника равна произведению сторон, прилежащих к одному углу: 

S = a·b.  

Также можно  выразить площадь прямоугольника через длину диагоналей и угол между ними: 

S = d2·sin(α/2)·cos(α/2). 

Радиус описанной  вокруг прямоугольника окружности равен  половине длины диагонали:  
 

R = √(a2 + b2)/2.  

В прямоугольник (если он не квадрат) нельзя вписать  окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Максимальный радиус окружности, которая может поместиться внутри прямоугольника, равен половине его меньшей стороны. 
 

Как найти объем куба?

Объем V куба (гексаэдра) со стороной a равен величине этой стороны, возведенной в третью степень: V = a3. Объем куба находят перемножая площади квадрата a2, лежащего в его основании на высоту куба a. 
 

Поскольку объем  куба вычисляют как третью степень  его стороны, возведение в третью степень называют возведением в  куб, а получаемый при этом результат — кубом исходной величины. 

Объем куба можно  также выразить через величину его  большой диагонали D и дианонали d его квадратной грани: 

V = a3 = d3/2·√(2) = d3/3·√(3). 

Площадь поверхности S куба со стороной a равна сумме площадей шести его квадратных граней, каждая из которых равна a2. Таким образом, плошадь куба S = 6a2. 

Суммарная длина  ребер куба L = 12a, поскольку у куба 12 ребер, каждое длиной a. 

Как найти объем шара?

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все  точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние является радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра, который называется осью шара, а его оба конца полюсами. Поверхность шара — сфера. Если секущая плоскость проходит через центр, то сечение называется большим кругом, другие сечения называются малыми кругами. 

Площадь поверхности  шара (сферы): 

S=4pr2, где p (пи) ~ 3,14, r  - радиус шара 
 

Объем шара: 

V=(4pr3)/, где p (пи) ~ 3,14, r  - радиус шара 
 

Как найти площадь ромба? 

Ромб (греч. qоubоc) — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми  углами называется квадратом.

Этимология

Термин «ромб» образован от греч. qоubоc — «бубен». Если сейчас бубны, в основном, делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён когда бубны не были круглыми. Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского. 

Свойства: 

- противолежащие стороны  равны и попарно  параллельны; 

- противоположные  углы равны; 

- диагонали перпендикулярны; 

- диагонали точкой  пересечения делятся  пополам; 

- сумма углов, прилежащих  к одной стороне,  равна 180°;