Оглавление

ПРИЛОЖЕНИЕ 1-8

 

Введение

    В первом семестре 9 класса мы изучили уравнение окружности на плоскости. Изучение этой фигуры начиналось еще в 7 классе. В пункте 21, стр. 42 , Геометрия 7-9, Л. С. Атанасян  показаны  способы построения изображения окружности: рис. 80 с помощью циркуля; рис. 81 построение окружности с помощью веревки. На этих рисунках можно увидеть, что изображение окружности искажено. Зрительно окружность приобретает «вытянутые» формы. Искажение окружности можно явно наблюдать, гуляя по аллеям вновь построенных парках нашего города. Клумбы имеют форму окружности разного радиуса. В этом не приходится сомневаться, когда стоишь рядом. Только стоит отойти от нее, то видишь абсолютно другую форму – называемую эллипсом.

    Окружность  человек создает не только под  ногами, чтобы любоваться «правильными»  формами фигуры. Святое для человека – это его дом. Каждый стремиться сделать его комфортным и красивым  для проживания. Дизайну подвержено все: пол, стены, двери…и даже потолок! (См. Приложение 1-3). Мы стали собирать фотографии потолков, выполненные в городе Салавате. Некоторые взяли из Интернета, и заметили следующее: формы эллипса на потолке, а так же фрагменты этой линии встречаются чаще окружности. Мы, думаем, что популярность эллипса связана с тем, что комнаты в квартирах имеют чаще прямоугольную форму, чем квадратную.

    Начертить окружность, даже на потолке, несложно. Для этого нужно два человека. Один держит конец веревки, второй другим концом проводит линию. Но как построить эллипс? Это невозможно сделать, не зная об эллипсе ничего.

    Поэтому тему исследовательской работы мы решили выбрать эллипс. Целью нашей исследовательской работы является приобретение умений и навыков построения эллипса любых размеров. Это нам необходимо для того, чтобы воплотить в интерьере квартир свои самые лучшие проекты. Для достижения этой цели нам нужно выполнить следующие задачи:

    1. Изучить эллипс – как геометрическую  фигуру.

    2. На основе полученных знаний  составить алгоритмы построения  эллипса.

    3. Собрать фотографии потолков  и на их основе разобрать  решение бытовых задач на построение.

    4. Создать свой собственный проект потолка, реализовав её на бумаге, а в будущем, возможно, реально. 
 
 

     1. ЭЛЛИПС КАК СЖАТАЯ ОКРУЖНОСТЬ

    Возьмем окружность А`DАD` радиуса а (рис.1).                                

    О – центр окружности. ОD=ОD`=ОА=ОА`=а.

    На  радиусах ОD и ОD` отложим от точки О равные отрезки ОВ=ОВ`=b (b<a).

    Возьмем произвольную точку N, лежащую на окружности. От точки N опустим перпендикуляр NP на диаметр АА'. На перпендикуляре NP отметим точку М таким образом, чтобы выполнялось равенство:

    Такое построение преобразует каждую точку N в другую, соответствующую ей точку М, лежащую на том же перпендикуляре NP, причем РМ получается из РN уменьшением в одном и том же отношении b: а. 

    Такое преобразование называется равномерным сжатием.

    Определение: линия АВА`B`, в которую преобразуется окружность, после равномерного сжатия называется эллипсом.

     Отношение k=b:а называется коэффициентом сжатия эллипса.

                                                         

    2. УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА

     Введем систему  координат, так чтобы начало координат  совпало с центром эллипса, а  координатные оси с осями эллипса. (Рис.2)

    Рассмотрим  прямоугольный треугольник ОРN.

    По  теореме Пифагора:  ОР²+ PN ² = ON². 

ON=R=a

M(x; y) - точка эллипса,

где x=OP; y=MP                                         

                                                                                                                                                  

Эллипс получен  из окружности радиуса а равномерным сжатием с коэффициентом:

   Отсюда         или           

Таким образом, имеем:                    

    Каноническое  уравнение эллипса с центром в начале координат имеет вид:

    Частный случай, если:

          b=a, то          (∙а²)                                               x² + y²= a² ;   R=a

Получаем  уравнение окружности с центром  в начале координат радиуса а. 

3. СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА

    1. Характеристическое свойство эллипса: для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до двух данных точек F и F₁ есть величина постоянная, равная 2а.

      F₁B + BF =2a      и      F₁M + MF =2a. (Рис.3)

Точки F и F₁ называются фокусами эллипса.    

    Введем  систему координат.

О (0;0) – центр эллипса

Вершины эллипса:  А₁(-а;0), А(а;0), B₁(0;-b), В(0;b).

Найдем координаты фокусов F и  F₁

B – точка эллипса, значит из характеристического свойства

следует что:   F₁B + BF = 2a,    т.к. F₁B=BF,   то FB=a.

      Из  прямоугольного FOB  по теореме Пифагора:

OF² = BF² – OB²      OF² = a² – b² ,

пусть а² – b² = c²            OF² = c²                   OF>0, c>0

        OF = c                   OF₁=c

                

Значит  F(c;0), F₁(-c;0), где длина отрезка FF₁= 2c называется фокусным расстоянием.

MF₁; MF – фокальные радиусы точки М.

    2. Симметрия

      Эллипс  обладает симметрией относительно оси  х, оси у, начала координат.                                                                                    

Если точка  М₁(x₀; y₀) лежит на эллипсе, то и точки M₂(-x₀;y₀), M₃(-x₀;-y₀), M₄(x₀;-y₀) лежат на эллипсе. (Рис.4) 
 
 
 
 

    Это позволяет ограничиться построением эллипса в первой четверти, а затем получившуюся кривую с помощью зеркального отражения построить в остальных четвертях.

4. ФОРМА ЭЛЛИПСА

          Эксцентриситетом  эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси эллипса.

    Обозначение: ε «эпсилон».    Формула:        с>0,   а>0.

    Так как с<а, то ε<1 , значит эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Отсюда: или .

                                                                      

                                                     
 

    Эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Чем больше ε, значит, меньше k эллипс более вытянут (рис.5).

Чем меньше ε, тем  больше эллипс становится «похожим»  на окружность. (рис.6)

Частный случай: когда b=a, то  = k=1    =>  ε=0.

Эллипс обращается в окружность. 

5. ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА

5.1 Первый способ

    Принцип построения основан на определении  эллипса как сжатой окружности.   

Коэффициент сжатия:   

1. Проводим две окружности, центром которых является точка О, c радиусами R₁=OA=a, R₂=OB=b.

2. Проводим произвольный луч ON, луч ON пересечет две окружности в точках К и N.

3. Проводим прямые KD||Oy;  NP||Oy; KM||Ox.

R₁=ON=a;   R₂=OK=b.

    Рассмотрим прямоугольные треугольники KOD и NOP.

     KOD = NOP (общий) => KOD    NOP => .

        Так как KD=MP  =>     M – точка эллипса, полученная равномерным сжатием окружности. 

    4.  Аналогично строятся другие точки эллипса (см. п.2, 3).  
 
 

5.2 Второй способ

    Второй  способ основан на каноническом свойстве эллипса, в котором говорится, что для любой М – точки эллипса справедливо F`M + FM = 2a.

    1.С помощью циркуля радиусами R₁=a  и R₂=b отложим на координатной плоскости OA=OA`=a; OB=OB`=b (рис.8).

    2. Ставим ножку циркуля на точку В (рис.9).

    Проводим  окружность радиуса R=a.(объяснение рис.3). Окружность пересечет ось x в точках F и F`.

 
 
 
 
 
 

    3. Возьмем любую точку K  принадлежащая AA` (рис.10).

          AA`= 2a A`K+ KA=2a

Пусть A`K=r₁;   KA=r₂ => r₁ + r₂ = 2a

    4. Проводим окружность радиуса r₁, центр точка F`; окружность радиуса r₂.  центр – F.

         Точки пересечений окружностей М и М` - точки эллипса. 
 
 
 
 
 

5.3 Третий способ

    Третий  способ – практический способ построения эллипса больших размеров.

    Пусть требуется начертить эллипс с большой полуосью а, и малой полуосью b.

1. Строим взаимно перпендикулярные прямые. Точка пересечения прямых – центр эллипса.
2. Отмечаем вершины эллипса.
3. Берем нить длиной 2а=АА'.
4. Можно найти фокусы по формуле , или сложить нить пополам и из вершины В, провести окружность радиуса а.
5. Если концы нерастяжимой нити длиной 2а закрепить в фокусах F и F` и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами F и F` и суммой фокальных радиусов 2а (рис.11).

 
 

 
 
 
 
 
 
 

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

   При конструировании  потолков дизайнеры решают следующие  задачи, которые мы классифицировали на пять групп.

   Задача  №1. Построение эллипса по его осям (полуосями). Алгоритм решения этой задачи описан нами в п. 5.2, стр.6 исследовательской работы.