Чотирикутник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання задач

 

 

 

Дано : ABCD   - чотирикутник, AC =                          = 12см, BD =8см

                                                                                                              M  - середина  AB                                 

  N - середина BC

F - середина CD

  K- середина AD

Знайти: PNMFK

 

 

 

 

 

Розв’язання

Оскільки M  і N – середини  AB і BC  Відповідно,то MN – середня лінія ∆ABC.

За властивість середньої лінії  трикутника, MNIIAC і MN=AC=6см. Аналогічно, KF – середня лінія ∆ACD, тоді KFIIAC і KF=   =AC=6см.Отже, MNIIKF і MN=KF=6см.

За ознакою, MNFK – паралелограм.

PNMFK=2(MN+MK).

MK – середня лінія ∆ABD, MKIIBD і MK=BD=4см.

PNMFK= 2X(6+4)=20см.

Відповідь: 20см.

 

 

         

Дано:ABCD- паралелограм,-                                   

BD – висота,BD=BC,

Відстань від точки B до

прямої  CD 3 см

 

Знайти: CD

 

D

 

 

Розв’язаня

Проведемо BH перпендикулярно CD, BH- відстань від B до CD , BH=3см,

Оскільки BD=CD , ∆BCD то – рівнобедрений з основою CD, BH - висота, проведена до основи, тоді BH - медіана Отже, DH=CH= CD.

∆BDH: кут BHD=90*, BH=3см, BD = Xсм

За теоремою Піфагора, ,тоді , = + , тоді   = -  , = - 9,

  =

Отже, =CD= (1)

∆BDC: кут DBC=90*(оскільки перпендикулярна і паралельна , то перпендикулярна),

BD =BC=X см

За теоремою піфагора, = + , = + = 2.

Отже = CD=X (2)

З (1) і (2) маємо

2= X 

4( - 9) = 2

4 - 36= 2

2 = 36

 = 18

X = 3

=2(3) =2 x 9 x 2 = 36 ,тоді CD = 6см.

Відповідь: 6 см.

 

 

 Дано: ABCD-паралелограм,

             AB=4см,

  AF- бісектриса кута BAD,

  BF - бісектриса кута ABC.

Коло(O;r)проходить

Через точки A,B,F.

Знайти:r.

Розв’язання

За умовою, AF – бісектриса кута BAD, тоді кут BAF = куту DAF =   кута BAD.

BF – бісектриса кута ABC, тоді кут ABF= куту CBF =    кута ABC.

За властивістю кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони:

Кут BAD + кут ABC = 180*

Кут BAF+ кут ABF =   кута BAD +   кута ABC =   x 180* = 90*

 ∆ABF: кут BAF + кут ABF + кут AFB = 180*, а кут BAF + кут ABF = 90*, тоді кут AFB = 90*.

Отже, ∆ABF - прямокутний з гіпотенузою AB. Коло (O;r) проходить через точки A, B і F, отже, це коло, описане навколо ∆ABF .

Відомо що радіус кола, описаного  навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині його гіпотенузи, тоді

r = AB = =2см.

Відповідь 2см.

 

 

Дано: ABCD – ромб,

            PABCD  =100см

                                                                                                                       BH - висота

  BD : AC = 3 : 4

Знайти: BH

 

  Розв’язання

PABCD = 4AB, тоді AB= PABCD, AB = 100x =25 (см).

Нехай k - коефіцієнт пропорційності (k>0)

Тоді BD = 3k см, AC = 4k см

За властивістю діагоналей ромба, BO = OD = = 1,5k см,

AO = CO = = 2k см (О – точка перетину діагоналей) AC перпендикулярна BD.

∆AOB: кут AOB = 90*,BO = 1,5k см, AO = 2k см

За теоремою Піфагора, = + .

 = +

6,25 = 625

 = 100

K=10

BD = 10 x 3 = 30 (см), AC = 10 x 4= 40 (см).

SABCD = AC x BD, SABCD = =600 ().

SABCD =AD x BH, тоді BH = = =24 (см).

Відповідь: 24см.

 

 

Дано: ABCD – ромб,

BD=30 см

AC=40 см

 

 

Знайти: PABCD

Розв’язання

Нехай О – точка перетину діагоналей AC і BD . За властивістю діагоналей ромба, AC перпендикулярна BD і BO = OD = BD = 30 x = 15(см),

AO = OC = = 40 x =20(см).

∆AOB: кут AOB = 90*, AO = 20см, BO = 15см.

За теоремою Піфагора, = + .

= + =400 + 225 =625,

Тоді AB = 25см.

Оскільки всі сторони ромба  рівні, то PABCD = 4AB,

PABCD = 25 x 4 = 100(см).

Відповідь 100см.

 

 

  Дано: ABCD - прямокутник

Коло(О;R ) – описане навколо

ABCD,

AB = 18см,кут ABD  = 60*.

Знайти: R.

 

 

 

Розв’язання

∆ABD: кут BAD = 90* - кут прямокутника, тоді

Кут ABD + кут ADB = 90*

За умовою, кут ABD = 60*, тоді кут ADB = 30*.

За властивістю катета, який лежить проти кута 30*:

AB = BD. Отже, BD = 2AB = 2 x 18 = 36(см).

R = BD = 36 x    =18(см).

Відповідь 18см.  

Дано: ABCD – прямокутник,

K € AB, M € CD,

                                                                                                                         AKCM - Ромб

 AB =3см

Кут CAB = 30*

Знайти: AM.

Розв’язання

Оскільки AKCM – ромб, то AK = CK = CM = AM.

AC - діагональ ромба. За властивістю діагоналей ромба, кут KAC = куту MAC = 30*, тоді кут   MAK = 60*.

Кут DAK = 90*, тоді кут DAM = 90* - 60* = 30*.

∆ADM: кут ADM = 90*, кут DAM = 30*. За властивістю катета, що лежить проти кута 30*,     

DM = AM.

Нехай AM = x см – сторона ромба. AB = CD = 3 см і MC = AM = x см, тоді DM =  (3 - x )см. Але DM = AM = ( )см.

Отже

3 – x = x

6 – 2x = x

-3x = -6

x = 2

Отже, =2см

Відповідь 2 см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  літератури