Чотирикутник

  МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГІМНАЗІЯ  № 4

 

 

         НАУКОВО-ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА

На тему:                     „Чотирикутник’’

 

 

 

 

 

                                                               Виконав: Стаканов

 Денис Константинович 

                                                              Керівник: Федоровська                                                                    

Юлія Миколаївна

 

                             Миколаїв

                                 2010

                                     

                                   План

I. Чотирикутник та його  елементи.

               1. Загальні властивості чотирикутника.

               2.Ознаки подібності чотирикутників.

               3.Вписаний і описаний чотирикутник.

II. Класифікація чотирикутників.

              1.Паралелограм.

                       а. Ознаки паралелограма. 

                      б. Властивості паралелограма. 

                      в. Площа паралелограма.

              2.Ромб.

                      а. Ознаки ромба.

                      б. Властивості ромба. 

                      в. Площа ромба.

                     г. Вписаний і описаний ромб.

              3.Прямокутник.

                     а. Ознаки прямокутника.

                    б. Властивості прямокутника.

                    в. Площа прямокутника.

                    г. Вписаний і описаний прямокутник.

             4. Квадрат.

                   а. Властивості квадрата.

                  б. Вписаний і описаний квадрат.

                  в. Площа квадрата. 

            5. Трапеція.

                 а. Види трапеції.

                 б. Властивості довільної трапеції.

                 в. Властивості рівнобічної трапеції.

                 г. Ознаки рівнобічної трапеції.

                д. Середня лінія трапеції, її  властивості.

               е. Вписана і описана трапеція.

III. Розв’язання задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чотирикутник - це фігура , яка складається  з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно з’єднують точки. Дві вершини чотирикутника, які  не є кінцями однієї сторони, називаються  сусідніми. Вершини, які не є сусідніми  називаються протилежними. Сусідніми  називають сторони, які виходять з однієї вершини. Протилежними називаються ті сторони чотирикутника, яки не мають спільного кінця. Діагональ є відрізком, що з'єднує дві різні вершини, що не належать одній стороні. Чотирикутник має дві діагоналі, що з'єднують протилежні пари вершин. Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, яка містить його сторону. Для того щоб чотирикутник був опуклим необхідно і достатньо, щоб його діагоналі перетинались. Чотирикутники можуть бути правильними. Правильним називається чотирикутник, всі сторони і всі кути якого рівні. Правильний чотирикутник – це квадрат. Кути утворені сусідніми сторонами чотирикутника називаються внутрішніми кутами чотирикутника. Кут, суміжний з внутрішнім кутом чотирикутника називається зовнішнім кутом. Периметр чотирикутника – це сума довжин його сторін. Чотирикутник має багато властивостей:

1. Сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині , дорівнює 360* .
2. Сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює  360* .

Площу чотирикутника можна знайти за такою формулою:

S= 0.5(h1 x h2)k, де h1 і h2 – перпендикуляри проведені з протилежних вершин чотирикутника на одну й туж саму діагональ k.

Також  у будь-якому опуклому чотирикутнику з площею S середини сторін є вершинами чотирикутника, площа якого у два рази менша від S.

Опуклі чотирикутники мають  такі ознаки подібності:

1. Два опуклі чотирикутники подібні, якщо у них три пари відповідних сторін пропорційні і пари відповідних кутів, які лежать між відповідними сторонами, рівні.
2. Два опуклі чотирикутники подібні, якщо у них рівні чотири відповідні кути і відповідні кути між діагоналями також рівні.

Чотирикутник можна вписати  в коло і описати навколо нього. Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини  належать колу. Чотирикутник можна  вписати у коло коли суми його протилежних  куті дорівнюють 180*. Чотирикутник називається  описаним навколо кола, якщо всі  його сторони дотикаються до кола. Опуклий чотирикутник можна описати  навколо кола, якщо суми його протилежних  сторін рівні.

 

 

                                           Класифікація чотирикутників     

    

               не опуклий    опуклий 

 

 

 

                                                                                          прямокутна

   

 

Паралелограм

Паралелограм – це опуклий чотирикутник,  протилежні сторони якого попарно паралельні.

Ознаки  паралелограма

1. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні то цей чотирикутник - паралелограм.
2. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.
3. Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони паралелограма попарно рівні.
2. Протилежні кути паралелограма попарно рівні.
3. Сума кутів прилеглих до однієї сторони паралелограма дорівнює 180*.
4. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
5. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін паралелограма.
6. Кожна діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.
7. Діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликі трикутники тобто у них однакові площі.
8. Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
9. Бісектриса кута паралелограма перетинає більшу з його сторін і відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник, основою якого є ця бісектриса.
10. Бісектриси кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони утворюють прямий кут.
11. Якщо діагоналі паралелограма не рівні, то більша діагональ з’єднує вершини гострих кутів, а менша вершини тупих кутів.
12. Периметр паралелограма – це сума довжин усіх його сторін.
13. У паралелограм можна вписати коло тільки у тому випадку  коли він є ромбом.
14. Паралелограм можна вписати в коло тільки у тому випадку, якщо він є прямокутником.

Висотою паралелограма називається  відстань між паралельними прямими,що містять протилежні сторони паралелограма, тобто довжина перпендикуляра проведеного  з будь-якої точки прямої, що містить  одну із сторін паралелограма, до прямої, що містить протилежну сторону.

Висоти  паралелограма мають такі властивості

1) Якщо сусідні сторони паралелограма не рівні, то менша висота є відстанню між меншими сторонами, а більша відстанню між меншими сторонами.

2) Кут між висотами паралелограма,  проведеними з вершини тупого  або гострого кута паралелограма,  дорівнює гострому або тупому  куту паралелограма.

Площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку  сторони і висоти проведеної до цієї сторони.

Площа паралелограма дорівнює добутку  сторін паралелограма на синус кута який утворюють ці сторонии.

Ромб

Ромб – це паралелограм, всі  сторони якого рівні.

Або

Ромб – це чотирикутник з рівними  сторонами, протилежні сторони якого  попарно паралельні.

Ознаки ромба

1. Якщо сторони чотирикутника рівні, то цей чотирикутник – ромб.
2. Якщо сусідні сторони паралелограма рівні, то цей паралелограм – ромб.
3. Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, то цей паралелограм – ромб.
4. Якщо діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів, то цей паралелограм – ромб.
5. Якщо всі висоти паралелограма рівні, то цей паралелограм – ромб.

Властивості ромба

1. Оскільки ромб є паралелограм, то для нього виконуються властивості паралелограма.
2. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.
3. Середини сторін ромба є вершинами прямокутника.
4. Ромб має дві осі симетрії – прямі, що містять його діагоналі.
5. Усі висоти ромба рівні.

Вписаний  і описаний ромб

У будь-який ромб можна вписати  коло. Навколо ромба можна описати  коло, якщо цей ромб квадрат.

Площа ромба

1. Площа ромба дорівнює добутку сторони і висоти. S=ah
2. Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.  d1d2 -де, d1 і d2 діагоналі ромба.
3. Площа ромба дорівнює добутку сторони і діаметра кола вписаного в ромб. S=2ar

Прямокутник

Прямокутником називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно  паралельні і всі кути прямі.

Або

Прямокутник – це паралелограм всі  кути якого прямі.

Ознаки  прямокутника

1. 1)Якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм – прямокутник.
2. 2)Якщо один з кутів паралелограма прямий то цей паралелограм – прямокутник.
3. 3)Якщо всі кути чотирикутника прямі , то цей чотирикутник – прямокутник.

Властивості прямокутника

1. Оскільки прямокутник є паралелограмом, то для нього виконуються всі властивості паралелограма.
2. Всі кути прямокутника рівні.
3. Діагоналі прямокутника рівні.
4. Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його сусідніх сторін.
5. Прямі, що перпендикулярні до сторін прямокутника і проходять через середини його сторін, є осями симетрії прямокутника.
6. Середини сторін прямокутника є вершинами ромба.

Вписаний  і описаний прямокутник

Навколо будь-якого прямокутника можна  описати коло. Центром описаного  кола є точка перетину діагоналей прямокутника. Радіус  кола дорівнює половині діагоналі. У прямокутник  можна вписати коло, якщо цей прямокутник  квадрат.

Площа прямокутника

Площа прямокутника дорівнює добутку  двох його сусідніх сторін. S=ab

Квадрат

Квадрат - це прямокутник, всі сторони  якого рівні.

Властивості квадрата

1. Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником, ромбом, то він має всі властивості паралелограма, прямокутника і ромба.
2. Всі квадрати подібні.

Вписані і описані квадрати

Навколо квадрата можна описати  коло. Центр описаного навколо  квадрата кола – це точка перетину діагоналей квадрата. Радіус описаного  кола дорівнює половині діагоналі квадрата. R=d. Радіус описаного кола дорівнює частці від ділення сторони квадрата на . У квадрат можна вписати коло. Центром кола вписаного в квадрат є точка перетину діагоналей. Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Площа квадрата

Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони. S=.

Площа квадрата дорівнює половині квадрата діагоналі.

Трапеція

 Трапеція – це чотирикутник, дві сторони якого паралельні, а дві інші не є паралельними. Паралельні сторони називаються  основами трапеції. Дві інші називаються  бічними сторонами трапеції. Висотою  трапеції називається перпендикуляр,  проведений з довільної точки  прямої, до прямої, яка містить  другу основу. Рівнобічною називається  трапеція бічні сторони якої  рівні. Прямокутною називається  трапеція, два кути якої прямі.

Властивості довільної трапеції

1. Суми внутрішніх кутів, прилеглих до кожної бічної сторони трапеції дорівнюють 180*.
2. Бісектриса кута трапеції відтинає від неї рівнобедрений трикутник, основою якого є проведена бісектриса.
3. Бісектриси кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони взаємно перпендикулярні.
4. Точка перетину діагоналей трапеції ділить навпіл відрізок, який проходить через цю точку паралельно до основ трапеції і кінці якого належать бічним сторонам. Довжина цього відрізка дорівнює , де a і b – основи трапеції.
5. При продовжені бічних сторін трапеції утворюються два подібні трикутники.
6. Трикутники, утворені основами і відрізками діагоналей трапеції рівні.
7. Будь-який відрізок, що з’єднує основи трапеції і проходить через точку перетину її діагоналей, ділиться цією точкою у відношенні, яке дорівнює відношенню основ.
8. Трикутники утворені бічними сторонами і відрізками діагоналей трапеції, рівновеликі тобто мають рівні площі

Властивості рівнобічної трапеції

1. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
2. У рівнобічної трапеції суми протилежних кутів рівні і дорівнюють 180*.
3. 3)Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
4. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута до більшої основи, ділить її на відрізки, менший з яких  дорівнює піврізниці основ, а більший – їх півсумі.

Ознаки  рівнобічної трапеції

1. 1)Якщо кути при основі трапеції рівні, то трапеція рівнобічна.
2. 2)Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція рівнобічна.

Середня лінія трапеції

Середньою лінією трапеції називається  відрізок який сполучає середини бічних сторін трапеції.

Властивості середньої лінії

1. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
2. 2)середня лінія трапеції ділить навпіл будь-який відрізок, кінці якого лежать на основах трапеції.
3. 3)Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії.

Вписана і описана трапеція

Трапецію можна вписати в  коло у тому і тільки у тому випадку, якщо вона рівнобічна. У трапецію можна  вписати коло якщо суми її протилежних  сторін рівні.

Площа трапеції

1. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту . S=h
2. Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту. S=mh, де h – висота трапеції, а m – середня лінія.
3. Площа трапеції дорівнює пів добутку діагоналей і синуса кута між ними.