Закон Дарси

    Для трещиноватой среды выражение для  числа Рейнольдса получается аналитически и равно 

     ,             (22)  

    а  Re_кр=0,4. 

    3 Верхняя граница применимости закона Дарси 

    Наиболее  полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных  сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением  Re_кр числа Рейнольдса. 

             Re = wd/v                                                                                            (23) 

    где d- некоторый характерный линейный размер пористой среды;

     v-кинематический коэффициент вязкости  флюида  v = η/p 

    Многочисленные  экспериментальные исследования и, в частности, опыты Дж. Фэнчера, Дж. Льюиса и К. Бернса, Линдквиста, Г. Ф. Требина, Н.М. Жаворонкова, М.Э. Аэрова и  других были направлены на построение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления λ от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

    При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, чтобы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях числа Рейнольдса, и закон фильтрации в нелинейной области допускал универсальное представление.

    Первая  количественная оценка верхней границы  применимости закона Дарси была дана более 60 лет назад Н. Н. Павловским, который, опираясь на результаты.

    Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равным эффективному диаметру dэф вывел следующую формулу для числа Рейнольдса  

      Re = wd_эф/ (0,75m + 0,23)v                                                                      (24) 

    Использовав эту формулу и данные экспериментов, Н.Н. Павловский установил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах 

    7,5 < Re_кp < 9 

    Достаточно  узкий диапазон изменения значений Reкр объясняется тем, что в опытах использовались не слишком разнообразные  образцы пористых сред.

    Для удобства обработки результатов многочисленных экспериментов различных авторов В. Н. Щелкачев предложил использовать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и определяемый равенством 

    Da = (wη/k)/(∆p/L) = wηL/k∆p                                                                   (25) 

 

    Рисунок 2 Зависимость параметра Дарси от числа Рейнольдса 

    w= (k/η) ·(∆p/L)                                                                                            (26)

    Отсюда  видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления.

    Сравнивая равенство (24) и закон Дарси (26) (для случая горизонтального пласта, когда р* = р), можно утверждать, что если справедлив закон Дарси, то  

    Da = 1 

    Таким образом, равенство (24) должно выполняться при введение параметра  упрощает исследование границы применимости линейного закона фильтрации. Действительно, если на оси абсцисс откладывать lg Re  а по оси ординат lg Da,  то поскольку lg Da= 0, Re ‹ Re_кр при графиком зависимости от  будет прямая линия, совпадающая с осью абсцисс до тех пор, пока .

    Как только на этом графике линия начнет отделяться от оси абсцисс, сразу  же обнаружится нарушение закона Дарси (это соответствует значениям  Da ‹ 1, lg Da ‹ 0).

    Значение  при котором станет заметно отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим значением. Для иллюстрации сказанного на рисунке 1 на логарифмической сетке приведены зависимости lg Da от lg Re , представляющие результат обработки опытов по формулам В. Н. Щелкачева. Данные на этом графике соответствуют области нелинейной фильтрации (lg Da ‹ 0) для различных образцов пористых сред.

    Основываясь на этих соображениях, В. Н. Щелкачев провел критический анализ и сравнение  формул, полученных разными исследователями, для определения  в подземной  гидромеханике и оценки возможных критических значений числа Рейнольдса  соответствующих верхней границе применимости закона Дарси.

    Результаты  такого сопоставления приведены  в таблице 1. В первых двух строках таблицы даны соответственно формулы для и коэффициента гидравлического сопротивления l, полученные разными авторами. В четвертой и пятой строках приведены соответственно критические значения  полученные самими авторами, и их уточненные значения.

    Наличие третьей строки таблице 1, в которой дано произведение  Reλ объясняется следующим (Re ‹ Re_кр) . В области линейного закона фильтрации  справедливо равенство (244).

    Поэтому если произведение  зависит только от параметра Da, то оно имеет постоянное значение (не зависящее от свойств пористой среды) в случае, если Reλ.

    И  только в этом случае можно получить «универсальный» прямолинейный график в координатах (lg Re, lg λ)  соответствующий фильтрации различных флюидов через различные по свойствам пористые среды. Результаты обработки опытов подтверждают этот вывод.

    На  основе анализа данных, приведенных  в таблицы 1, можно сделать следующие выводы.

    1. Несмотря на отмеченные недостатки  результатов Н. Н. Павловского,  есть основания для их сопоставления с соответствующими результатами трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения числа Рейнольдса, подсчитанные по формуле (23), намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют переходу ламинарного течения в турбулентное.

    Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоростях  фильтрации (увеличение влияния сил  инерции по мере увеличения ) не следует  связывать с турбулизацией течения. Отсутствие турбулентности при нарушении закона Дарси было доказано также прямыми опытами, изложенными Г. Шнебели.

    Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введением в выражение для  числа Рейнольдса эффективного диаметра d_эф  в качестве характерного размера пористой среды, они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений Re_кр, мало обоснованы.

    2. Во все другие формулы таблицу 1 (графы 5-9) в качестве характерного размера входят величины, пропорциональные √к (где k-коэффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам изменения Re_кр для различных пористых сред. И это представляется вполне естественным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения Re не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред, использования для этой цели коэффициентов пористости проницаемости явно недостаточно.

    Вместе  с тем, широкий диапазон изменения  значений Re_кр можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это облегчает указание возможной верхней границы справедливости закона Дарси при движении флюида в какой-либо пористой среде.

    Итак, при значениях числа Рейнольдса Re › Re_кр линейный закон Дарси перестает быть справедливым. Первое обобщение закона Дарси на случай больших Re основанное на опытных данных, было выполнено Дюпюи, который сформулировал двучленный законфильтрации, носящий имя австрийского исследователя Ф. Форхгеймера, независимо установившего его несколько позднее. В принятых сейчас обозначениях это соотношение можно представить (для простейшего случая прямолинейно-параллельного течения без учета силы тяжести) в следующем виде:

    ∆p/L = nw/k + βρw²/k                                                                                (27)

    где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально. 

    Таблица 1 – Определение верхней границы применимости закона Дарси по данным различным исследований 

№ п/п	Параметры	Павловский	Фэнчер, Льюис, Бернс	Щелкачев		Милли-онщиков
1	Re	wdэф _______            (0,75m+ 0,23)v	wdэф/ v	10w√k m2,3  v		m√k m3/2v
2	λ	-	dэф ∆p 2Lρw2	2m2,3√k∆p Lρw2		m3/2√k∆p 2Lρw2
3	Reλ	-	_0,5__ f(m)Da	20/Da		_0,5__    Da
4	Reкр (по  данным формул)	7,5-9	1-4	1-12		0,022-0,29
5	Reкр  уточненные  значения	-	-	0,032-14		0,015-0,60
№ п/п	Параметры	Котяков	Минский		Абдулвагабов
1	Re	4√2w√k m3/2v	w√k   v		12(1-m) w√k         m2v
2	λ	2m2,3√k∆p Lρw2	√k∆p 2Lρw2		4,6(1-m)m2√k∆p Lρw2
3	Reλ	_8√2__    Da	_0,5__    Da		55,2(1-m)2        Da
4	Reкр (по  данным формул)	0,3	-		0,019-8,1
5	Reкр  уточненные  значения	0,0085-3,4	-		0,019-8,1

     4 Двухчленный закон фильтрации 

     От  точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи сэтим в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.

     Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

                                                                            

     где C, n - постоянные, 1£ n £ 2.

     Данные  зависимости не удобны, т.к. параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим наибольшее употребление нашли двухчленые зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского

                                                                                        (28)

     Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

                                                                                     (29)

     где b - структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

                                                                                          (30)

     В области нарушения верхней границы  закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоско-радиального течения

      ,                                                                                     (31)

     где .

     Течение реального газа по двухчленному закону. В большинстве случаев дебит газовых скважин не следует закону Дарси, так же как в некоторых случаях и для нефтяных и водяных скважин. Вблизи фильтрационных отверстий при приближении к стенке скважины скорость фильтрации становится настолько большой, что число Рейнольдса превосходит критическое. Квадраты скоростей становятся настолько большими, что ими пренебрегать уже нельзя. Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине записывается в виде, аналогично идеальному,